MOMENTS d'inertie DE LIGNES

a) Moments d'inertie d'nne ligne droite.

Nous supposons la ligne droite uniformément chargée ; par suite son poids sera proportionnel à sa longueur; nous représenterons cette longueur, y compris le poids, par /. Le centre de gravité de la droite est par suite situé en son milieu, et son moment d'inertie par rapport à une perpendiculaire élevée en son milieu sera :

L'axe de l'ellipse centrale, qui coïncide avec la direction de la ligne,

est

v/ïi

Le moment d'inertie par rapport à la droite elle-même et égal à 0, et l'ellipse centrale se réduit à deux points situés sur la droite; leur dis-

/ tance au milieu de cette droite est égale à — := . Chaque tangente de l'el-

lipse centrale passe par un de ces deux points et dans tous les calculs

iOÏ ■OHBim DES rORCBS PAULLtLES,

de moments on peut supposer le poids ^ / conceatri en un de ces points.

Supposons maintenant la li^e occupant une position quelcosqne dans le plan ; soient y, ii et y, z, les coordonnées de leurs extrémités, le moment centrifuge par rapport à des parallèles aux axes des coordonnées, passant par le milieu de la ligne, sera égal à :

et par rapport aux axes eux-mêmes :

On en déduit les moments d'inertie en posant y ^z et l'on a finalement :

A = g(2y,2,+y,x,-|-y,i, + ay,i,),

h) Moments d'inertie da périmètre d'an triangle.

Le centre de graïilé de ce périmètre peul èlre déterminé de deux maniÈrcs différentes, soit que l'on suppose le poids tie chaque côté concentré en son milieu, soit que l'on suppose la moitié du poids de deux côtés concentrés en leurs points d'intersections.

En suivant la dernière méthode, on pourrait, d'après la fig. IC, p. 12, partager chaque côté du triangle, de telle façon que les segments soient entre eus dans le rapport inverse des poids concentrés à leurs estrémilés, poids qui sont proportionnels aux sommes des côlés adjacents, par suite h a-\- b, li-\-c,c-\-a. Les trois lignes qui joignent les points de division aux sommets opposés du triangle se coupent au centre de gravité S. En supposant le poids de chaque côté concentré en son milieu, on obtient une construction plus simple et plus élégante. Si l'on réunit lus trois points milieux des côlés, on détermine un triangle (pointillé

sur là /tg. nO), dont les côlés sont la moitié de ceux du grand

triangleelsontparsutto proportionnels aux poids concentrés ans sommets

■OMEHTB D'IHBIITIB DB LIGHBS.

opposés. Si l'on compose deux despoids agissant aux extrémités d'an c6té, leur résultante partagera ce cAté en deux segments qui seront entre eux dans le rapport des cAtés adjacents. Par snite, la ligne qui joint le point d'application d'une de ces résultantes, au milieu du cAté opposé du grand triangle, partage en deux parties égales l'angle da triangle

\ .-Ki

pointillé. Donc le centre de gravité du périmètre d'un triangle est le centre du cercle inscrit dans le triangle, dont les sommet» coïncident avec les pointa milieux des côtés du triangle donné.

Pour déterminer d'une façon précise les points où les droites, qui réunissent le centre de gravité S & un sommet, coupent le cAté opposé à ce sommet, nous menons par chaque sommet du grand triangle des parallèles aux deux bissectrices des angles du petit triangle qui sont voisins de ce sommet. Deux de ces parallèles, menées par des sommets différents du grand triangle, déterminent, avec deux cAtés de ce grand triangle, un quadrilatère semblable au quadrilatère que ces mAmes côtés formant avec les deux bissectrices correspondantes du petit

404 HOUBItTS D«S P0HCI4 PARALLELES.

Irinngle. Par suite, la ligne qui projette, du point d'intersection de ces deux cûlés, l'intersection des deux parallèles aus bissectrices, passe par le centre de gravité et ce centre est situé au milieu de cette ligne, le rapport de similitude des deux quadrilatères étant 2 à 1. Les parallèles aux bissectrices ont été construites directement comme troisièmes côtés des triangles isoscèles, formés par chaque angle extérieur et le côté adjacent. Les sommets extérieurs de ces triangles ne tombent pas dans les limites de la flgure; mais nous avons indiqué quelles sont les longueurs interceptées sur les prolongements des côtés. Cette construction du centre de gravité est toujours la plus simple. Les sis parallèles aux bissectrices forment un hexagone, dont les côtés opposés sont égaux deux à deux, et ont une longueur égale au double de chacune des lignes joignant le centre de gravité aux milieux des côtés du triangle, lignes auxquelles les côtéa de l'Iiejcagone sont raspectivement parallèles. Le centre de gravité est le centre de l'bexagooe et les lignes qui réunisseot les sommets de l'hexagone aux sommets du triangle, sont des diagonales.

