PÔLE SITUÉ A l'infini

Si le pôle du polygone funiculaire s'éloigne à Tinfini, le polygone des forces devient une ligne droite, car les différentes forces sont alors toutes parallèles»

Cette ligne droite doit être considérée comme résultant de la superposition de deux droites. Menons en effet, par le pôle 0 du polygone des forces, une ligne droite passant par un point A de ce polygone, et menons deux tangentes h la courbe du polygone funiculaire qui soient parallèles à cette droite. Appelons B le second point où la ligne OA rencontre la courbe du polygone des forces, et a, b, les deux tangentes. D'après ce qui a été dit au n' 74, p. 265, les formes aéoo, BAO sont semblables. Mais, comme a oc et ôqo sont infinis, tandis que AO est fini, la similitude n'est possible que si les points A et B se confondent. Chaque point de la droite qui représente le polygone des forces est donc un point double, et ce polygone se réduit à une droite double, et non pas à deux droites placées symétriquement par rapport à 0, comme on serait tenté de le croire au premier abord.

Si la courbe de Tun des polygones est une ellipse ou une parabole, la droite représentant l'autre polygone est illimitée, car, si Ton mène parle pôle 0 des parallèles à toutes les tangentes possibles de Tellipse, on obtient toutes les directions possibles. Si, au contraire, la courbe de Tun des polygones est une hyperbole, Tautre polygone se réduit à une portion de droite qui sous-tend du pôle un angle égal au supplément de l'angle des asymptotes, car la partie de la droite à Tinflni qui est comprise à rintérieur de Thyperbole, c'est-à-dire entre les asymptotes, n'est rencontrée par aucune tangente.

Cette portion de droite est finie lorsque le pôle à l'infini est situé à l'intérieur de l'hyperbole, parce qu'alors ce pôle se trouve en dehors de

:m.i COMPOSITION DES FOIICES.

la portion de la droite à l'inlinî comprise dans le supplément de l'angle des asymptotes. Au contraire, quand le pôle à l'infini est situé à l'eitirieur de l'hyperbole, la portion de droite qui rej)résente l'autre potj' gone est infinie dans deus sens, c'est-à-dire est formée de deux brancbc! parce que, dans ce cas, le pôle divise en deux parties la portion de II droite à l'inflni comprise dans le supplément de l'angle des asymptotes

Ëalin, quand le pôle à l'inltni est situé sur l'hyperbole, la droite rC' présentant l'autre polygone devient parallèle à l'une des asymptotes ; li portion de cette droite représentant la polygone des forces ot situéi dans le supplément de l'angle des asymptotes est alors limitée d'imi part par un point situé h distance linie. d'autre pari par un point situé i l'inBai.

Toutes les relations projectives indiquées an n* 73, p. 268. Ironven encore ici leur application.

Pour construire les différents points du polygone des forces, le pro cédé le plus simple consiste à utiliser la propriété indiquée au n" 75 p. 269, d'après laquelle le polygone des forces est projectif à uni section quelconque du faisceau, qui, du centre de la courbe, projetti les différents points de cette courbe sur une droite dont ta direction es conjuguée avec la direction des forces.

Faisons l'application de cette propriété h deux exemples, en prenant dans un cas, comme polygone funiculaire une ellipse (/fi/. 137), dan;

l'autre une hyperbole (/ïj/. 138). Le premier cas correspond à celui dum voûte elliptique, le second k celui d'un cdble hyperbolique.

PÔLE SITUÉ A l'infini. 2iJi

Nous supposons que les forces verticales résultent de charges réparties sur la voûte. Divisons Tare elliptique en un certain nombre de parties ayant toutes la môme largeur mesurée suivant la direction conjugée de la verticale et représentons la charge agissant sur chaque partie par l'aire d'un trapèze ayant pour base l'arc correspondant et pour côtés latéraux des verticales. Les différentes forces du polygone des forces seront proportionnelles aux hauteurs de ces trapèzes. Mais ces forces sont aussi proportionnelles aux segments interceptés sur le faisceau qui projette les différents points de la courbe sur une droite parallèle à la direction conjuguée de la direction des forces. Par suite, nous menons des rayons (indiqués en pointillé sur la figure) jusqu'à la rencontre de la tangente au sommet, et les segments déterminés par ces rayons nous donnent les hauteurs des trapèzes. Les segments et les trapèzes correspondants sont désirés par les mêmes numéros, lorsfjue ces segments ne tombent pas dans l'étendue des trapèzes.

