MOMENTS d'un TRONC DE PTBAlÉmE DU DE l6nK

A BASES NON PAHALLÈLES,

Dans le numéro précédent, nous avons ramené tes moments de la pyramide et du cône à ceux de leurs bases: nous pourrons par suite déterminer les moments d'un Ironc de pyramide on de cône, au moyen des moments de leurs bases. Les moments cherchés seront la difTérenades moments des deux cônes ou pyramides.

Conservons comme origine des coordonnées le sommet du cône; prenons pour plan des xi, un plan parallèle h l'une des bases et pour plan des yz, un plan parallèle à l'autre base, Nous pourrons encore disposer de la position du plan des j^ et choisir ce plan, de manière à simplifier les résultats. Les relations entre tes coordonnées de deux points perspectifs, situés dans les plans des bases j:' = i et y''=A sont les suivantes:

De ces relations, on déduit :

„ '>' ..ah ^ „ ab ^

Z ^= ~r, X -^^ dX ^= zdu .

La substitution de ces valeurs dans les expressions de la surface et de^ moments de la base {sf'z") donne la surface et les moments de cette base en fonction des coordonnées y et :', de sorte que tous les moments sont alors exprimés au moyen des coordonnées d'une seule des bases. La substitution donne :

MOMENTS d'un TRONC DE PYRAMIDE OC DE CANE A BASES NON PARALLÈLES. 467

^'.. = iS."W' = -la**5!^'.

Les signes — ne sont qu^apparents dans ces formules, car, par suite de la relation réciproque x^y=ab, si, dans les premières intégrales, la limite supérieure est plus grande que la limite inférieure, ce sera Tinverse pour les secondes intégrales, et, en permutant les limites^ on rétablit le signe -}-• Du reste, ces formules ne servent pas souvent dans la pratique. Si les bases sont des polygones, on substituera directement les valeurs de x" et z'' daps les équations des moments des bases à trois ou plus de trois côtés, c'est-à-dire qu'on utilisera les intégrations déjà effectuées pour ces surfaces. On opérera de même pour les surfaces limitées par des courbes du second degré, comme nous le montrerons au paragraphe b de ce numéro. Quant aux surfaces limitées par des courbes de degré supérieur au second, çn ne pourra les traiter que par des procédés graphiques.

Les moments des bases une fois déterminés par un procédé quelconque, on n*a, d'après ce qui a été dit (p. 465), qu'à les multiplier par

le - de la hauteur, pour obtenir les moments correspondants de chaque

cône. Gomme d'ailleurs le rapport des hauteurs de deux cônes peut varier entre 0 et oo , les expressions générales des différences des moments, c'est-à-dire des moments du tronc de cône, ne sont susceptibles d'aucune simplification. Nous nous dispenserons par suite de les écrire. Nous terminerons ces considérations par quelques applications.

a) Moments d'un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallèles.

Lorsqu'on veut déterminer les moments d'un tronc de pyramide considéré isolément et non comme une partie d'un tronc de pyramide à bases ayant plus de trois côtés, le moyen le plus simple consiste à prendre comme axes des coordonnées les trois arêtes qui se coupent au sommet de la pyramide. Appelons, dans ce cas, OTf y^z, les lenteurs des arêtes de la pyramide supposée entière, et ^i , (t^t^ ^'s ^^ longueurs des arêtes de la pyramide retranchée. Comme les volumes des deux pyramides sont dans le rapport r — , nous aurons immédiatement :

AJIV

^ -loa-xiiv)"^*' ""lO(i-Xpiv)^*- ~io(i-xiiv)'»'

^=20(l-X^v)y^-'»' ^=20(1-Vv/*'" ^=20(1-Xi.v)'^2'«-

Si BU contraire le tronc de pjraraide trianiruUire fonne une partie d'an antre tronc de pyramide, on se servira de; formules du numéro précèdent pour déterminer las coordonnées d'une base au moyeu des coordonnées da l'autre base; an n'effectuera pas les iotégratious Indiiiuées, mais ou déterminera directement p«r substitution les moments des deui pyramides, et on les retrancliers l'un de l'antr* pour obtenir le moment du tronc.

Snirant que le tronc de pyramide est doDoé au moyen des coordonnées de l'une ou de l'autre base, on exprimera tous les i et S au moyen de ces coordonuéee.

De Is relation déjà établie précédemment :

et en outre des relations :

oa dedttît :

s„ = ^. + =■... + .-, + =■.. = ,^. + ..( ^ + jJ + ^).

Ou a enfin :

... =.~,+v, + ..-.=*(i + ^ + û), s",.=,...-.+^-,.',+.^',.",+^'..".=-''-".+"."(;^ + pf + 4i).

Comme les volumes 3' et 3" delà pyramide totale et de la pyramide retrjnchd^ sont entre eux dans le rapport des produits des longueurs des trois arâtes, on aura.

d'oii l'on déduit, pour le volume du tronc de pyramide en fonction de 3' ou de 3 les expressions :

J'-3- = li-i|3'=(J-i)3".