Les segments, suivant lesquels le côté e est divisé par la ligne S [ab], sont respectivement, savoir le segment adjacent au côté a :

A-fc « — a

en désignant par

des trois côtés; et le segment adjacent au côlé f/

11 nous parait inutile d'indiquer quelles sont les expressions analogues des segments des autres côtés.

Pour déterminer les segments sur S {aè}, désignons la longueur de celle ligne par / et nous aurons, en prenant S comme origine des coordonnées, pour l'ordonnée du côté c :

L'ordonnée du sommet (ai) sera :

MOMENTS d'inertie DE LIGNES. 405

Enfin Tordonnée de la ligne qui joint les milieux de a et A sera :

2 as 2s

Le moment d'inertie du triangle par rapport à une parallèle à c passant par S est égal à :

*-.-[(D'+iî'"]<'-')+(¥')"'=M^'''-

Pour construire A„ demi-hauteur de Tellipse centrale, mesurée suivant la direction de /, nous mettrons son expression sous la forme suivante :

Si Ton remarque que la somme des deux facteurs, suivant lesquels nous

avons décomposé A*„ est égale à - /, on en déduit que A, est Tordonnée

en S d'un demi-cercle, décrit sur la longueur ;- / adjacente à c, parce

s — — C que l'ordonnée de c est égale à /. Nous avons effectué sur la fig, 170

la construction de A, et de A, et nous avons désigné par ces lettres les extrémités des ordonnées. En rabattant ces ordonnées sur les / correspondants, on obtient les points suivant lesquels les / sont coupés par les tangentes parallèles aux côtés.

11 est intéressant de se demander si Tellips» centrale coupe le périmètre du triangle. Gela résulte des inégalités suivantes.

il celle^-ri déprndent elles-mêmes de :

(Ml

.<is >3

Si les trois côtés du triangle sont de longueurs inégales, leplus grand

des côtés sera toujours plus grand que -s et le plus petit sera plus petit

que cette même quantité.

Par suite k pla* grand eôti if un triangle cêI toujoun eotgtépar Teigne centrale de son péi-im/'h-e, et le plu» petit ne Peil jamai».

Si un côté a pour longueur - s, ce côté e»t tangent à FelUpte eentnUe. Ce dernier cas se pré.sente dans la fig, 170 pour le c6lé à qui est tangent à l'ellipse; A, est dans ce cas égal à^/* et l'on n'a pu besoin de

coaalraclion spéciale pour I« détenuiner.

Les règles qne nous venons d'énoncer sont générales et s'appliquent également anz triangles isoscèles. Si les c6tés égaux sont plus grands qne le troisi6me cAté ; ils sont coupés tous denx par l'ellipse centrale et le troisième c6té ne l'est pas. C'est l'inverse qui a lien dans le cas contraire.

Dans les triangles éqnilatérauz, l'ellipse centrale coïncide avec le cercle inscrit. .

Les trois groupes de tangentes que nous avons construites suffisent pour qu'on puisse dessiner l'ellipse centrale ; néanmoins, pour compléter rétsde de la question, nous déterminerons encore le moment d'inertie par rapport ft I et le moment centrifuge par rapport aux axes / et à la parallèle & c passant par S.

Le moment d'inertie par rapport à l'axe / est égal à :

- 3(. + 0- "■ Pour construire la hauteur k, de l'ellipse centrale, mesurée suivant la direction des c, nous mettrons A, sous la forme ;

Les deux facteurs du second membre représentent les longueurs de> segments suivant lesquels / partage la ligne c, par suite s/^ A, est, dans le demi-cercle décrit sur c comme diamètre, l'ordonnée élevée au point de séparation des deux segments, ainsi que l'indique la fig. 170.

