MOMENTS DB LA PTBAMIDS ET DD cAhE
Les moments d'une pyramide et d'un cône peuvent se ramener aux moments de la base. Prenons pouf origine des coordonnées le sommet du cône et pour plan des yz un plan parallèle à la base. Soient / l'abscisse de la base, F, i/c, z\, h\ k\ A' la surface, les coordonnées du centre de gravité et les dimensions de l'ellipse centrale de cette base. Partageons la pyramide ou le cône en une série d'éléments parallèles à la base. Les dimensions correspondantes pour une de ces surfaces élémentaires seront :
'/•• /*• f* rf» rtn /f*M
Formons, à l'aide de ces expressions, les moments des surfaces -^ Fdx et ajoutons-les; nous obtiendrons les moments du cône :
m,, = J z'. ^ Prix = g PF = 1 /«3,
MOMENTS DE LA PYRAMIDE ET DU cMe. 463
"" I y (y'-'''+ A') . ^ Fdr = i %'. z'. + A')P = I {jf-.z; + A')3.
D*après le n' 97 a, les coordonnées du centre de gravité sont les va-
leurs suivantes : - /, ^y'c» t^'c- Si Ton divise les moments précédem-
ment obtenus par 3, on obtient les dimensions de l'ellipsoïde d'inertie relatif à Torigine des coordonnées. Si Ton en retranche ensuite les carrés et les produits des coordonnées du centre de gravité ( dont le
coeflScient numérique — retranché de - donne 57: ) i on obtient les di-
10 d oU/
mensions de l'ellipsoïde central, c'est-à-dire :
Si l'on fait passer Taxe des z par le centre de gravité, t/e et Ze» et par suite aussi B et c, deviennent nuls ; par suite la droite qui joint le centre de gravité de la base au sommet du cône est conjuguée au plan de la base. La section de t ellipsoïde central par un plan parallèle à la base, mené par le centre de gravité, est une ellipse semblable à l'ellipse centrale de la base et
ses dimensions sont égales « \ / j =0,77460 des dimensions de cette ellipse.
La distance au centre de gravité des plans menés tangentiellement à t ellipsoïde central et parallèlement à la base, c'est-à-dire la demi-hauteur de Vellip^
soïde central, est égale ^ V/ô^ = 0^19365 de la hauteur du cône.
Quant aux dimensions du noyau, on peut dire d'une façon générale : Tantipôle de la base est situé sur le diamètre qui lui est conjugué daas l'ellipsoïde central, et par suite aussi sur la droite qui réunit le sommet à son
centre de gravité; sa distance au centre de gravité est égale à ^ : 7 = ^,
oU 4 zU
i6i MOMBKTS DES PORCU PAULLtLBS.
de la hauteur du c6ne. Le plan antipolaire du sommet est parallèle à la base et sa distance au centre de gravité est égale aux — : t = ttt; de la
haateor do c6ne ; par suite la hauteur totale du noyau est te - de celle du
cAne; en outre, comme à chaque point de la base du cbiih correspond un plan, passant par i'antip61e de la ha&e, qui eàt
situé à - + — = ^ de la hauteur , tous
ces plans enveloppent un cône, quaail le point décrit le périmÈtre de la base. Le noyau est par suite également nu cône, qui occupe te deuxième cinquième de la hauteur du cAne donné et dont le sommet et la base sont situés , par rapport au centre de gravité, dans la même direction que te sommet et la base du cône donné. Pour déterminer le rapport entre les bases des deux canes, faisons une section par le sommet et le centre de gravité du cône. La fig. 186 représente celte section; portons, à partir du centre de gravité, suivant les directions indiquées sur la Sgurc, les lon-
gueurs -< —T., rr- et- de (; nous oblien- 4 20 20 4
drons ainsi les positions des bases et
des sommets des deux cônes. L'ordonnée
du demi-cercle, décrit surf- -f — ] / comme diamètre, donne la demihauteur \/ 57: ' de l'ellipsoïde central. Si l'on projette, du point S, l'ellipse centrale de la base, les rayons projetants détermineront sur un plan parallèle mené par \/^ '. I" base d'un cylindre enveloppant l'ellipsoïde central. Si, en ellet, k est un point de l'ellipse central de la
Vi'Vi''
MOMBNTS DE LA PYRAMIDE ET DU c6nE. 465
Déterminons maintenant le plan antipolaire correspondant au point
k\ il coupe la section {fig. 186) suivant Tantipolaire de *. Cette antipo-
laire passe par le point sr ^ et est parallèle à la diagonale SA du parallélogramme circonscrit à Tellipse, car Sk et SA sont des diamètres con-
jugués. Elle intercepte sur la base du noyau la longueur - k, car on a :
\/l*Vi
Les points d'une droite^ menée dans lé plan de la base du cône, par le
centre de gravité de cette base et le faisceau des antipolaires de ces
points» faisceau dont le centre est au point — /, forment une invoiution;
au point à Tinfini de la droite correspond le rayon qui passe par le
centre de gravité S du cône; par suite les produits des distances de deux
g points correspondants de la droite sont constants et égaux à ^ k*^ car
g ^ et - A; sont les distances de deux points correspondants. Par suite si q
est la distance d*un point quelconque de la base du cône au pied du rayon, qui passe par le centre de gravité S, c'estrà-dire au centre de gravité de la base, le plan antipolaire de ce point coupera, dans la section
8 A' * {fig. 186), la base du cône à la distance -rr- et la base du noyau à la dis-
4 k^ tance -— . L' antipolaire de ce môme point, par rapport à Tellipse cenoq
traie de la base, coupe le diamètre passant par ce point à la distance
— . Donc : Le noyau d'un cône est également un cône, ayant sa base et son
sommet placés comme ceux du cône, et occupant le deuxième cinquième de la hauiteur du cône; la base du noyau est semblable au noyau de la base et iemblablement placée. Les centres de similitude sont les points d'intersection
au rayon passant par S, et les dimensions de la base du noyau sont les - de
celles du noyau de la base du cône.
Dans la pyramide triangulaire, ou tétraèdre, le noyau de la base est, d'après le n* 110 b (p. 410], semblable à cette base, et ses dimensions sont le quart des dimensions de celles-ci. Les dimensions de la base du
noyau du tétraèdre sont par suite égales à - • - = - des dimensions de
i FimCES PARALLÈLES.
hauteur de la pyramide, il en résulte que : le noyau d'un tétraèdre es/ tiii solide, semblable à ce tétraèdre et semblablement placé, par rapport au eentn
de gravité: il occupe le - intermédiaii'e du tétraèdre.
