S^AG__FC SS, ~ GC ~ AP
Tr.CDB Tr.ABD
Si l'on remarque en outre que S est au tiers de EG, puisque S, et S, sont au tiers des lignes GA et EC, ou peut dire : ÏA centre de gravité S d'un quadrilatère ABGD eit au tien de la droite
EG, que Von obtient en joignant le point E, milieu d'une diagonale, au point G qui est déterminé sur la deuxième diagonale par finlerversion des segtiienls interceptés sur celle deuxième diagonale par la première.
Si l'on réptte cette construction, en changeant la diagonale sur laquelle on opère, le point S devra se trouver également au tiers de la ligne KH, qui joint le milieu K de CA au point H qui résulte de l'interversion des segments FD et BF. En remarquant que les points milieux E et K des diagonales sont aussi au milieu de GF et de HF, on peut dire : Le centre de gracile d un quadrilatère coïncide ai'ec celui d'un triangle, qui aurait ses sommets au point d'intersection F rfes diagonales, et aux points H et G, que l'on obtient par l'interversion des segments que les diagonales interceptent l'une sur l'autre.
Les points F, S et le milieu J de HG sont en ligne droite. Si CD et AB deviennent parallèles, c'est-à-dire si le quadrilatère est un trapèze, HG devient aussi parallèle à ces lignes, et leurs trois points milieux se trouvent avec F et le centre de gravité S sur une même ligne droite. Cette proposition est d'accord avec ce que nous avons dit plus haut en c). On en déduit également le théorème déjà énoncé sur la dislance du centre de gravité ù l'un des eûtes parallèles du trapèze.
CENTRE DE GRAVITÉ DE FIGURES LIMITÉES PAR t)E8 LIGNES DROITES. 355
e) Centre de gravité des polygones asrant plus de quatre côtés.
Le procédé le plus simple pour déterminer le centre de gravité de polygones ayant plus de quatre côtés consiste à les décomposer en quadrilatères et à réunir leurs centres de gravité par un polygone funiculaire
tracé d'après les règles du n* 58 (p. 198)
On peut, de la manière suivante^ obtenir des expressions analytiques des moments des polygones au moyen de Texpression relative au cas du triangle.
Soient Xiyi les coordonnées des sommets d*un polygone. Si de Torigine des coordonnées nous projetons le cété ik, nous aurons, pour Texpression de la surface du triangle ainsi obtenu et pour celle du moment de ce triangle par rapport à Taxe
2Fi»= I Xi y,
et ôSJîa =
Xi yi xk yu
(yi + yjk).
On obtient la surface totale et le moment total en faisant la somme des déterminants pour tous les cétés du polygone, et, dans cette sommation, le signe de la surface et celui du moment sont indiqués par Tordre des indices t'A; dans le contour du polygone. Si toutes les surfaces et tous les moments à ajouter doivent avoir le même signe, le sens de ik doit rester le même dans le contour.
En appliquant cette sommation à un triangle quelconque 123, on obtient :
^1 yi
a?i yi yj + ys ^i y» ys + y\ ^i ys y\ + y\
^ty%
^tVi
^1 yi 1
a^ys
Xi yi
a?j yt 1 •i^s y.i 1
Xi Vi 1
^j yt 1
a^s ys 1
yilS:
en désignant par y^^f la somme des trois ordonnées yi + yi + ys*
Au lieu de projeter les différents cétés du polygone à partir do Torigine des coordonnées, on peut les projeter d'un des sommets du polygone, le sommet 1 par exemple. Dans ce ca^, on doit faire la somme des derniers déterminants pour les
indices
123, 134..., II/:..., In— In.
Appliquons «cette sommation au quadrilatère. Nous aurons :
= Xi
Xa
^t yt 1
^sys 1
a^iys 1
xt, yt, 1
yt 10 ytOi yiio yiOi
^i yi 1 ^f yj 1 ysii ^ys 1 ^k yk 1 ytis
^1 yt 1 ^f y« 1 3^8 ys 1 ^k y* 1
yi
ys
Xi yi s \
^i Vt y» 1
x^yji s 1
I désignant la somme yt + ys + ys + y^ • H est facile de déduire de ces expressions, au moyen de substitutions convenables, les résultats indiqués dans les paragraphes c et â. Mais ce calcul serait sans utilité. Ces déterminants ne peuvent lerrir que pour obtenir la surfiace et le moment de polygones irréguliers.
96. CESTBK DE GHAVITÉ DES FIGXIHES LIMITÉES PAB TES LIGNES COURBES
a) Centre de grarité d'nn secteur de cercle.
Si l'on suppose le secLeur di>eomposé en secteurs élémenlaires ayant tous le même centre, les centi'Oî* de gravité de ces différents élémeuts, dont l'un est hachuré sur la fig. IË1, et que l'on peut considérer comme
des triangles, seront situés sur Vate de cerr.Ie décrit avec le rayon - r.