Pour obtenir k^, il suffit de réduire cette ordonnée dans le rapport :

Nous avons opéré cette réduction, au moyen du rapport des sinus, sur la ligne yJZk, qui correspond au côté a et qui est la plus longue, el

MOMENTS d'inertie DE LIGNES. 407

nous avoDs obtenu, ainsi que Tindique la figure, A;,A;,A;^. En portant ces longueurs A; des deux côtés des / et suivant la direction des côtés, nous obtiendrons trois autres groupes de tangentes. Les six groupes de tangentes ainsi construites suflSsent amplement pour représenter Tellipse centrale; dans la fig, 170, nous avons tracé, au lieu de Tellipse, le polygone formé par ces tangentes et circonscrit à Tellipse. On peut encore déterminer les points de contact de ces tangentes au moyen du moment centrifuge. Ce moment par rapport à / et à une parallèle à c, passant par S, est égal à:

rd ls — a)c l [s — a) ^ , V cl (s — ô)c . / $ — b H, L2» 2(s-i-r) 12 s + c A ^ L 2s 2(s-f-<?)^12 s -f c J

D'après le n* 109 (p. 402), le moment centrifuge d*une ligne droite est en effet égal à la longueur de cette droite multipliée par la somme des

produits des coordonnées du milieu de la ligne, augmentée du — de la

somme des produits de la différence des coordonnées des extrémités. Ce dernier produit est nul pour la ligne r, parce que la différence des ordonnées est nulle suivant la direction des /. Nous mettrons À sous la forme :

2(s + c) 3s c = — ; — C — - C est l'abscisse du milieu de la ligne c par rap-

port à /; ^ / est égal aux deux tiers de l'ordonnée j-/ de la ligne qui

àS zs

joint ces milieux de a et b. Par suite, pour obtenir t ^^ t-, abscisses et

ordonnées des points de contact, nous portons, à partir du pied de chaque

V^ ^, A et A; sur le côté du triangle vers le sommet le plus éloigné, et

- -- sur la perpendiculaire à ce côté; nous joignons l'extrémité de cette

dernière longueur aux extrémités de A et ^ et par le milieu de chaque

côté, c'est-à-dire par l'extrémité de rr, :, nous menons des parallèles

à ces deux lignes de jonction, qui déterminent sur ^Zk les longueurs

■r et 7-. Dans la fig. 170, ces longueurs sont si petites qu'on peut à peine

les distinguer.

i08 NOMUfTS DBS FORCEB PUULLtLiS.

Nous avons encore à construire le noyau central du Lriangle. L'ordonnée de l'antipôlo du c6té c est égale à :

elle est par suite égale à l'ordonnée du tiers supérieur de la longueur l. Donc fes sommets du noyau central du périmètre d'un triangle sont nluét

Toulerois ces sommets ne sont pas situés sur les lignes /, mais sur celles qui joignent S aux points de contact des tangentes parallMes aui

nous venons de conslniire. Sur la fig. 170, le segment t- a encore uoe longueur appréciable; mais les segments t- aIt- sont si petits, que le

noyau central semble mal dessiné. Le noyau central pardt 6tre semblable au triangle et avoir des dimensions moitié plus petites; mais ce n'est là qu'une approximation, et les cAlés correspondants convei^enl, bien que cette coDvei^nence n'apparaisse que peu dans la fig, 170.

110. ELLIPSK CKNTHALK KT MOÏAU HKS FIGVBKS LlMrTÉES PAR DES DBOITES

a) Ellipse centrale et noyau du parallélo gramme.

Les parallèles aux côtés, passant par le centre de gravité, sont des diamètres conjugués. *

y^fi est constant; si l'on désigne par /i la hauteur du parallélogramme, on a :

/,' = il = — h' = (0,2887A}'.

Le procédé le plus rapide pour déterminer l'ellipse centrale consiste à porter directement la longueur 0,2887A, comme hauteur normale de la demi-ellipse {fy. 171); mais si l'on lient k constmire directement cette longueur, on décrira im demi-cercle sur la demi-haute ur

SLLIPBE CENTRALE ET HQIAV DES FICCREB LIIIITËBS PAR BKS DROITES. iD9

(lu parallélogramme comme diamèlre; la corde qui a pour projection î A (voir fig. 171) est la demi-hauteur de l'ellipse, car elle a pour carré

Le moment d'inertie par rapport au diamètre 6 est naturellement égal &:

Si l'on choisit un c6té comme axe, on a, pour la distance & cet ase du i^entre de toutes les forces, ou du sommet correspondant du noyau :

La demi-hauteur du noyau est donc égale au ^ de la hauteur du

parallélogramme. Par suite, ce noyau occupe dans le parallélogramme le tiers moyen.