Il résulte des figures ci-dessus que les charges d'une courbe elliptique doivent augmenter jusqu'à l'infini, parce que, le centre étant situé à l'intérieur de la courbe, on peut mener des parallèles à une direction quelconque, et par suite à la direction conjuguée de celle des forces. Au contraire, les charges d'un câble hyperbolique diminuent jusqu'à zéro, parce que le centre est situé en dehors de la courbe et que les bases des trapèzes se rapprochent de plus en plus de la direction des asymptotes. Les segments sont en nombre infini; mais leur somme est finie; elle est égale à la partie de la tangente au sommet comprise entre les asymptotes. Nous ferons remarquer ici, en devançant les résultats que nous indiquerons plus loin, que, dans le cas d'une courbe parabolique, les segments n'augmentent ni ne diminuent, et que la charge est alors constante.

Si l'on veut pouvoir mesurer immédiatement sur le polygone des forces, en grandeur et en direction, les pressions et les tensions de la voûte et du câble, on n'a qu'à amener dans la direction des forces la tangente au sommet et les segments interceptés sur cette tangente; on obtient alors le polygone des forces avec l'orientation qu'il doit avoir. Pour déterminer la position du pôle, il est nécessaire de connaître au moins la direction de deux rayons. Sur la ^r/. 138, le pôle est déterminé par l'intersection de trois rayons, parallèles respectivement à la tangente au sommet et aux asymptotes. Sur la fig. 137, le pôle est déterminé au moyen des rayons parallèles à la tangente au sommet, à la tangente au point (2 3) ou au diamètre conjugué au rayon (23), et au diamètre (2 3). L'intersection du rayon parallèle à ce dernier diamètre avec le polygone des forces s'obtient au moyen du segment i i résultant de Tinter-

I>RK fOHCRS.

section du diaiiiËtre conjugué el de la Uingeute an ^mmel. La lungueur lin chaque rayon fait coiinaltro la compression on la leasitin dans l'Élément correspondant de l'arc on du câble qui est parallèle à ce rayon.

Pour obtenir directement la distance polaire h, fig. i37. mesurée suivant la direction de la tan^^enle an sommcL, muis remarquons que le Iriangie formé par cette dist<mce polaire, par un rayon quelconque {2 3) et par la droite sur laquelle les forces sont portées, est semblable au triangle formé par le diamètre n iiariiUMe ii la direction des forces, par le diamètre parallèle au rayon cl par suite conjugué au diamètre correspondant [2 3j, et enlin par la portion / de la tangente au sommet. Si donc la longueur i est prise égale à a, h devra être aussi égal à la longueur correspondante (3 4 5 6). et par suite égal au segment que le diamètre conjugué (soil 2 3 dans la figure) intercepte sur lu tangente au sommet fi partir du point de contact de cette tangente. En portant ies longueurs a et h sur celte tangente, à partir de son point de contact, dans des sens opposés pour une ellipse, et dans le môme sens pour une byperbole, les extrémités de ces longueurs sont situées sur des diamètres conjugués. La construction de ces diamètres fournit, dans tous les cas, le procédé le plus rapide pour déterminer la distance polaire, et si nous n'avons pas effectué cette construction sur la fiij. 07, c'est qu'elle sortait des limites de la ligure.

Les extrémités des segments a el A portés sur la tangente au sommet apparlieniient îi la ponctuelle en involntii-n déterminée sur celle tangente par les diamètres conjugués; dans cette ponctuelle, le sommet à partir duquel les segments a et A ont été portés, est conjugué du point à l'infini. De lu résulte que le produit ah est constant, comme nous l'avons déjà vu d'une autre manière. Dans' le cas de l'ellipse, a et h sont portés dans des directions opposées et le produit ah est négatif; la ponctuelle n'a alors pas de points unis. Dans le cas de l'hyperbole, au contraire, d et A sont portés dans le même sens, et la ponctuelle a deux points unis qui correspondent aux asymptotes. Dans les deu.\ cas, le produit ah est égal au carré A' du diamètre conjugué à a.

Par suite, dans le cas de l'hyperbole, on peut dire que la moitié de la distance entre les extrémités du polygone des forces est moyenne pntportionnelle entre a et A. Nous avons indiqué, sur la fig. i38, une construction déduite de cette propriété; mais elle n'est pas aussi expéditive que la première,

Enlin rappelons-nous que deux tangentes quelconques, considérées comme des cùlés exlri'^mcs du polygone funiculaire, se coupent sur la résultante comprise entre les points de contact de ces tangentes. Ainsi l'intersection de la tangente en (2 3) avec la tangente au sommet [6 1j est

PÔLF SITUK A L'iNFini. 283

située sur la résultante des pressions exercées par les trapèzes compris entre les points (2 3) et (6 7), c'est-à-dire les trapèzes 3 i 5 6 (3 4 5 dans le cas de Thyperbole). Nous n'avons indiqué sur la fig, 137 que la tangente en (2 3).

