LOIS DE LA TORSION
Transportons maintenant au centre de gravité 0 du plateau B toutes les forces telles que f et f" développées par les réactions moléculaires de toutes les tibres du plateau B.
Les forces telles que f étant toutes parallèles à OX auront une résultante F' égale à leur somme et dirigée parallèlement à OX, et l'on aura :
Gs
AS
Pour la même raison, on aura :
F" = S/" = % Su>x.
AS
Mais les axes OX et OY, que nous avonschoisis, passent par le centre de gravité, donc Swa? = 0 et £wy = 0. Par conséquent.
Ainsi donc, premier point important, la résultante de translation des réactions moléculaires est nulle; il ne nous reste plus à considérer que le couple résultant.
(c) Composition des couples élémentaires. — Le transport au point 0 de chaque force telle que f a donné lieu à un couple élémentaire dont le moment n' est
n'=fy =
ecoGy* AS
De même, le transport au point 0 de chaque force telle que f" a donné lieu à un couple dont le moment n" est
AS
D'ailleurs, les axes de tous ces couples sont parallèles entre eux et perpendiculaires au plan de la section puisque toutes les forces f et f" sont situées dans le plan de cette section ; le couple résultant total, que nous désignerons par N, aura donc un moment égal à la somme de tous les moments élémentaires tels que n' et n", et l'on pourra écrire
N = 1 ^ + MX2) ou bien, comme x2-h y2 = r2,
ou encore, en remarquant que Sur2 est le moment d'inertie polaire (v. n° 74) du plateau B, moment d'inertie que nous avons désigné par J, on aura :
AS
d'où l'on tire
formule analogue à celle de l'infléchissement (v. n° 142) et qui était, on se le rappelle :
Par analogie, nous nommerons la formule (2) la formule du torsionnement.
157. Efforts tranchants fibraires. — Nous avons trouvé plus haut, formule (1), pour valeur de l'effort moléculaire développé par la fibre ab située à une dislance r du centre de gravité 0,
rsGoj
AS
il en résulte
La libre considérée ayant une section que l'effort unitaire par millimètre carré esl
rsG ÂS
ou, en remplaçant £ par sa valeur tirée de (2),
formule de même forme que celle de l'effort fibraire de flexion.
Cette formule (3) montre que l'effort t est proportionnel à la distance r ; par conséquent, la fibre la plus fatiguée sera celle qui est la plus éloignée du centre de gravité. Soit w la distance du centre de gravité à cette fibre extrême ; la formule (3) donnera en l'y appliquant
Nio ~ '
c'est la formule de la fibre extrême.
Enfin si dans la formule (3') nous remplaçons t' par la résistance de sécurité S, nous obtenons l'équation d'équarrissage (4)
Nw J N
— ou — = - .
On voit toutes les analogies qui existent entre ces formules et celles qui sont relatives à la flexion.
Il est très rare qu'un organe de construction travaille à la torsion, aussi nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet. En mécanique, au contraire, la torsion intervient fréquemment, particulièrement dans le travail des arbres de machines. D'ailleurs les formules précédentes ne s'appliquent rigoureusement qu'à des sections parfaitement circulaires ; pour toutes les autres formes de sections les formules sont beaucoup plus compliquées.
158. Tableau des formules de torsion. — Nous terminerons cette étude de la torsion en donnant le tableau cidessous qui résume tous les résultats auxquels nous sommes arrivés.