Les deux sommets correspondants à deux cAtés parallèles sont naturellement situés sur le diamèti-e conjugué parallèle aux deux autres celés. Comme lés diagonales de tout quadrilatère circonscrit à une courbe de second degré sont conjuguées, il en résulte que les tangentes aux points où la courbe rencontre une des diagonales sont parallèles à l'autre diagonale. Ces points de la courbe sont eux-mêmes déterminés par r^tle condition, qu'ils forment une division harmonique avec un sommet du parallélogramme et le point de rencontre de la diagonale avec le côté correspondant du noyau; le milieu de la ligne qui les joint doit d'ailleurs coïncider avec le centre de la courbe. Le demi-diamètre qui réunit ces deux points [voir fig. 171) est par suite égal à la distance du centre de la courbe au point d'intersection de deux demi-cercles, dont l'un serait décrit sur la distance des points à diviser harmoniquement, c'est-à-dire sur la distance du sommet du parallélogramme au côté du noyau, comme diamètre, et l'autre, sur la distance du centre de ce cercle au centre de la courbe; car les points d'intersection de deux rercles, qui se coupent normalement avec une droite passant par le centre de l'un d'eux, forment toujours une division harmonique.

Du reste, on peut porter directement ce diamètre! sur la ligure, parce

qu'il est coupé par le cùlâ du noyau au t^ de la longueur totale d de la diagonale, et qu'on a par suite :

Le derai-diamètre sera donc :

Si l'on trace encore les huit tangentes passant par les sommets du parallélogramme (et il sufiSt d'en construire une, puisque toutes les autres sont symétriques), on obtient en tout 16 tangentes, que l'on a tracées sur la fig. 171, k la place de l'ellipse.

Si le parallélogramme devient un carré, les deux diamètres conjugués sont égaux et sont perpendiculaires l'un & l'autre; l'ellipse devient un cercle; il en est naturellement de mfime pour tous les proBIs en forme d'étoiles ou de croix, qui sont symétriques par rapport à quatre diamètos formant entre eux des an^es de 45*.

b) En^m eontrala et noyan dn triangle.

La droite qui joint un des sommets a» milieu du côté opposé, et la parallèle à ce côté, passant par le centre de gravité, sont des diamètres conjugués. Si l'on désigne par t; la longueur d'une bande située à une

Hg. m.

distance ; du sommet (cette dislance étant mesurée parallèlement à A), on aura pour le carré de la demi-hauteur de l'ellipse :

fcLLIPSE CENTRALE ET NOTAU DE FIGURES PARABOLIQUES ET ELLIPTIQUES. 423

d) MomanU d'inertie de enrfaces limitées par dee dlipses

et des paraboles.

L'éqaation d^une section conique à centi*e peut toujours être mise sous la formé :

on a

x = Ty + c=fc v«(y — *)' + R.

Si, par exemple, ou prend Téquation générale :

"ta fljî' fl"a' Aj,' <>fsAta

Cela posé, si Ton considère une surface limitée par deux ordonnées z, p»T un are de la courbe, et par l'axe, on trouve, pour la surface F, les moments statiques llf ,

Ma, et les moments dMnertie ^î^j ^^yst SJîîsi les expressions suiTantes, dans lesquelles w désigne le radical ± Va(y — 6)« + R, qui entre dans la valeur de z :

F = \zd!f = -xy^ •{- cy '\-\wdy :

M» = yzd'j = g ty* + - cyî -j- \ywdy :

^»» = \y**dy = j ty» + g cy» + Xf/hody; ^

âR,, = -Uj«rfy = g*y + 5 CTy« + jc»y« + T Vy'iorfy + c VyiD^c/y -+- -\to*<fy ;

3)^,=^jUWy== — (ty4-c)»+TVyti7«dy + c\tr*dy+T«\yHw/y + l?tc^^

+ c*\iorfy +-^tt;»rfy.

