MOMENTS d'inertie d'UN TÉTRAÈDRE
Pour déterminer d'une manière générale les moments dUhertie des corps limités par des surfkces planes, on peut décomposer chaque face en triangles, et projeter
iG6 MOMENTS DES FOnCES PAIULLËLES.
ces triangles d'un m^me point, par exemple, de t'origine des coordMUiéei, dn point â l'infini d'un des aies ou d'un sommet du corps. On décompose ainal le corpt en un oortain nombre de tétiaèdrea ou de priâmes triangulaires, dont oa détemiliM lea moments, et on n'a plus qu'à faire la somme de ces moments. Pour ponTOir exécuter ceB opérations, il est nécessaire de sayoir déterminer les moments d'nnlitraâdre ou d'un prisme trianguiaira à bases non parallèles, lorsqu'on donne Iv Mordonc*es des sommets de ces corps. Noua chercherons d'abord l'expreMiOD du moment c^ntriruge txyA^ d'un prisme à bases non parallèles, et nous en dédoirona loua lea autres moments.
Dana ce» calculs, nous laisserons de cAté le sinus de l'anKle solide et les anf^ que lea axes cuordonaéea font entre eux, l;■^s^4-di^e que nous supposerons les axes rectangulaires. Les Tormules que nous obtiendrons ainsi s'applique roui d'une nuliitre générale t des axes obliques, car, d'après le n' 5R (p. 16S). les moments par rapport 6. des plana fixes no difTèrent que par dea facteurs constants, lorsqu'on cbange iM axes. Par suite, pour appliquer les formules A des axes obliques, on n'a qu'à rdmplaoer le déteniiiuiint dn volume, par le volume divisé parle sinus de l'angle aolide, et les déterminants dos surfaces, par les surfaces divisées par le sinoa de l'anfile des axes correapondanta.
Soit proTiaoirement, Jusqu'à l'élimination de« conatantes,
l'équation dn plan qtii limite le prisme. On a A déterminer l'IntésTale : dan> laquelle y eat égal à :
En employant les formules générales du n" 95 (p, 350), Où obtient pour cette intégrale l'expression
|j ('1 - II) [(%'i + %i!'! + y\)^\ + {3y'i + *mt + 3y',)3:,i. + («», + Sm, + C'-yh)^^
+ li (^. - J^i> [{'ly'i + 3j/',!/, + 2//,!'*, + >'',:t, + i,j\ + 2y\y, + ^.y', + *yS)x,]
+ jg (-r,— Ji)[.'/'i + y\!/, + 'My\ + y'tl
Cette somme représente le moment d'un prisme, dont tes bases sont situées dims le plan des nj et dans le plan : — u: + .... et dont les faces latérales sont \c plan desi:, deux plans paralièles an plan des 72, menés par les points (x,ii,zi)(i^ii,z.) que nous désignerons pour simplifler i>ar 1 et 2, et un plan parallèle à i'axe des :, mené par les m^me^ points. Nous obtiendrons le moment du prisme dont la hasp dans le plan z est le triangle 123, en écrivant les expressions analogues à rex|iression précédente pour les points 23 et 31, et faisant la somme des trois expressions ainsi obtenues. Dans ootte opération, nous prendrons, pour les différences rJw abscisses, des signes tels que l'expression du double de la surface de la projection du triangle 123, ou
Pi »s = I ^1 ,'/i 1 I = (^> — ■ri)Vi + (-Cl — x,)y, + {T, — j:,\v».
MOMENTS d'inertie D*UN TÉTRAÈDRE. 457
soit positiye, ce qui suppose que les indices 123 soient placés dans un ordre tel que le sens de rotation 123 soit le mâme que celui de + x vers + y. On voit par suite que, dans la somme des moments, le moment développé ci-dessus doit être affecté du signe —, c'est-àrdire que les expressions, toiijours positives, placées entre parenthèses doivent être multipliées respectivement par les différences d*abscisses (or, - x^, (x, — x^) et (x, — xj).
