Centre de gravité des volumes

(a) Centre de gravité du volume d'une pyramide triangulaire (fig. 108.) — Soit la pyramide triangulaire SÂBC : menons le plan

Fig. 109

SMA qui passe par l'arête SA et le milieu M du côté BC ; ce plan est un plan diamétral cl par suite renferme le centre de gravité de la pyramide ; il eu est

de même du plan SNC déterminé par l'arête SC et le milieu N de l'arête AB : le centre de gravité est sur l'intersection Sg de ces deux plans, la droite S? passant par le centre de gravilé g de la base ABC.

Pour la même raison, le centre de gravité de la pyramide se trouve sur la droite Ag' qui joint le sommet A au centre de gravilé g' de la face opposée SBC ; il est par suite à l'intersection G des droites Sg et Ag' . Menons la droite gg' ; les triangles Mgg' et MAS sont semblables et donnent :

Mais les triangles Ggg' et GAS sont aussi semblables et donnent Donc

Go = rGS = 7 Sût.

Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est donc sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, et à un quart de celle droite à partir de la base.

(6) Centre de gravité du volume d'une pyramide quelconque.

— Décomposons cette pyramide en pyramides triangulaires ayant comme sommet celui de la pyramide donnée et pour bases les triangles obtenus en décomposant sa base en triangles par des diagonales.

Les centres de gravité de ces pyramides triangulaires seront tous dans un même plan parallèle à la base et passant au quart de la hauteur.

Le centre de gravité de la pyramide donnée est donc dans ce plan et aussi sur la droite qui joint le centre de gravité de la base de la pyramide à son sommet; il est donc au quart de cette droite a partir de la base.

(c) Centre de gravité du volume d'un tronc de pyramide triangulaire à bases parallèles (fig. 109). — Le tronc de pyramide peut être considéré comme la différence des volumes des deux pyramides SABC, sabc, ayant pour centres de gravité g et g', situés sur la ligne qui joint le sommet S au centre de gravité de la base ABC. Nous devons appliquer aux points 3 et g' des forces parallèles et de sens contraire, respectivement égales aux volumes des deux pyramides, ou proportionnelles aux cubes des arèles homologues SA3 et Sa . Le centre de gravité G sera sur le prolongement de la ligne gg', du coté de g, et l'on aura

Gg Gg'

SA:i

Menons par le point S la droite quelconque SK sur laquelle nous prendrons SA' - SA et Sa' = Sa .

Joignons le point A au point a', le point a au point A'; menons a'M parallèle a A'a jusqu'à sa rencontre en M avec SA, puis AN parallèle à A'« jusqu'à sa rencontre avec SK.

Les triangles semblables Sa'M et SA'a d'une part, SaA' et SAN d'aulre part, et les triangles égaux SAa' et SA'a donnent :

Sa'