MOMENTS D*UM PRISME A BASES NON PARALLÈLES

Nous admettrons qu'on prenne Taxe des s parallèle aux arêtes parallèles du prisme. Nous avons déjà déterminé, au commencement du numéro précédent, le moment par rapport au plan z ou xy, pour en déduire les moments d*un tétraèdre. Pour obtenir les autres moments, décomposons le prisme en trois tétraèdres, et faisons la somme des moments de ces trois éléments. Nous aurons, pour le volume 3 du prisme, en désignant, comme précédemment, par F le double de la surface de la bnse, et par sx^ sy, Ss la somme des trois coordonnées de même nature (par exemple *« = ^ + 5j + z J :

Xi Vi «1 1

X, y, «j 1 ar, y, z, 1

XtVt 1

«1 Vi «1 1 X, y, X, 1

Nous avons mis Texpression de ce volume sous la forme de la somme des volumes des trois tétraèdres^ afin de mettre en évidence les coordonnées des sommets de ces tétraèdres.

-Cela posé, formons les S du prisme en le considérant comme la somme des trois tétraèdres, et multiplions-les par le volume correspondant iF ; nous obtiendrons ainsi le moment total. Nous aurons .

20*s. C = 120 —^ = [(2a:, -f x, + x^){2yi + y^ + yJ.+ ^Xiyi + x,yt H-x^Jz,

+ [(a?! + 2a;, H- xg) (yi + 2y, + y,) + a:iyt H- 2x,y, + ariVil «, + [(^1 + x, H- 2x|) (y, -I- y j H- 2y8) + «iVi + «1^1 + 2a?,yJ z.

Dans ces formules, nous avons d*abord mis en évidence les moments des trois tétraèdres, et nous avons ensuite composé la somme de ces trois moments en une expression qui est complètement symétrique par rapport aux trois coordonnées xyz. On en déduit la proposition suivante : Si Ton considère un triangle dons l'espace, comme la base de trois prismes de projection, ayant respectivement leurs arêtes parallèles aux axes et leur autre base située dans chaque plan de projection, et qu'on forme les moments centrifuges de chacun de ces prismes, par rapport aux deux plans de projection qui ne contiennent pas cette base, ces moments centrifuges seront proportionnels aux projections du triangle, divisées par le sinus de l'angle des axes dans chaque plan de

projection. Les rapports — =— restent en effet constants quand on permute x, y, i.

Les moments d'inertie 3)îxx et 3)îyy se déduisent du moment précédent en taisant y=x ou x = y. Nous n'écrirons qu'un seul de ces moments :

20«,a« = 120»- = shsB + 2(ariz, +xfy-\- x^s» + («"i -f a:*i + «"s)^»