Les courbes de pression, que nous venons de construire, sont importantes dans la pratique, parce qu'elles montrent comment on doit charger une voûte pour que sa courbe de pression soit une courbe du second degré. La plupart des voûtes étant circulaires ou elliptiques, nous avons indiqué, PI. IX, comment les courbes de charge se modifient quand on fait varier la charge h^ au sommet. Nous avons supposé, pour plus de généralité, que la section de la voûte est une demi-ellipse terminée aux extrémités du diamètre conjugué de la direction des forces, c'est-à-dire de la verticale dans le cas actuel. Nous avons divisé la charge en un certain nombre de parties au moyen de lignes verticales, dont la distance de l'une à l'autre, mesurée parallèlement au diamètre limitant l'ellipse, est constante. Nous avons indiqué sur la figure les verticales moyennes de chaque partie.

Pour construire la première courbe de charge 1, nous projetons sur une parallèle P à la tangente au sommet les points de division de l'arc, et nous portons les segments obtenus au-dessus de l'arc pour former les hauteurs correspondantes des trapèzes. Pour construire les autres courbes, nous déplaçons P parallèlement à elle-même et au diamètre limitant l'ellipse. Pour simplifier, nous avons construit les courbes 2, 4, 6, 8, iO, 12 et 23, en portant autant de fois les uns au-dessus des autres les segments déterminés sur P.

Outre ce que nous avons déjà dit de la forme des courbes de charge, nous ferons remarquer que pour les courbes de charge 1 à 10, dont la plus petite hauteur de charge correspond au sommet, la courbure de ces courbes est, à la clef, tournée dans le même sens que celle de l'ellipse, et, aux culées, la courbure est tournée en sens contraire. Les points d'inflexion sont naturellement situés entre les parties à courbures inverses. A mesure que la charge augmente, ces points d'inflexion se rapprochent du sommet, et le rayon de courbure de la portion de courbe comprise entre ces points augmente. •

Quand la hauteur de charge au sommet est égale au tiers de l'axe vertical de l'ellipse, les points d'inflexion se confondent avec le sommet, d'après ce que nous avons vu au n" 77, p. 278, et le rayon de courbure au sommet devient infini. Ce point de la courbe est alors un point quadruple, et la courbe paraît avoir dans rotlc partie un cIcmiumU rccMlipfiK; d'une longueur appréciable, (rcst ce que reprcficnlo la courhe 12.

La géométrie pure ne possède aucun moyen de déterminer le rapport

âSi ClinPOSITUIN UKS FOItCKS.

i qui correspond h ce cas; nous ne pmivons. par suite, que renvoyer aiil (J^veloppements analytiques du n' 77.

Alin de montrer tii forme que doit avoir un arc elliptique libre, par e:ieniple un arc-boutani, nous avons couvert de hachures la surface comprise entre l'ellipse et la rourbe I, On voit que cette surface hachurée a tout 11 fait la forme que tes anciens architectes donnaient à leurs arcboulanls; les clochetons, qui surmontaient toujours les calées, correspondent aux hauteurs de charge infinies. Ces constructeurs avaient iiiusî un sentiment très juste de la forme qu'il convenait de donner aux voûtes au point de vue de la stabilité.

n'est te professeur Bauenifeinil, de Munich, qui, à notre connaissance, a le premier donné l'équation (les courbes de charge pour les sections coniques (vol, IV, l*WG. dn Journal Hei ehemim de fer de Sluttgar)/. ït' 34, p, 291)).

73. POINT A l'iNPINJ n'uNK PABABOLE PIIIS COBIIE rfitB n'US POLV60ZIR

Nous passons du cas de l'ellipse et de l'hyperbole h celui de la parabole en déplaçant h l'inflnt le centre de la courbe dans ia direcUoe des

forces.

Remarquons que le polygone funiculaire correspondant à un arc on i\ un cible nniformi'menl l'hargé peut être considéré comme une ellipse ou une hyperbole dont le centre coïncide avec le centre de la terre. Si «n considère ce ccnlrc comme situé à l'infini, l'ellipse ou l'hyperbole deviendra une parabole vers le point fi l'inlini de laquelle toutes le-; forces sont dirigées. Par suite, le faisceau de ces forces est perspectif à la courbe, et tout ce que nous avons dit au n'73, p. â71, s'applique ici. Enlin, comme la droite à l'infini est tangente k Iji courbe, toutes le:* formes projeilives. qui' nous avons mentionnées, sont semblables, parce que, dans toutes ces formes, le point à l'infini et la tangente i\ l'infini de la courbe sont des élénienls corrcspondanls.

