E9 ÂS

Le moment du couple résultant est donc

et la trace du plan du couple sur le plateau est perpendiculaire à l'axe d'infléchissement PQ. C'est l'axe OY.

Si l'axe d'infléchissement PQ était confondu avec l'axe principal d'inertie OY', en raisonnant comme ci-dessus, on trouverait pour moment du couple résultant

Ces cas particuliers sont ceux qui se présentent le plus souvent dans la pratique. Dans ce qui va suivre nous supposerons donc que l'axe de rotation est toujours confondu avec l'un des axes de symétrie.

Pour simplifier nous écrirons dorénavant I sans indice.

142. Equation de l'infléchissement. — En résolvant l'équation (1) du n° 141 par rapport à 0 on a la relation :

" = Ml iS-

Cette formule est très importante, nous l'appellerons formule ou équation de V infléchissement. Elle est facile à retenir car on voit que l'effet produit, c'est-à-dire 6, est proportionnel : 1° à la cause de la flexion, c'est-à-dire au moment fléchissant M ; 2° à la distance des plateaux considérés, tandis que, 3° elle est inversement proportionnelle au module d'élasticité E, ce qui est naturel puisque ce module

indique, en quelque sorte, la puissance de résistance de la matière à toute cause d'indéliguration, et 4° au moment d'inertie I du plateau considéré.

Cette quantité I donne ici l'influence de la forme du plateau, c'est-à-dire, en définitive, delà figure delapièce considérée.

Il est bon, dans cette formule (A), de voir la part qui est faite à chaque chose :

0. Infléchissement : c'est Y effet produit. M. Moment fléchissant : c'est la cause.

E. Module d'élasticité : c'est la capacité d' indé figuration de la matière.

1. Moment d'inertie : c'est la capacité d'inflexibilité du plateau, ou profil, de l'organe de construction considéré.

On voit également que le moment d'inertie I étant, dans ses éléments, proportionnel au carré y2 de la distance de chaque fibre à l'axe d'infléchissement, ce moment d'inertie augmentera plus vite que les dimensions en hauteur de la pièce ; l'infléchissement, 0, pris par celle-ci, diminuera donc très vite, toutes choses égales d'ailleurs, quand la hauteur de la section de la pièce augmentera.

FiK- 102

Ainsi, par exemple, prenons une poutre dont la section AB, CD soit un rectangle (fig. 102), dans lequel le côté AB est le double du côté BD. Si nous supposons que le grand côté AB est horizontal, le moment d'inertie présente une certaine valeur I.

Donnons quartieràla poutre, c'est-à-dire rendons vertical

TENSION COMPOSÉE. FLEXION

le côté AB qui était primitivement horizontal ; le moment d'inertie \y, dans ce deuxième cas, est non pas le double mais le quadruple de \x ; de sorte que l'infléchissement, dans ce dernier cas, n'est que le quart de ce qu'il était dans le premier cas. On pourrait presque dire que posée de champ la pièce se déforme quatre fois moins que posée à plat.

143. Equation de l'effort fibraire (i). — (a) Pour une fibre quelconque. — Il est également important de connaître l'effort unitaire p, c'est-à-dire l'effort par millimètre carré de section, qui sera imposé à une fibre déterminée par un moment fléchissant M.

Reprenons la formule (1') du n° 139.

EyO

' AS

Dans cette formule remplaçons 0 par sa valeur donnée par l'équation d'infléchissement (A), nous obtenons

Ey M

qui, en simplifiant, nous donne l'équation (B).

Cette formule est aussi très importante ; nous la nommerons formule ou équation de l'effort fibraire.

Nous remarquerons dans cette formule que l'effort fibraire est proportionnel àla distance y delafibre considérée à l'axe de flexion et qu'il est indépendant du module d'élasticité. Les efforts libraires ne dépendent donc pas de la nature des matériaux.

{b) Pour la fibre extrême. — Puisque la distance y entre en numérateur dans la formule (B) il en résulte que les fibres les plus fatiguées sont celles qui sont les plus éloignées de l'axe. Aussi, lorsqu'une pièce travaillera à la flexion, c'est sur la fibre la plus éloignée, la fibre extrême, que nous chercherons à déterminer si cet effort est compatible avec la résistance de la matière dont est formé le prisme élastique ; si cette condition est réalisée pour la fibre extrême elle le sera, a fortiori, pour tout le reste de la section.

