Déplacement le plus général d'une section

Lorsque des forces agissent sur un prisme élastique, elles le défigurent, d'une manière plus ou moins simple, et chaque section plane passe d'une position à une autre. Mais, quelque complexe que soit le mouvement imprimé à une section par la défiguration du solide, on peut toujours le considérer comme la résultante de quatre mouvements simples, ainsi que nous allons le montrer.

Considérons dans un prisme élastique, dont l'axe longitudinal est OX (fig. 82), ce que nous avons nommé un plateau, c'est-à-dire une section transversale qui restera plane avant comme après la défiguration ; supposons que cette section soit un rectangle et désignons par abcd (fig. 82) les angles de ce rectangle. Soient a'b'c'd' les positions de ces mêmes angles après la défiguration et enfin soit O' le point de rencontre de la section transversale a'b'c'd1 avec le nouvel

PHÉNOMÉMES GÉNÉRAUX DE DEFIGURATION

axe longitudinal 00' de la pièce. Nous pourrons toujours amener le plateau considéré de la position initiale abcd à la position finale a'ù'c'd' à l'aide de quatre mouvements successifs que nous allons analyser.

106. Décomposition de ce déplacement. — (a) 1er Mouvement.— Translation longitudinale; traction ou compression. — Nous pouvons d'abord déplacer abcd par une translation, de manière que le point 0 vienne en 0, (fig. 83), 0, étant le pied de la perpendiculaire O'Oj abaissée de 0'

Fig. 82

sur OX.Dans ce mouvement, tous les points de lasection abcd ont parcouru des chemins égaux, parallèles entre eux et parallèles à Taxe OX, comme si le prisme avait été allongé ou raccourci de la longueur OOj.

(b) 2e Mouvement. — Translation transversale ou tranchage ou encore glissement. — Par un deuxième mouvement, on peut amener ensuite le centre de gravité Oi du plateau à coïncider avec le point 0'. Tous les points du plateau rt16Jc1rf1- décrivent des chemins égaux, parallèles entre eux et perpendiculaires h l'axe primitif de la pièce. Ils passent de la position alblcld1 à la position a2b.2c2d2.

(c) 3e Mouvement. — Rotation transversale ou flexion. — Après le deuxième mouvement, les deux rectangles a.,b2c2d2 et a'b'c'd', qui est le rectangle dans la position définitive à laquelle on veut arriver, ont un point commun 0' ; ils se coupent donc suivant une ligne droite PO'. Si l'on fait maintenant tourner le plateau a2b2c2d2 autour de cette droite comme charnière, on pourra amener à coïncider les deux plans a.2b.2c2d2 et a b'c'd'. Dès lors, les deux sections transversales auront maintenant même centre 0' et même plan, mais leurs sommets seront différents. Dans ce mouve-

ment, tous les points de la section a2b2c2d2 décriront des arcs de cercles a2a3 — b2b:) — c2c3 — d2d3 autour de l'axe PO' comme charnière. C'est un mouvement de flexion.

{d) 4e Mouvement. — Rotation axiale ou torsion. —

Enfin, par une rotation autour d'un axe passant par 0' et perpendiculaire au plan définitif a'b'c'd', on amènera les sommets a3b3c3d3 à coïncider avec les sommets définitifs a'b'c'd'. Dans ce mouvement, le prisme éprouvera ce que l'on nomme une torsion.

Ainsi donc un plateau peut passer d'une position abcd à une autre a'b'c'd', en obéissant à quatre mouvements élémentaires successifs qui sont :

Une translation longitudinale (fraction ou compression) ;

Une translation transversale (tranchage, glissement) ;

Une rotation transversale [flexion) ;

Une rotation axiale (torsion).

107. Défiguration générale d'un prisme élastique. — [a) Décomposition du prisme en bi-plateaux. — Pour étudier la défiguration générale d'un prisme élastique, nous supposerons que ce prisme est divisé en une infinité de biplaleaux par des sections transversales infiniment voisines les unes des autres. Chacune d'elles se déplacera infiniment peu de sa position primitive au moyen des quatre mouvements dont nous venons de parler.

Ces quatre mouvements élémentaires sont, bien entendu, absolument fictifs. Ce qui est indiscutable, c'est le résultat final de la défiguralion qui est le même que si chaque plateau avait pris, successivement, les quatre mouvements étudiés plus haut, tandis qu'en réalité ces mouvements s'exécutent simultanément.