Ccllii rclaliuii de sifniiilude existe en particulier entre :

Lrt! faisce;ui de rayons parallèles à la direction des forces, c'est-à-dire passant par le pôle, qui projettent les difTcrents points de la parabole:

Les segments interceptés par les tangentes en ces points sur une tan- .^ente quelconque:

Les segments interceptes sur la droite qui forme le polygone de> forces par le faisceau de rayons menés du pùle des forces parallèiement aux différentes tangentes.

POINT A L'iNFINr DUNE PARABOLE PRIS COMME PÔLE D'UN POLYGONE. 285

Nous avons vu que, lorsque le pôle d'une des courbes est situé sur cette courbe, l'autre courbe est une parabole. Dans le cas actuel, cette parabole consiste en deux droites parallèles, dont Tune est le polygone des forces et dont Tautre passe par le pôle de ce polygone, car ce pôle étant perspectif à la courbe doit être situé sur celle-ci. On peut d'ailleurs donner de cette proposition une démonstration analogue à celle de la page 279. Menons, par le pôle 0, une droite quelconque coupant le polygone des forces en A et l'autre droite en B ; des deux tangentes a et b menées à la parabole du polygone funiculaire parallèlement à cette droite OAB, l'une b est la droite à l'infini, et elle passe par le pôle 0,. Or, comme OAB doit être semblable à 0,aô, cette condition ne peut être satisfaite que si le point B coïncide avec le pôle 0.

De la relation de similitude entre le faisceau de rayons parallèles projetant les points de la courbe et les segments du polygone des forces, résulte encore cette propriété que, si les rayons du faisceau sont équidistants, les segments doivent être égaux (comparez n' 77, p. 278); par suite, la charge sur des portions de courbe de même largeur parallèlement à une direction quelconque est constante, ce qui montre que la parabole est la courbe correspondante à une charge uniformément répartie suivant une direction quelconque.

Le point d'intersection de deux tangentes quelconques à la parabole est situé à égale distance des diamètres passant par les points de contact, car, si on considère les deux diamètres comme les côtés d'un triangle inscrit dans une courbe du second degré, ils forment un faisceau harmonique avec la tangente en leur point d'intersection et la droite qui joint ce dernier point au point d'intersection des deux autres tangentes. Donc le centre de pression d'un arc de parabole uniformément chargé est %iiué sur le diamètre moyen de cet arc. De là résulte aussi que le rapport de similitude entre les deux ponctuelles obtenues par l'intersection d'une tangente quelconque avec toutes les autres tangentes et avec le faisceau de rayon parallèles menés par les points de contact est i : 2.

Construisons (fig. 139), au moyen du polygone des forces, le polygone funiculaire correspondant à une charge uniformément répartie. Soient i, 2, 3 les forces agissant sur les longueurs horizontales i, 2, 3; ces forces passent par le milieu de ces longueurs et leur sont proportionnelles. Sur la gauche de la ligure, nous avons tracé le polygone des forces à l'extrémité d'une distance polaire H qui représente une poussée horizontale, puis nous avons mené les côtés du polygone funiculaire. Ces côtés étant tangents à une parabole se coupent mutuellement suivant des ponctuelles semblables. Les côtés du polygone des forces sont d'ailleurs proportionnels aux longueurs 1,2, 3, interceptées sur la tangente

au sommet par les autri;s lângenlcs, et par suite te polygone des forces forme UDe pùiiciuelle (semblable h celle que l'on obtient par l'intersec-

tion d'ane tanj^nte qaelconqoe et des autres tangaales. Sa oulie, comme les rayons qui, du foyer F de la parabole, projette let fWiBts

d'intersection d'nne tangente avec !ea autres tangentes, forment des angles égaux avec, ces dernières, c'est-à-dire avec les côtés dn polygone funiculaire qui sont parallèles aux rayons OaP, il en résulte que les faisceaux F et 0 sont congruents; les rayons correspondants de ces faisceaux forment entre eus un angle constant. Donc, te polygone des forres forme une jinnetuelle semblabk à i-elle qui résulte de ftnlenertion d'une tangente quelconque avec le faisceau F, el la iiremiére ponctuelle es! '.-ongruetite avec Fune de celles-ci.

Cette propriété nous donne un moyen facile pour construire le foyer d'un polygone funiculaire parabolique. On n'a pour cela qu'h mener une parallèle à aP telle que les segments inlerceplés sur te faisceau 11 soient égaux aux segments correspondants d'une tangente quelconque; puis, partant d'un des points de division, on fait l'angle F(I2)3 égal à l'angle 0(12)3, et la dislance F(12) égale à 11(12), ce qui détermine le foyer F cherché. On a alors tous les éléments dont on a besoin pour la construction de la parabole.

Prenons en particulier, pour effectuer cette construction, le rayon passant par le point de contact de la tangente considérée. Le rayon correspondant du polygone des forces sera parallèle à cette tangcnl«, et, en