FORMULE GÉNÉRALE DE LA FLEXION

Inversement les fibres de la partie inférieure, telles que N', qui se sont allongées, cherchent à revenir à leur longueur primitive en tirant sur le plateau B'.

Nous nous proposons 1° d'évaluer les intensités des tractions ou des compressions exercées dans chaque fibre, telle que MX ou M'N' ; 2" de prouverque toutes les actions moléculaires ainsi développées dans le bi-plateau Ali se réduisent à un couple; 3° d'évaluer le moment de ce couple en fonction de l'angle d'infléchissement 0, et 4" de montrer comment la forme du prisme élastique intervient parle moment d'inertie de sa section transversale (fig. II).

Fig. 100 '

(b) Effort moléculaire ou tension de chaque fibre. — -

Nous supposons que l'angle 6 est positif et très petit; nous pouvons donc confondre l'arc avec la tangente et admettre que l'allongement Nn, ou raccourcissement N'n', de chaque fibre se fait suivant une ligne droite.

Si nous désignons par /'l'effort supporté par la fibre MN de section w, en appliquant à cette fibre la formule fondamentale de la traction ou de la compression (v. n° 116), nous aurons :

AS

Soit y la distance de la fibre tirée à l'axe de rotation PQ ; comme 6 est l'angle au centre du petit arc Nn, on a :

Nn = ?/0

et en remplaçant dans la formule précédente Nn par sa valeur il vient

?/6 X Eu

AS

L'effort unitaire, c'est-à-dire par unité de section, serait

c'est-à dire

Eî/Q

(*') p Nous avons supposé le cas d'une fibre comprimée MN ;

avec une fibre tirée M'N', le résultat serait le môme au signe près.

La fibre MN étant comprimée, nous affecterons l'effort qui lui correspond du signe -+- tandis que pour la fibre M'N', qui est tirée, l'effort sera effecté du signe — On voit que la formule (1) introduit tout naturellement les signes voulus parle fait que la distance y est positive audessus de l'axe de rotation PQ et négative au-dessous.

(c) Composition de tous les efforts moléculaires. — Leur réduction à un couple. — Si nous voulons savoir à quoi se réduisent tous les efforts moléculaires, transportons-les au centre de gravité 0 du plateau B. Chaque transport donne lieu : 1° à une force appliquée en 0 et 2° à un couple. Mais tous les efforts élémentaires tels que f, étant perpendiculaires au plateau B, sont parallèles; ils auront donc une résultante unique F égale a leur somme algébrique et qui sera

F = Zf=I,

AS

Dans cette formule les quantités E, 0 et AS sont constantes ; elles entrent dans la somme de toutesles expressions telles que f comme facteurs communs ; on pourra donc écrire la formule ci-dessus de la manière suivante :

f = âss^

Si maintenant nous remarquons que l'axe de rotation, par rapport auquel nous avons mesuré les distances y, passe par le centre de gravité du plateau B et que, dès lors, Soxy = 0, nous verrons que F = 0.

Donc la résultante de translation est nulle et tous les efforts moléculaires, composés entre eux, se réduisent à un couple que nous allons maintenant étudier.

140. Etude du couple résultant (1). — Lorsque nous effectuons le transport, au point O, de toutes les forces telles que f, chaque transport donne lieu à un couple dont le moment est le produit de la force f par sa distance y, au centre de translation O.

Nous nous proposons maintenant de trouver la valeur du moment du couple résultant dans le cas le plus général, celui où l'axe PQ occupe une direction quelconque, ainsi que nous l'avons supposé dans la figure 100-11.

Nous allons démontrer que le plan de ce couple a pour trace sur le plateau une droite qui forme avec l'axe de flexion PQ deux diamètres conjugués de l'ellipse d'inertie du plateau.

(a) Moments élémentaires évalués suivant les axes d'inertie. — Soient OX' et OY' les axes principaux d'inertie de la section transversale du plateau B ; désignons par x' et par y' les coordonnées d'un point quelconque N de

(I) Avant d'aborder cet alinéa le lecteur fera bien de relire, dans la première partie, tout ce qui a rapport a la théorie de l'ellipse d'iuertie (v. nos 79 à 82), et, dans le complément, la théorie des diamètres conjugués de l'ellipse.

STAB. ï

TENSION COMPOSÉE. FLEXION

cette section transversale par rapport à ces axes principaux OX' et OY'.

Au lieu de transporter immédiatement au point 0 la force f, due à la réaction moléculaire développée en N, nous pouvons, sans changer le résultat Gnal, transporter d'abord f de N en n" sur l'axe d'inertie OX' puis ensuite de n" en 0.

Le moment my du couple ainsi introduit par le premier transport au point n" sera

mx- = fxy' .

et le moment m,/ que donnera le deuxième transport aura pour valeur

my' — /"X a?'.

Remplaçons dans ces expressions f par sa valeur (1) trouvée ci-dessus (v. n° 139), il viendra

m>- = £g *yy

EO

Remarquons de suite que le premier moment élémentaire mxi tend à faire tourner autour de OX' et que, par conséquent, si nous figurions le couple par son axe représentatif (v. théorie des couples, n° 10), cet axe serait précisément dirigé suivant OX' et nous devrions porter sur OX' (v. plus loin fig. 101) une longueur égale à la valeur ci-dessus de my. Il en serait de même pour le moment my<; il serait flguré par son axe dirigé suivant la ligne OY' sur laquelle on porterait une longueur égale à my'.

(b) Composition des moments élémentaires.— Celaposé, appelons a l'angle que fait l'axe OX' avec la direction PQ et remarquons, comme nous l'avons fait dans la théorie de l'ellipse d'inertie, que l'on a :

y = y' COS a H- a?' sin a,

nous pouvons écrire, en substituant dans (1) :

my = - ^y

COS a