Nous avons laissé de côté les constantes dans ces formules, car il est clair que toutes les intégrales doivent être prises entre les limites des coordonnées extrêmes. Il convient toutefois de remarquer qu*entre ces limites Tare de courbe ne doit pas passer par rinfilni.

Si les deux axes sont conjugués par rapport à la section conique, on aura <? = t = 0, et les moments se réduisent aux derniers membres des expressions cidessus. En intégrant et mettant des accents pour éviter la confusion, nous aurons

M, = (jy»rfy = i w» + i 6 (y - «,)«, +*i 4R \ ^ ,

M. --= iVrfy = 1 «y»«éy« + i («é» + R)y, «î'„ =y«w/y = 1 éio» + 1 (2to« + 4«é« - R) (9 - é) w + i (4«6«- R)R \^,

3)J'». = - \yi»»dv = - «y* aéy» + - («et + R)yl,

«{'.. = i \«Wy = l [iw* - 3R)(.v -b)w + l R»\|f.

ils . . HOMUITS BK9 rORCES PUtkLLtLU.

c) Ellipu untrale «t noTan dn tnpéM.

On obtient deux diamètres conjugués en prenant la droite qui joint les milieux des deux côtés pai'Hltèles et la parallèle à ces cAtés, passant par le centre de gravité.

Partageons le trapèze, par une diagonale, en deux triangles dont les surfaces seront égales haA el fih (fig. 173). Les centres de gravité de ces

deux triangles sont au tiers de A, f;t leur distance est partagée par le centre de gravité A\\ trapèze, dans le rapport inverse de a et de A. en sorte que ces distances sont égales à :

Le ninment d'inertie des deux triangles ou du trapèze par rapport au diamètre parallèle aux côtés parallèles est par suite égal à :

Si l'on divise ce moment par la surface [a + i)A, on obtient :

Pour construire k. nous le mettrons sous la forme :

..^t*m KT NOYAU DES PIGOIlfifll LIMITÉES PAR DES DROITES. 443

DécriTons un demi-cercle sur la hauteur A comme diamètre (fig. 173). Chacun des côtés du triangle isoscèle inscrit dans ce demi-cercle est égal à :

L*ordonnée de ce cercle qui correspond au point d'intersection des diagonales du trapèze est égale à :

Par suite, en prenant une longueur Â|B, égale à AB, nous obtiendrons en B,G la longueur 3k,

Le tiers de cette longueur est égal à la demi-hauteur de Tellipse centrale.

Cette construction est, sous tous les rapports, plus simple que le calcul ; il n'est pas difficile de l'apprendre par cœur et de l'appliquer au

triangle, où AB =0 et A; = - A, G,* et au parallélogramme où A,B, est égal

à AO, c'est-à-dire au rayon du cercle.

Pour obtenir la longueur du diamètre parallèle aux côtés parallèles, formons avec le trapèze un triangle, ayant son sommet en D (le point D tombe en dehors des limites de la figure), et pour déterminer le k correspondant, déformons la figure de manière que les côtés parallèles deviennent perpendiculaires au diamètre qui les partage en deux parties égales ; nous obtiendrons ainsi un trapèze, qui sera en affinité avec le trapèze donné et dont la demi-longueur d'axe est égale à la moitié de la longueur du diamètre de ce trapèze (et non pas de la demi-hauteur) d'après le n* 105 (p. 391). Si l'on désigne par h la hauteur du trapèze transformé, on a pour

La hauteur

la surface

Dn grtnd triingla. Da petit triingle.

bh ah

— JZTi JZTi'

le moment d'inertie ^i ''' * "**

par suite *» = - j^—j, = g (a' + *'),

ou * = 0,4082 )/a* + b*.

Ui MOHBHTS DIS fOKCES FARALLiLIS,

Le plus simple sous tous les rapports est de construire ^a*+b', comme on l'a indiqué sur \a/i//. M'A. On peut alors ou bien prendre dîrectemeDt

les 0,4082 de colu- longueur, ou bien construire » /i /g» i j«j^ comme

le montre la figure. On peiiL construire de la même manière la hauteur do l'ellipse centrale au-dessus d'uD des c6tés, qui divisent en deux parties égales le triangle.