Dans ce cas, la somme est divisible par Fus et le moment centriftige Sm peut être mis sous la forme :
aF r'^* "^ ^»^ "*" ^*^ "^ **• ■*■ ^^* ■*■ ^«ÎVil 6i,s = -^ (^•i + 2*,:r,+ x^xi + 3x», + 2a:^i + ^Vy,
L( x\ -h XjX, + 2x,x, + ar«, + 2x^ + 3x»g)y, J
[(3y«, + 2yi.y, + 2y,y8 + y"i + 2y^,+ y«,)-i ( y\ + 2yty^ + y^y^ + 3y», -h 2yri^, + y\) (y*i+ yiyi + 2yiys+ y*t + 2yri^i + 3y v J
^ l.(yi+ yi + 2ys)»iJ
Pour rélimination de a, p et c, posons :
(y = (6x, + 2aîî + 2ars1y, + (2xt + 2x, + a;i)yi + (2«i + J^i4-2xjy8, Q" = (2x, ^- 2x, + x,)y, +(2ari ■*- ôr, + 2x,)y, + ( «i + 2a;, + 2x,)y„ Q"' = (2x, + x, + 2x,)y, + ( X, + 2«i + 2«i)yi + (2x, + 2x, + dx^iy, = («1 + «1 + 2xt)(y, + y, -h 2ya) + (Jc,y, + Xj^y, i- Zx^),
Le moment (Stst pourra alors être mis soùs la forme suivante :
S,« = ^ [((yxi + <r«, + (y'x,)» + fQ'yi + Q"y, + Q^'yi)? + (Q' + Q" + Q^'W-
Mais, pour t =s 1, 2^ 3, on a :
rrf = ax,4- Py< + Crf.
ar suite
C'est là la forme la plus simple du moment centriftige d*un prisme triangulaire ^^>ar rapport aux plans zxy ; cette expression ne contient plus les coefficients a^y, "^t les coefficients Qi sont des sommes de termes de la forme Xgyh.
Nous obtiendrons le moment correspondant d*un tétraèdre, en faisant la somme ^:îes moments des quatre prismes triangulaires qui projettent ses faces- Considérons ^jQ quatrième point (X4V4Z4), que nous désignerons par 4, et posons :
sg = X| 4- ^ + JPs "^ X* »
S,, = (2x, + «1 + 5^8 + x^)yi 4. (ar, + 2x, + Xj + X4)y, + (x, + x, + 2x8 + X4)yj + (xi + X, -h a:, + 2x4)y4 = «a>»v + XjVj + it^% + a?8y8 + a?4y4,
Srm=S^m + «^ + ar«, -|- x\ + x\,
= 2[x«, +a?ix, + XjX, + x,X4 x«, + x^% + XLCl
'1 "I" affXj -|- XjX4 I a^8 + a:,X4 1*
Si Ton a égard à la seconde forme de Q'" indiquée précédemment, on peut exprimer
lu MOMENTS DES FUnCES PAltALLËLES.
QU) au moyen de i, S et dos coordonnée»! x^y,, .r^g^. Bavoir :
gio ^ (s, - !»){», — y,) + (s^ - x^y, + (J, -'y,)ï. + x,y, + ïw. + *ift + ««-JW. = S^ + i.^i - yt) + *,(a;i — ij) + 2i(tf, — x,!/, — Xiff,.
On a en particulier :
Q"" = S^ + Jx(Vt - y,) + .^i^ - x.) + &c^y^ - xiv» - jTrft = 8^.
Ed faisant la somme dsa produits :,Q,, et tenant compte de cett« valeur <IeQ*'. on olitient ponr (£,|| :
= ^ [M»— «t) + S-(»» - h) + 8.,(fa - lO + ««yrrt + **A
+ x,rii| + itïti,) - ÏWr»'] ■
Non* anppoHn* qna les indioM 1S34 dw tommeta du titraèdro sont dUpoafiade tsllo tttçaa daiu l'eapMO qoo le dMenninant :
it .V, ïi 1
Ij ïl II 1
I (bis ie volume du tétraèdre, soit positif. Dans ce cas, le point 4 doit se trouver au-dessous du plan 183. n'est-à-dire du oflt* de — loc par rapport ùee plan. Si en efTet le point 4 était situé dans le plan 123. 3 serait nul. et par ■nita :,Z, doit être égnl et de signe contraire à i,Zi -(- tZj + -A, Zi désignant le coefficient de !■ dans 3. Mais comme F,,, est positif. Zi qui est é^al à — F,„ doit être négatif, et il faul par niiitp que i; soit plus petit que l'ord'uinfc liu point {t^<jC, du plan 123. Ce résultat concorde avec la proposition jîénêrale, d'après laquelle, dans le plan à l'infini, le sens de rotation 4)123 est identique avec le sens + Kc + jœ + iac. Supposons en outre {|ue la projection du point 4 sur le plan x^ tombe à l'mtérieur du triangle 123, le moment du prisme 123 sera positif, et par suite les moments des trois prismes 1 2 4, 2 3 4, 3 1 4 doivent être négatils. Comme on a F,]i = — Zt. F,,i = + Z,, F,,i= + Z|, Fjn= + Z,, il faut, dans chaque 6(]u, mettre à la place de Fji,, le —Z, de l'indice qui manque. En opérant ainsi et ajoutant les quatre @, on trouve, en ayant égard aux égalités suivantes :
x,Z, + aA + x^ + i.Zi = 0,
ï,Z, + j,Z, + î,,Z, + ï,Zi = 0.
i,Z| + :îZ,+ jjZ, + »iZi = 3,
que le moment centrifuge du tétraèdre eat :
Le momenl d'inertie Zx>±i s'obtient en faisant x = y. Comme les eipresaiona de S sont symétriques par rapport aux coordonnées, il sufflra, pour obtenir tous les moments, de permuter les indices ig de S. 11 est superflu d'écrire cas expression'.
