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PHÉNOMÈNES GÉNÉRAUX DE DEFIGURATION

§3. — Equilibre statique et équilibre moléculaire d'un organe de construction

HO. Effets et équilibre statiques. — Ces hypothèses simplificatrices une fois admises, voyons comment, étant donné un prisme élastique faisant partie d'une construction dont il sera l'un des organes, nous pourrons étudier sur lui l'action des forces qui l'attaquent.

Le prisme élastique que nous considérons sera soumis à des forces d'action et de réaction (v. plus loin n° 112) produisant : 1° des effets et un équilibre statiques ; 2° des effets et un équilibre moléculaires.

Les effets statiques seront ceux qui s'observeront sur la masse entière de l'organe ; l'équilibre statique sera réalisé lorsque l'organe tout entier restera en repos. Ainsi, par exemple, le voussoir d'une voûte qui tient est en équilibre statique ; les forces extérieures qui lui sont appliquées (pesanteur, réaction des voussoirs voisins) se font équilibre sur lui.

111. Effets et équilibre moléculaires. — Au contraire, les effets moléculaires se produisent dans la masse intime de l'organe. Lorsque plusieurs forces se font équilibre sur un organe, elles n'agissent pas toujours également sur toutes ses parties ; mais si ces forces ne sont pas exagérées, si le déplacement qu'elles imposent aux molécules les plus éprouvées est compatible avec la résistance de la matière, si cette matière ne se désagrège pas sous l'action des forces, nous dirons qu'il y a équilibre moléculaire.

Il peut se faire que cet équilibre moléculaire soit réalisé dans une section, mais ne le soit pas dans une autre, et même qu'étant réalisé pour une fibre d'un bi-plateau, il ne le soit pas pour une autre fibre de ce môme bi-plateau. On est donc obligé d'étudier l'équilibre moléculaire section par section, et même fibre par fibre. Dans cette étude on procédera comme il suit :

112. lr0 Opération. — Vérification ou recherche de l'équilibre statique. — (a) Classification des forces extérieures.

— Un organe quelconque (voussoir, poutre, arc,... etc.) appartenant à une construction et restant au repos, c'est-à-dire en équilibre statique, est soumis à l'action de forces extérieures qui se neutralisent sur lui.

Ces forces extérieures se divisent en for-ces indépendantes ou : actions, et en forces dépendantes ou : réactions.

[b) Actions. — Les forces d'action sont celles que nous appliquons directement à l'organe, celles que cet organe a pour fonction immédiate d'équilibrer.

Dans une poutre de pont, par exemple, les forces d'action comprennent les charges permanentes et les surcharges ac-

cidentelles; dans les premières on peut placer le poids propre de la poutre et le poids de la chaussée ; dans les secondes on placerait le poids des véhicules, le poids d'une foule circulante, etc.

(c) Réactions des obstacles. — Sous l'influence de ces forces d'action, le corps, s'il était libre, prendrait un mouvement; mais nous le supposons en équilibre, il y a des obstacles qui empêchent son mouvement. Ces obstacles sont : les piles et les culées pour un pont, les murs de l'édifice pour un plancher, etc.. Us détruisent les effets que produiraient les forces d'action; ils neutralisent ces dernières; ils développent donc des forces de réaction que l'on appelle, pour abréger, des réactions. Nous les avons appelées forces dépendantes, parce qu'en effet elles dépendent de l'intensité et de la direction des forces d'action. Aussi, tandis que les forces d'action sont connues d'avance, par le fait même des conditions imposées à l'organe, les réactions demandent à être déterminées chaque fois.

Dans certains cas la statique pure suffira pour trouver les réactions; mais dans d'autres cas, ces réactions seront une conséquence de la déûguration des pièces.