(b) Forces et couples produisant chaque défiguration élémentaire. — Or, un mouvement ne peut se produire de lui-même, et nous savons que toute cause de mouvement s'appelle une force. Le changement de position de chaque section du prisme élastique est donc causé par une force (ou par un groupe de forces), dont les directions et les intensités seraient difficiles à trouver si l'on ne considérait pas les quatre mouvements élémentaires fictifs que nous venons d'analyser.

Ces quatre mouvements pourront être considérés comme produits par quatre forces (ou groupes de forces) que l'on pourra substituer aux causes réelles du mouvement ; voyons ce que seront ces forces.

Nous savons que toute force appliquée au centre de gravité d'un corps ne peut imprimer à celui-ci qu'un mouvement de translation parallèle à la direction de la force ; on sait aussi que tout couple appliqué à un corps ne peut lui donner qu'un mouvement de rotation autour d'un axe qu'on peut toujours faire passer par son centre de gravité.

Nous pouvons donc considérer toute translation d'un corps comme étant due à une force agissant au centre de

ANALYSE DES PHÉNOMÈNES GENERAUX DE DEF1GURAT10N

gravité de ce corps et toute rotation comme étant due à un couple.

Dès lors, les quatre mouvements que nous avons analysés ci-dessus peuvent être considérés comme produits de la manière suivante :

4° La translation longitudinale sera produite par une force appliquée au centre de gravité de la section transversale et dans le sens des fibres longitudinales. Si pendant le mouvement les flbres sont allongées, on dit qu'il y a traction; si elles sont raccourcies, il y a compression ; la force qui produit ce résultat est un effort tirant (nous lui donnerons le signe moins) ou un effort comprimant (nous lui donnerons le signe plus).

2° La translation transversale pourra être produite par une force unique, perpendiculaire à l'axe ; on lui donne le nom d'effort tranchant; elle tend à cisailler le prisme.

3° La rotation transversale, laquelle se fait autour d'une droite située dans le plan du plateau et que nous avons nommée une flexion, pourra être produite par un couple qu'on désigne sous le nom de couple ou de moment /Ire hissant.

4° La rotation axiale, qui se fait autour de l'axe de la pièce et que nous avons nommée une torsion de cette pièce, pourrait être due à un couple qui a reçu le nom de couple ou moment tordant.

108. Réactions moléculaires. — Telles seraient les causes (forces ou couples) des quatre mouvements élémentaires. Examinons maintenant comment se comportent les flbres élastiques sous l'action de ces efforts.

Pendant le premier mouvement, les fibres sont allongées ou raccourcies; en vertu de leur élasticité, elles tendent à reprendre leur première longueur ; elles réagissent donc et développent un effort de traction ou un effort de compression qui n'est que la réaction de l'effort tirant ou de l'effort comprimant. Il lui est égal et directement opposé.

Pendant le deuxième mouvement, chaque fibre prend une forme sinueuse (fig. 84), en vertu de laquelle elle estallongée et courbée ; elle tend à revenir à sa position première en développant une réaction à l'effort tranchant, réaction que nous appellerons Y effort de tranchage.

Fig. 85

Fig. 88

Pendant le troisième mouvement, celui de flexion, certaines fibres, telles que cd, sont allongées; d'autres, telles que ab, sont raccourcies (fig. 85) ; les réactions qu'elles développent sont donc les mêmes que celles que nous avons examinées plus haut : ce sont des efforts de traction et de compression; mais l'ensemble de toutes ces forces donne lieu à un couple que nous nommerons le couple ou moment de flexion. Nous démontrerons plus loin l'existence de ce couple.

Enfin, dans le quatrième mouvement, celui de torsion (fig. 86), les fibres produiront une réaction que nous appellerons le couple ou moment de torsion ; il est la réaction moléculaire du couple tordant.

109. Résumé. — Tout mouvement d'un plateau par rapport au plateau infiniment voisin, qui forme avec lui ce que nous avons nommé un bi-plateau, peut être ramené à quatre mouvements élémentaires, produits par les efforts consignés au tableau ci-après et donnant lieu aux réactions moléculaires inscrites en regard :

Mouvement élémentaire

Translation

Traction ou

longitudinale. f Gompression.

Translation ( Tranchage.

transversale. / Glissement.

Rotation ( plexi transversale. (

Rotation ( ^ axiale. )

ion.

Torsion.

Produit par une action extérieure qui se nomme :

l Effort tirant ( — )

< ou

f Effort comprimant (-

Effort tranchant.

/ Couple /

* ou } fléchissant.

( moment /

f Couple C

) ou < tordant.

( moment f

Donne lieu à une réaction moléculaire qui se nomme :

i de traction Effort \ ou

' de compression.

Effort de tranchage.

Couple (

ou < de flexion, moment (

Couple (

ou < de torsion .

moment t