Si, par exemple, nous avons un prisme dont la section transversale est AB (fig. 103) et dont l'axe de flexion est XX'; en menant des tangentes au contour de la section parallèlement à XX', les points de tangence A et B seront ceux sur lesquels devront porter nos calculs. Soit v la dislance à l'axe du point A qui en est le plus éloigné; l'effort fibraire en ce point sera donné par la formule

Mo T

(1) Le mot fibraire n'est pas français ; nous le créons par analogie avec le mot moléculaire qui dérive de molécule comme fibraire pourrait dériver de fibre.

que l'on écrit quelquefois sous la forme (0 V' =^f

Telle est l'équation de la fibre extrême.

L'expression I : v qui entre en dénominateur dans celte équation joue un rôle considérable dans la résistance des matériaux ; plus sa valeur sera grande, moins la fibre extrême sera fatiguée.

Fig. 103

Remarque. — Sur la figure 103 la fibre extrême supérieure A est comprimée ; sa distance à l'axe de flexion est v. Mais la fibre extrême inférieure B est tirée ; si sa distance v' à l'axe est plus grande que v, elle sera plus éprouvée que la fibre A.

(c) Moment de résistance d'un profil. — On donne généralement à cette expression I : v le nom de moment de résistance de la section. 11 est bon que l'on sache que quelques auteurs ont adopté pour elle le nom de moment d'élasticité. Il est préférable, à notre avis, de la désigner sous le nom de moment de résistance du profil, puisque la résistance de la pièce, au droit de ce profil, croît avec cette quantité I : v. Néanmoins, nous emploierons indifféremment l'une ou l'autre.

(d) Moment de résistance du rectangle. — Reportonsnous au n° 84 ; nous y voyons que le moment d'inertie du rectangle, dont les côtés sont a et b, par rapport à un axe qui, passant par son centre de gravité, serait parallèle

T ab3

au côté a, est I — — ■

La distance v de la fibre la plus éloignée est égale à 1/2 b, on aura donc pour le rectangle

(e) Moment de résistance du cercle. — Le moment d'inertie du cercle par rapport à un axe qui passerait par son centre est (v. n° 93)

On a évidemment

par conséquent uR3

CAS l SI ELS DE LA FLEXION

ab3 ' ïï

Nous indiquerons plus tard, à l'occasion des poutres, des planchers, des arcs... la manière de trouver les moments de résistance des profils usuels des principaux fers, tels que : fers à Té et à double Té, cornières, fers circulaires creux, fers en croix, fers composites, etc.

(/") Application de la formule de la fibre extrême. — Comme exemple d'application de la formule (C), reprenons la section rectangulaire ABCD (fig. 102) que nous avons déjà considérée dans deux positions, au point de vue des infléchissements, et proposons-nous de comparer ces deux mômes positions de la section au point de vue des efforts développés dans la libre extrême.

Quand on prend le rectangle en hauteur (fig. 102-2) en appelant a sa petite base et 0 sa grande base, on a :

I ab2 v 6

Si on le prend en largeur (flg. 102-1), on a :

ba3 I' ba-

= tï et 7 = 1T

Comparons ces quantités ; nous aurons les rapports :

- — 1)2 et

Ainsi, les moments d'inertie sont entre eux comme les carrés des côtés, b et a, tandis que les moments d'élasticité ne sont entre eux que comme les premières puissances de ces mêmes côtés.

Cela prouve que, au point de vue de l'indéfiguration, comme ce sont les moments d'inertie I et l' qui les règlent en quelque sorte, la pièce mise en hauteur vaut quatre fois mieux que mise en largeur. Ce nombre 4 provient de ce que nous avons supposé dans l'exemple actuel que b = 2a ; mais au point de vue de la résistance, comme ce sont, pour ainsi dire, les moments de résistance qui la mesurent, elle ne vaut plus que deux fois mieux.

144. Introduction de la résistance de sécurité. — Equation de l'équarrissage. — Au point de vue de l'économie dans les dépenses, il y a intérêt à choisir les profils de telle sorte que la fibre extrême travaille, dans chacun d'eux, à ce que nous avons appelé la charge de sécurité R, parce que, de cette manière, nous aurons juste la quantité de matière voulue pour assurer la conservation indéfinie de l'organe de construction.