Ainsi, prenons un tabouret à trois pieds disposés en un triangle que, pour simplifier, nous supposerons équilatéral (fig. 87). Il supporte un poids P en son milieu ; chacun des trois pieds recevra du sol une réaction égale au tiers du

Fip. S7 Fig. 8S

poids total du tabouret ; que l'on mette sous les pieds des cales de bois dur ou que l'on y place du caoutchouc, le résultat sera le même ; chaque pied supportera un tiers de la charge.

Prenons maintenant un tabouret à quatre pieds disposés en carré et chargé de même. Si les quatre pieds sont bien de niveau, s'ils sont faits exactement du même bois, avec le même diamètre, les réactions seront encore égales entre elles et, par suite, au quart de la charge. Mais, plaçons sous chaque pied des cales; mettons-les en bois dur sous trois pieds et en caoutchouc sous l'autre. Cette dernière cale se

EQUILIBRE STATIQUE ET ÉQUILIBRE MOLÉCULAIRE D'UN ORGANE DE CONSTRUCTION

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défigurera plus que les autres, elle cédera sous la charge ; la réaction qu'elle produira diminuera tandis que sous les autres pieds les réactions augmenteront.

Dans ce cas, pour lever l'indétermination qui semble exister relativement aux réactions sous chaque pied, il faut faire intervenir les déformations des cales qui les supportent : nous apprendrons à faire ce calcul.

En définitive, quelle que soit la manière dont nous pouvons déterminer les réactions statiques, supposons, pour l'instant, que cesdernières soient connues comme grandeur, comme direction et comme point d'application. Nous pourrons alors supprimer les obstacles à condition de les remplacer par les réactions qui en émanent.

Dès lors l'organe peut être considéré comme absolument libre dans l'espace, c'est-à-dire dégagé de tout obstacle, mais soumis à toutes les forces extérieures, lesquelles comprennent, telles que nous venons de les définir :

1° Les actions ;

2° Les réactions.

A ce moment l'équilibre statique est réalisé.

113. 2e Opération. — Equilibre moléculaire. — Pour étudier l'équilibre moléculaire, aux environs d'une section transversale déterminée, considérons en B et B' ce que nous avons appelé un bi-plateau ; l'épaisseur en est infiniment petite. Nous l'avons désignée par \x (fig. 81).

D'un côté (Dg. 89) du bi-plateau agissent les forces

F, F', F", F'" , de l'autre côté agissent les forces

F,, F',, Ff, ¥[' ; appelons les premières le groupe de gauche et les autres le groupe de droite.

Fig. S9

Le groupe de gauche fait équilibre au groupe de droite puisqu'il laisse le corps en équilibre. Si nous transportons au centre de gravité G du plateau de gauche toutes les forces du groupe de gauche, ce transport donnera lieu à une résultante unique de translation R et à un couple résultant unique, C (v. nos 14 et 15).

De même le transport, au centre de gravité du plateau de droite, de toutes les forces du groupe de droite donnera lieu à une résultante de translation R' et à un couple résultant C.

L'ensemble des forces des groupes de gauche et de droite étant en équilibre, il en sera de même de l'ensemble des résultantes de translation R et R' et des couples résultants C et C

Or, on sait qu'une force ne peut être équilibrée que par une autre force, et qu'un couple né peut l'être que par un couple ; on doit donc avoir séparément :

R égal et contraire à R' C égal et contraire à C

Il en résulte que les effets produits sur le bi-plateau par les forces de gauche sont égaux aux effets produits sur lui par les forces de droite, mais de signe contraire. Il nous suffira donc d'étudier ce qui se passe pour un seul côté du bi-plateau, celui de gauche par exemple. Cela posé :

Soit R (fig. 90 I) la résultante de translation appliquée au centre de gravité du plateau. Décomposons-la en deux forces, l'une dirigée suivant l'axe de la pièce, l'autre normale à cet axe ; cette décomposition, exécutée par la règle du parallélogramme, nous permet de remplacer R par ses deux composantes T et P.

L'effort P est un effort tirant (il pourrait être comprimant), il produit un allongement des fibres ; quant à T c'est un effort tranchant, il tend à cisailler les fibres. Il est bien