FH + EG
Par suite, si Ton désigne par a et i les longueurs des côtés parallèles, on a
FH+EG=^(a + ô);
d'où
\[a-\-b) 3 a + 6 La distance du centre de gravité à l'autre côté parallèle est
La longueur d'une parallèle à a et 6 passant par le centre de gravité est égale à
ay + by, ^ 2{a' + ah + b*) y + y, 3(a + b)
La distance du centre de gravité à l'un des côtés obliques, niesurée
i:e?itre de gravita de figures limit^.rs par des lignes droites. 353
suivant la direction des côtés parallèles, étant la moitié de cette longueur, le moment par rapport à Tun de ces côtés sera égal à
gR=^A(a« + aô + ô»).
On arrive aux mêmes résultats, sous une forme un peu plus ^nérale, en consi- (itérant le. trapèze comme la surface compris^ entre deux ordonnées consécutives z, Ml 2^, lient la distance est égale à yt — ^p L'équation de la droite (yiSi)(y|2i) est :
(Sf — h)u + (yi — yt)2 + Uth — yi»t = o.
De cette équation on déduira Texpression d*un élément superficiel du trapèze, en considérant soit y comme une fonction de z, soit z comme une fonction de y; on substituera cette expression dans Téquation des moments, et on intégrera entre les limites correspondantes aux indices 1 et 2. On pourra utiliser dans ce but la formule
suivante :
1 fi 1 fî -^-^— \ y*»x*rfy = \ y^z^dz
Nous emploierons plus loin, pour les moments d'inertie, cette formule qui abrège acoup Pintégration. Les combinaisons des indices ghik doivent être telles que
9 + 1 = 171 et A + A = n; I j et ( J sont les coefficients du binôme, et la
somme s'étend à toutes les combinaisons possibles de t et k. En effectuant les opérations indiquées, on a pour la surface F :
J^ = 2(yt — yi)(«i + «t)- Le moment par rapport à l'axe des y est :
ÙR» = r y^di = 5 (Vî - Vu [I2yi + yiJz^ + (y, + 2y,):,],
et le moment par rapport à Taxe des z est :
a», = ^ ^ zVy = ^ (y, - yi) (z? + z,z, + z])'
U division de ces moments par la surface donne les coordonnées du centre <ij gravité, savoir :
(gVt 4- y,)gt + 'yi -i- 2y;jx^ {2Zi 4- zjyi j- U^ + 2zi)y^ ^*- 3(z,+ z^ 3(zt + zJ
d) Centre de graTité d'un quadrilatère irrégnlier.
On partage le quadrilatère ABGD {fig. 160) par la diagonale BD en deux triangles ABD et GDB, dont les centres de gravité S, et S, se
su
MUUFNTS l>KH KOKCRS PAIIALLËLES.
trouvent situés au tiers des lig
Kig, 160.
S EA et EG, qui réunissent le milieu Ë de la diagonale aux sommets opposés A et C. Le centre de gravité S du quadrilatère partage la ligne S,S„ qui réunit les centres de gravité des deux triangles, de telle sorte que les segments S,S et SS, soient inversement proportionnels aux aires des deux triangle^ -Aj correspondants. Mais comme ces aires, qui ont une base commune BD, sont proportionnelles aux segments AF et FC de la deuxième diagonale AG, et que celle diagonale est parallèle à S[S„ on obtient le point S en intervertissant les segments sur AG, c'est-îi-dire en portant AG = FC et GC = AF; S se trouve alors sur la ligne EG. car on a