On ne peut pas en général déterminer d'une manière simple, comme pour les figures précédentes, ta position des sommets et des eûtes du noyau central; le procédé le plus commode consiste dans ta construclion des polaires des sommets du trapèze symétrique. Il faut remarquer que les sommets correspondants aux cAtés parallèles doivent se trouver surie diamètre conjugué qui divise en deux parties égales le trapèu. Les sommets qui correspondent aux deux autres cAtés sont situés sur les polaires du point symétrique de D.

d) Calonl des nomaats des potnonH.

Commanùtednn* tSe{p. 851) rt poar aarvlr da bue au calcul das momMits oui triAigM dM polygonal an j{énéral, noua allons calenler d'Abord le* momenta pour dee trapAiat comprît antre deux ordonnAes couécutiTH du pArlmètra d'un polygone. Bu procédant exactement comme an numiro idtA, on obtient pour Im moment! dn Mcond degré :

3ïiïv = Ï2 '^* ~ *■' t*^^'' + ^'J"' + "'«J^i + 'y*' + ^'î*' + 3ï»i)*i].

^i». = 2j (il -yi}[(3:*, + 2i,2, + îVv. + (l'i + 2i,i, + 3ï»,'A1.

1° 99 [p. 371), ces momeuta peuvent

ffl„ = v. + "'+;'';■+"■ te, - „)■ = F(,-, + «.),

S»„ =P,.i,+ Si-£!j±!l" (l,-.,)(,,-s,!> = F(„! +A|. «B n. . î'i + Si',!, + 2i,!', + 1*,

On en déduit, pour les dimensions de l'ellipse centrale :

ELLIPSE CENTRALE ET NOTAU DIS nfiinUBS LQIITÉBS PAR DES DROITES. 445

La concordance de ces résnltats ayec ceux du n<* 110 (p. 413} est évidente. Il résulte en outre de Texpression de l'ordonnée du point de contact, saToir :

A z« — Il ^

que ce point de contact est situé sur la droite qui joint les milieux des ordonnées Xj et i|.

Les valeurs d-dessus de SRyySRysSRss permettent d*obtenir les équations des ellipses d*inertie de différents polycrones.

Calculons d'abord les moments d*un triangle. Soient Vi^i, yfy^ y^z^ les coordonnées des sonmiets. Le moment centrifuge du triangle s'obtiendra simplement au moyen de la sommation des moments des trois trapèzes entre les ordonnées z^z^t^.

Soit:

Vi «1

le double de la surface du triangle. Si Ton regarde comme positif le sens 123, le signe du trapèie eompris entre les ordonnées y^ et y^» ^ V^ wki\/à celui de la surface - (yt"yi)('t + ^) ^o^t être pris négativement Le signe de ce trapèze détermine celui des deux autres. On a par suite à faire la somme des moments des trapèzes - (yi — yt)(*i + «i). 2 (ys — yi)(«i + ^) «t - (y» — yi)(«t + si)* On obtient :

3Rf. = j5 F[(;^, + y, + yi)St + (y, + 2yt + yji, + (yi + y, + 2yt)zJ = ï5 F[9ycxc + yi^i + yi«t + y»H),

Vc et zc désignant, comme précédemment, les coordonnées du centre de gravité.

Quant aux moments SRyy et SRst, on les obtient très simplement en faisant y = i. Posons :

s».=(2yi + yi+yi)«i + (yi + 2yi + ys)*î + (yi + yi + 2yi)«t

= yA + »t«i + ytH + ^y<?«c, T». = yi«i + yt^ + VtH - 3yc««i

S|f,= 2(y'i + y\ + y\ 4- viVî 4- y^% + yiyO = y\ + yS + y\ + 9y*c, Tw= y*! + y»i + y"» - 3yv

Les dimensions de Pellipse d*inertie et de Tellipse centrale seront données par les

équations:

6«=9RMr:F=lsvy=y«c +5T„ = yc ^h\

A= 3R». : F= — S,. = ycxc+ ji T,^ =ycZc + A,

c« = 9R.. : F= g S« = 2»c + j^ T.. = z«c + Ar».

Si Ton fait, dans ces formules y, = z, = yj = 0, z, = — z, , c'estrà-dire si Ton pread comme axes des coordonnées un côté du triangle et la droite qui Joint le railieu de ce côté au sommet opposé, on obtient :

yc^gyi, Sc = 0, A = 0.

Jlf VIIHKNTS DES r&RCES PARilLÉLia.

im Amx axw tout ilouc wuju^uâs par rapport à l'ellipse centrale. On a en