ELLIPSE CENTRALE

Les constructions développées dans le numéro précédent sont générales et s'appliquent à des points quelconques. Si, en particulier, on les effectue pour le centre de gravité, on pourra, d'une manière très simple, d'après les règles du n* 99, passer, des moments déterminés par rapport à des axes quelconques, passant par le centre de gravité, aux moments par rapport à des axes parallèles. En raison des facilités que donne la construction de l'ellipse d'inertie, pour la détermination de^ moments quelconques , on commence toujours par construire cette ellipse, qui porte le nom d'ellipse centrale.

Si l'on désigne, sous le nom d'antipôle d'une droite, le pôle d'une droite

Fig. 167.

symétrique de la première par rapport au centre de l'ellipse, le moment SxyAp (Tun système de Ap par rapport à deux axes quelconques est égal à P,

multiplié par le produit de la distance x^ du centre de gravité à Fun da axe», par h distance y, de Fantipàle de cet axe à l'autre axe, c'exl-à-dire ipte Tim a SsyAP =sj^P ou x^\V, si y, et x, représentent les distances du centre de gravité d Caxe des x et relie de Cantipôle de cet axe à Caxe des y. On a, en effet, d'après le n* 99 :

2; JryiI' = (ï,j, + C)P = ^-, L + ^

La distance du pùle et par suite de TantipAle de l'axe des y, au centre

de gravité est égale à— , k désignant la dislance de. la tangente parallèle

à l'axe des 1/, au centre de gravité. Si Ion mène par le centre de gravité une parallèle à t'axe des x, la distance de l'antipâle à cette parallèle est

égalf à — . car on a :

Par suite ^. -| — est égal à la distance, mesurée suivant la direction

des y, de l'antipAle à l'axe des x, distance que nous avons désignée par y,, ce qui démontre la proposition énoncée.

La construction de x,,tjfP offre le meilleur moyen de composer de'^ groupes de aP, par exemple une surface principale avec d'autres groupes ou surfaces. Pour <'onstruire lea deux polygones t'unirulaires, on supposera, pour le premier, les masses concentrées au centre de gravité, et pour le second à l'antipôle du premier axe. Parfois cependant, lorsque le centre de gravité est voisin des axes et que x^ est très petit ou égal à 0,

cette construction n'est plus facilement applicable, parce que — devient

alors très grand ou c&. On peut dans ce cas recourir par divers moyens à une construction directe des CP. La proposition suivante peut aussi être très utile.

ttn obtient (x^' -|- A')P et (x^y^ + G}P en supposant ~ P concentré ô •■lia-

i/ue extréinilv du diamètre cunjuijué à l'axe, à /jarlir diiifuel les x sont mesurés. On a en effet :

Si lellipse cenlrule d'un système de iP est donnée, il est très facilr.