Si donc dans la formule (C) nous remplaçons p' par R nous aurons

ou encore

Toutes ces expressions sont des formes diverses d'une même équation dont la dernière est la plus usitée ; nous l'appellerons l'équation de l'équarrissage parce qu'elle sert a déterminer les dimensions des pièces, c'est-à-dire leur équarrissage, quand on connaît les quantités M et R.

Il y aura, en général, une infinité de profils répondant à l'équation d'équarrissage ; dans le choix à faire on sera guidé par des considérations diverses, soit de facilité de travail, soit d'économie de matière, etc..

1 Ï5. Fibre neutre. — Si l'on a un prisme élastique MN soumis uniquement à des couples, (ce qui arrivera très rarement), chaque section A ou B ne sera soumise, elle aussi, qu'à un couple et ne prendra qu'un mouvement de flexion en tournant autour d'un axe transversal passant par son centre de gravité: Si l'on réunit, par une ligne, les centres de gravité GG'G" des différentes sections, la fibre qui aurait cette ligne pour axe ne serait donc ni allongée ni accourcie ; c'est pourquoi nous lui donnons le nom d'axe neutre ou de fibre neutre de la pièce.

Fi?. 104

Dans la même pièce, il y aura toute une série de fibres jouissant de la même propriété ; l'ensemble de ces fibres formera la surface neutre.

Enfin, si nous remarquons que, presque toujours, les pièces sont symétriques et symétriquement chargées, par rapport à un plan vertical, toutes les fibres neutres se projettent alors sur un plan parallèle à ce plan de symétrie, suivant une ligne GG'G"...; de sorte que la surface neutre sera un cylindre dont la base, sur le plan de projection, sera la courbe GG'G"...; ce sera le cylindre neutre, c'est-à-dire le cylindre des fibres neutres.

146. Résumé. — Comme résumé nous avons réuni dans le tableau ci-dessous les résultats auxquels nous sommes arrivés dans notre étude de la flexion.

TENSION COMPOSÉE. FLEXION Tableau des formules de flexion

Elévation

. , Section droite.

{1) iPpofdj

■ , : Centre de courbure de , [ VElaÉtique. J

Equations

(A) De l'infléchissement.

(13) De l'effort libraire . .

Ëï

As.

(G) De la fibre extrême p' = —

(D) D'équarrissage

Notations et signes

! Infléchissement : Positif, si les fibres du haut sont accourcies. Négatif, si les fibres du haut sont allongées.

[ Moment d'inertie I = ^w?/2 < ou encore

! Capacité d'inflexibilité du profil.

/ Moment d'élasticité ou encore

Moment de résistance du profil, à la flexion.

( Distance d'une, fibre à l'axe de flexion : y s Positive au-dessus ( Négative au-dessous

v Distance de la fibre extrême.

, Tension unitaire d'une fibre :

p ou p' ) Positive, si c'est une compression. ' Négative, si c'est une traction.

/ Couple ou moment fléchissant :

M ) Positif, s'il comprime les fibres du haut, f Négatif, s'il tire les fibres du haut.

E Module d'élasticité longitudinale de la matière. R Résistance de sécurité à V arrachement.

de l'axe d'infléchissement

'1) Nota. — Sur cette figure 1'infléeliissemenl 0 est négatif ; il était positif sur les fig. 100 et 10:t.

En définitive les deux formules importantes sont :

1° la formule de l'infléchissement 0 = — AS;

2° la formule de l équarmssaae — = --. ' v R

La première donne le moyen de calculer les défigurations, la deuxième le moyen de connaître la fatigue de la fibre extrême. Nous avons déjà donné ci-dessus (n° 143) un exemple de leur application en montrant que lorsqu'une poutre de section rectangulaire est posée sur champ, c'est-à-dire en hauteur, elle est dans de bien meilleures conditions au point de vue de la résistance et, surtout, au point de vue de l'indéfiguration que lorsqu'elle est posée à plat.

Cet exemple nous a montré qu'une simple modification dans la répartition de la matière peut changer considérablement les conditions élastiques d'une pièce. Aussi l'industrie a-t-elle appliqué ce principe dans laconstruction des fers dits en double Té.

Dans ces fers la matière a été épanouie aux deux extrémités de la section afin de leur permettre de mieux résister, à poids égal, que les sections pleines.

B'ig. lûi Fig. 105

Nous verrons que les profils usuels de ces fers répondent à deux types biens distincts : les fers à petites ailes, (fig. KM) et les fers à larges ailes (fig. 105).