Cet arc de cercle considéré comme le lieu de tous ces centres de gravité , étant également chargé par chaque élément, son centre de gravilé coïncide avec le centre de gravilé S, du secteur.
Pour appliquer la méthode donnée au paragraphe c) (fig. 157, p. 3*9), nous n'aurons qu'à développer le demi-arc BD sur la tangente moyenne 8B Ifig. 161), pois à joindre les points 0 et B, et à projeter l'extrémité \ de l'arc de cercle, lieu du centre de gravité, en C sur OB, parallèlement au rayon moyen. Le centre de gravité S, est le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur le rayon moyen.
h) Centra de gravité d'nn segment de cercle.
■ Considérons le segment DBD (fig. 161) comme la différence du secleur et du triangle ODD, dont le centre de gravilé S, coïncide avec le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur le rayon moyen. Le centre de gravité S sera le centre de deux forces parallèles dont l'une BB est proportionnelle à l'aire du secteur et agit en son centre de gravité S,, et dont l'autre ED est proportionnelle à l'aire négative du triangle et agit
CBNTRE DE GRAVITÉ DE FIGURES UMlTiES PAR DES LIGNES COURBES. 357
en son centre de gravité S,. Si l'on porte BB et DE sur deux parallèles S,G et FSi menées par S, et S„ en les intervertissant et en ayant égard à leurs signes, le point d'intersection des côtés opposés S^S, et FG du quadrilatère, dont les autres côtés sont des lignes proportionnelles aux aires, déterminera le centre de gravité du segment.
Cette construction n'est précise que lorsque la surface du triangle est petite par rapport à celle du secteur, c'est-à-dire quand l'angle DOD est grand. Lorsque cet angle est petit, il est préférable de considérer le segment de cercle comme un segment de parabole, ou de le décomposer en plusieurs segments de paraboles ou en triangles, que l'on compose ensuite au moyen d'un polygone funiculaire.
c] Centre de gravité d'un segment de parabole.
La position du centre de gravité d'un segment de parabole se détermine très facilement par le calcul. Soit
y« = px Fig. m.
réquation d*une parabole {fig. 162). On a alors pour la
surface, pour le moment par rapport à Taxe des y et pour
Tabscisse du centre de gravité :
F= ^' ydz=.)/p Ç V^rfx = ? v^ = ? A/, Mt= \' yzdz = V^ Y V^^« = I V^ = g /*^,
Le moment de la moitié du segment parabolique par rapport à Taxe de«| s et Tordonnée du centre de gravité sont :
If If 1 1
U surface du triangle formé par la corde de Tare de parabole et par les deux
tâD juntes aux extrémités de cet arc est A/, et les moments sont - A/* et - hH, Si
1 OU en retranche les moments obtenus ci-dessus pour le segment parabolique, on 'à pour le triangle formé par les deux tangentes et par Tare de parabole :
Noos avons représenté sur la fig. 162 les résultats que nous venons de trouver. Ces formules sont très utiles; elles permettent de tenir compte des petits arcs qui
3S8 MOKEhTS DES FORCES PATtALLËLES.
se présentent dons des profils irréguliers, et oa peut méma les appliquer, lani graves erreurs, à des segments de cercle assez grands.
<l) Centre de gravité da trapèze parabolique.
Dans la sommation des aires (n* âl, p. 103), nous avons considéré le trapèze parabolique comme l'élément constitutif des figures limitées par des courbes quelconques, dont l'aire élait à déterminer. H est dès lors inlÉressanl de rechercher le moment et le centre de gravité du trapËie parabolique, afin de pouvoir déterminer le moment et le centre de gravité d'une figure quelconque.
Nous piturrions, pour déterminer le rentre de gravité, construire séparément celui du segment parabolique et celui du trapèze, et partager leur distance en parties inversement proportionnelles aux aires. Mais, bien e ce procédé puisse être, dans certains cas particuliers, le plusexpédilif, il est en général préférable de calculer des formules donnant les moments , el de construire ensuite le centre de gravité au moyen de ces formules.
On arrive rapidement à établir ces formules en additionnant les moments du trapèze et du segment parabolique ; mais, en vue d'une application ultérieure au calcul des moments d'incrfie, nous les déterminerons analytiquement par intégration.
Comme on a à diviser les nioiiients par les sui-faces, il est utile d'introduii-e dans les rarmultis la surface l'Muite â la largeur, mesurée horizontalement, prise pour base. Désignons (fîg 163) par 2f la hnuteur médiane diminuée du tiers de la Qèche, ce qui donne pour l'expression de la surface totale F = Afl. Désignons en outre
par g les - de la flèche, par 2rf la différence des ordonnées eitrémes, et enfin par
Il l'abscisse de l'ordonnée y. Ces notations sont indiquées sur la figure. On a alors ;
li de la parabole est situé dans la direction des ordonnées, e(
