COMPOSITION GRAPHIQUE D

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aux moments. En général, les diverses forces ou moments soot donnés parleurs projections sur deux plans rectangulaires. Dans ce cas, il n'est pis nécessaire, pour construire le polygone des moments, de rabattre les plans projetant cbacune des forces du point donné, et de transformer les surfaces représentatives des moments dans l'espace; il suffit d'opérer sur les projections de ces surfaces, ainsi que nous allons le faire voir.

Imaginons que nous fassions tourner, autour de sa trace OX sur le plan horizontal, le plan OA projetant une force A du point 0, et que ce plan entraîne avec lui sa normale représentant la force à l'infini que l'on obtient eu décomposant A en une force égale et parallèle passant par 0 et en une force à l'infini. Dans cette rotation, la force A décrira un cAne circulaire droit, et la normale un plan. Considérons diverses positions, A,, A,, A,, etc..., de la force A, et les positions correspondantes p,, ;>, , p, de la normale. La position A, correspond au moment oh le plan OA est horizontal. Dans une position quelconque A,, par exemple, l'angle que le plan OA, fait avec le plan de projection est égal à l'angle que la normale ;>, fait avec la verticale 01. Par suite, lu rapport de l'aire OA, à sa projection OP, sera le mAme que celui du rayon p, à ^ projection verticale A„ de sorte qu'il suffira pour obtenir A, de trans-

ormer l'aire OF,.

Il résulte en outre de la fig. 138 que le signe de la projection de la

surface du moment correspond au signe de h. Choisissons d'abord le sens positif de h de façon que, dans une position déterminée, p, par exemple, son signe soit le même que celui de la surface xorrespon-

iW cuMrijaiTFON i>es nmxs,

diinle A,, Lortiqiiu A, loume autour do l'axe OX. h conserve 1« mfiins sigtie jusqu'à la position verticale OA, du plan; dans cette position, fi, est horizontal, et F, et A, sont tous les deux égiiux à 0. Le plan continuiint son mouvement de rotation, la projection de la surface change do signe, et il en est de môme da k, qui devient négatif. Par suito, si la force A du système occupe la position A„ h cette position correspondra une diminution h^ de l'ordonnée du polygone dos moments. Enfin, si le plan OA tourne de it, l;i force A revient dans le plan homontal, et le rayon correspondant Oa est situé dans lo prolonfïement de 01 ; il lui est égal et de sens contraire.

Il résulte de Ifi que :

L'aire de la projerlion d'une mu'fat^e de mimienl eal jiropnrliunnelle à l'arcroistemenl cùrreapondani de Vordrmnée du puli/yime des momenls, et le »ign« de cvl avcromemeni cotTeipomi au signe de la projection.

NouK avons effectué, d'après les règles de la Géométrie descriptive, PI. Vil, les opérations indiquées, en les appliquant an cas de quatre forces et en utilisant la propriété que nous venons de démontrer.

Les quatre lorces sont données en grandeiu- et en direction par leurs projections homontale et verticale 1334. Nous décomposons chacune de ces forces en une force de même grandeur et de môme direction passant par le point 0, et en une force à l'infini. La résultante des premières composantes s'obtient au moyen du polygone des forces 0I234M, d'après les règles connues (voir n* 38, p. 150); cette résultante OM est dclerminée en grandeur et en direction par ses deux projections OM.

Les directions des composantes à l'inflni sont déterminées par des rayons normaux aux surfaces de moment, et qui sont par suite perpendiculaires aux parallèles aux plans de projection menées dans ces surfaces,

Pour obtenir la projection d'une horizontale de la surface 01, par exemple, dont nous avons figuré le contour complet sur les deux plans de projection, on n'a qu'à mener une horizontale «, dans le plan vertical, et à projeter sur le plan horizontal les points d'intersection de cette horizontale avec le contour de la surface de moment; on obtient ainsi la projection cherchée a de l'horizontale. On détermine de la même manière la projection verticale A, d'une parallèle au plan vertical menée dans la surface de moment.

Ces droites, qui sont parallèles aux traces de la surface de moment sur les plans de projection, sont indiquées, pour les différentes forces, par des lignes pointillées ainsi : — . Les différents côtés du polygone des moments étant perpendiculaires aux surfaces de moment correspondantes, leurs projections seront perpendiculaires aux traces de

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6as surfaces. Ainsi, dans chaque plan de projection, le c6té ... 3 ... du polygone des moments ûiâ34U est perpendiculaire sur la ligne pointiUée "^ ' — correspondante à la force 3.

L'accroissement de Tordonnée de ce polygone, c'est-à-dire de la hau^ teur des sommets par rapport à chaque plan de projection, est propor^ tionnel à Taire de la surface suivant laquelle se projette la surface de momeot correspondante. Nous réduisons, dans chaque plan de projec*tion, tous les moments à une môme base r, comme nous Tavons indiqué m n* 49, p. 173, en considérant le rayon correspondant à Tun des points d'intersection de chaque force 1, par ei^emple, avec le cercle comme base (ja triangle 01 ; Taire de la projection de la surface de moment sera représentée, dans le plan horizontal, par Tantiprojection A,, et, dans le plan vertical, par Tantiprojection k^ . Pour permettre de reconnaître le signe qu'il faut donner à chaque accroissement de Tordonnée, nous avons indiqué, d'une façon générale, au moyen de flèches, la corrélation entre les signes de ces accroissements et les signes des surfaces. Les flèches placées sur la circonférence des cercles correspondent aux sur* faces, et les flèches placées perpendiculairement à la ligne de terre correspondent aux accroissements des ordonnées.

Ces antiprojections nous donnent les accroissements des ordonnées du polygone des moments, savoir : A, pour le plan vertical, et k^ pour le pUn borixontal. Comme d'ailleurs les différents côtés du polygone sont

perpendiculaires aux lignes pointillées — correspondantes, les

lommets consécutifs du polygone sont complètement déterminés.

La construction devient peu exacte lorsque la surface de moment se rapproche d'un plan perpendiculaire à la ligne de terre. On n'a, dans ce cas, qu'à changer Tun des plans de projection. C'est ce que nous avons fait pour la force 2. Nous avons changé le plan vertical en prenant pour nouvelle ligne de terre la projection de l'horizontale a,. La nouvelle projection de la force 2 est 2,, et celle du pôle 0 est Oj. Nous avons ensuite réduit comme précédemment la surface de moment et obtenu, comme antiprojection de 2^, normalement à a,, la longueur ifc,, qui est égale à la longueur du côté 2 du polygone des moments, puisque ce côté est perpendiculaire à la ligne de terre a,.

Pour la détermination de la projection verticale, il suffit de déterminer l'accroissement de Tordonnée par la réduction de la surface de moment 02 dans le plan horizontal.

On obtient de la môme manière les difi'érents côtés du polygone des moments 01 334 U, et on détermine ainsi le rayon OU qui correspond en grandeur et en direction à la résultante de toutes les forces à l'infini.

Nous déterminons ainsi complètement un système de forces aiaaloguç