Nous obtiendrons les quantités n, ï, e. A, B, C du n" 106 en divisant ces moments par le volume g 3 du tétraèdre, ce qui donne :
MOMENTS d'inertie D*UN TÉTRAÈDRl. 459
*« = èSn.
y« = J «fi
c« = is„,
La substitution de ces valeurs dans les équations du n* 106 (p. 392) donne les dimensions de l'ellipsoïde d'inertie. Nous n'écrirons pas les résultats ; mais nous nous bornerons à indiquer les simplifications qui se produisent pour S«y et Snr, dans le cas où Torigine des coordonnées coïncide avec le sommet 4, et dans le cas oh cette origine coïncide avec le centre de gravité. Tous les autres S sont symétriques et les dimensions de Tellipsoïde correspondant sont simplement proportionnelles à ces valeurs de S.
En prenant Torlgine au sommet 4, on a :
5c = Xi+^ + ^f et de même pour «y et <i . S*t = X, + «, + aj,)(y, + yi + y») + «iVi + «iVi + a^iV», '
S«t = (x, 4- 0^ + 05,)* + («'i + a*! + «"i) = 2[*"i + «i«i + JTjX,
On voit que ces fonctions sont identiques avec celles du n* 110 </; elles sont composées exactement de la même manière.
En prenant pour axes les trois arêtes qui passent par le sommet A, toutes les coordonnées deviennent nulles^ à l'exception de x^, y^ et z^i ®t l'on a :
"' = iVv ** = ^^''' ^'=è*'"
Si on prend Torigine des coordonnées au centre de gravité, on a, quelles que soient les directrices des axes, 5c=5y = 5t = 0, et Ton obtient :
Sx, = x«, + x", + a:*! + x\, Sxy = XjVi + x^t + aPsyi + ^ky^ '
Les expressions des autres S sont S3rmétriques.
Si on choisit, pour les directions des axes, des parallèles à trois arêtes se covpant en un même sommet, en conservant toujours Forigine des coordonnées au centre de gravité, et qu'on désigne par </, e, fies longueurs de ces trois arêtes, les coordonnées des quatre sommets sont respectivement *
' Pour le sommet 1 -^ -: d, — 7 ^» ■" 7 A
/</. 2 - j rf, + j «1 — j A
rd. 3 - j rf, - j tf, + j A
Id. 4 — j rf, — ^ «> — j A
I rOKCU PUAUtL».
de l'ellipsoïde d'inertie relatif à un sommet, les aiea passent par ce sommet. On peut du reste déduire ces
l'eUipsoïde central avec caUe* étant parallèles aux arétea qui . dernières dimensions de» pre-
mièrea en aJoutHDt à celles-ci — d'
""iâ"'"
on
B en effet :
On obtient les formules les plus simples on prenant pour l'un dM ksm l'axe dM f, par exemple, la droite qui joint les milieux de deux arttw oppoaéM, et pour In deux autres axes des parallèles ft ces arêtes.
Soieot A la loogueur de la lin^ne de Jonction des deux KTdtM, d et e le* longaenn de celles-ci, les coordonnées des quatre sommets sont r(Wp*ctiTeiuent :
Pour te aoiiunet 1
Les trois axos choisis sont donc des diamètres conjugués de l'ellipsoïde central et fournissent les éléments les plus commodes pour la construction de cet ellipsoïda.
Le diamètre parallèle à une ari^te a pour longueur — ^ = '>,3I623 de la longueur de
VIO cette ar^te; le diamètre parallèle à la droite qui joint le^ milieux de deux arêtes
opposées a pour langueur — = = 0,44721 de la longueur de cette droite. Ces relatious
\'h aimples donnent les longueurs de trois groupes do trois diamètres conjugués, c'està-dire trois fois plus d'éléments qu^l nen laut pour construire l'eUipsoïde. L'antipolairc de l'arête d q^I parallèle a la direction conju^u^'e: elle rencontre la droite qui joint les milieux de cette arête il et de l'arête opposée à une distance :
Comme il en OHt de même pour toutes les autres arétea, on en conclut que k noyau est un tétraèdre dont les arêtes sont respectivement parallèles k celles du tétraèdre donné, et rencontrent les droites qui joignent deux àdeux les milieux iIa.
aréies opposées au '- de la dialance de ces milieux, ou bien au ; de la distance de
