CONSTRUCTION DE L ELLIPSOÏDE DES FORCES PROPORTIONNELLES

avec les plans des angles trièdres ABC, XYZ et avec le cône directeur; enfin, nous avons rabattu les plans perpendiculaires à celui de la figure, qui passent par X et par le pôle du plan de la figure.

Le cylindre projetant Tellipsoïde lui est tangent suivant le plan diamétral conjugué au diamètre 0(0). Aux trois plans diamétraux (0) 0) XYZ qui passent par les axes et qui contiennent le rayon (0)0, correspondent les trois rayons éme\e\ situés dans un plan principal, conjugués aux diamètres (0)0«OyO, et dont les traces sont en E^Ey Ë,; ils sont situés dans le plan conjugué à (0)0, et Tintersection de ce plan avec le plan de la figure est, par suite, la droite E qui joint les trois points. On obtiendra en^^eye,, sur les rayons 0)E,EyE, , les projections des extrémités de e.e'y e'.. Les plans parallèles à (0)0) XYZ sont tangents à Tellipsoïde en ces extrémités, et par suite, les tangentes à Fellipse qui forme le contour apparent sont, aux points e^ ey e,, parallèles à 0) XYZ. Nous connaissons maintenant six points, situéssur trois diamètres, ainsi que leurs tangentes, et ces éléments sont plus que suflisants pour dessiner le contour apparent.

La projection de chaque plan diamétral touche celle de Tellipsoïde à Textrémité du rayon ou diamètre mené par 0, qui passe par Tintersection de la trace du plan diamétral avec la ligne E. Les parallèles menées dans les deux ellipses, celle du contour et celle du plan diamétral, à leur tangente commune, seront donc, coupées par ces ellipses en segments proportionnels. Nous nous sommes servis de cette propriété pour dessiner les six ellipses que déterminent les sections (0) XYZ et (0) ABC. Chacune des trois ellipses (0) XYZ passe par deux des points p« py p, et touche la projection de Tellipsoïde aux extrémités des diamètres e. e^ ou e,. Les tangentes en ces extrémités étant parallèles à 0) XYZ , nous avons mené tout d*abord deux parallèles à ces lignes par les deux points p,py ou p, qui sont situés sur Tellipse cherchée ; nous avons ensuite déterminé le rapport de réduction des segments compris entre ces ellipses et le diamètre et nous avons enfin réduit, d'après ce rapport, une série d*autres ordonnées. Cette construction a été répétée identiquement pour les trois ellipses des trois sections 0) A B C ; seulement, il a fallu d*abord dessiner les tangentes communes aux points de contact^ tangentes qui n'étaient pas connues à priori.

Pour mener facilement des plans quelconques par la droite (0)0, il est nécessaire de connaître la longueur du rayon p'^ de l'ellipsoïde suivant cette droite; nous obtenons cette longueur, comme nous avons trouvé précédemment p« ^\^\, en rabattant le plan (0)0Z. Nous avons construit Po, dans le plan principal 0,XY,, puis rabattu (0)0Z; le point 0^ se rabat évidemment sur le cercle de distance r; la longueur cherchée p^ s'obtient alors au moyen de p, et de p^,. Dans toutes les sections passant

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par (0)0, ce demi-diamètre est conjugué à celui qui se trouve dans le plan E, puisque ce dernier est conjngué au rayon (0)0.

Les deux diamètres conjugués ainsi déterminés permettent de dessiner toutes les ellipses passant par (0)0, sans revenir aux plans principaux. Nous allons, au moyen de cette méthode rapide, rabattre le plan qui contient le diamètre conjugué au plan de la figure, el qui renferme, par suite, le point le pins haut et le point le plus bas de l'ellipsoïde.

Ce diamètre prisse par le point c», pôle de la droite à l'infini du plan de la figure, par rapport au système polaire déterminé par l'elHpsoIde, Le point en est situé à l'interseelion des trois droites joignant XYZ aux centres M,M,M, des involutions qui sont déterminées sur les côtés opposés. Dans le rabattement, le point (0) vient en 0^, sur l'intersection d'une perpendiculaire à Oo--. avec le cercle de distance; et c'est sur cette perpendiculaire que nous portons p„ , vers le point O. La droite qui joint 0„ à l'interseelion B„ de la trace Or^ et de E est le diamètre conjugué h p„; ses extrémités sont situées au-dessus des extrémités du diamètre Ot» du contour apparent, sur des normales à ce diamètre. Les deux diamMres conjugués que nous venons d'obtenir, permettent de dessiner l'ollipse. Le point le pins haut et le plus bas se trouvent sur la ligne 0„e/-', et sont les extrémités du diamètre conjupié au diamètre parallèle au plan de la ligure ou à celui qui est parallèle II Ocr.. Ce dernier diamètre, appartenant à un plan parallèle au plan de.ia figure, est conjugué au diamètre parallèle îi E dans la projection do l'ellipfnïde. Nous n'avons pas dessiné l'ellipse parallMe au plan de la figure, parce qu'elle aurait compliqué les construcllons, qui sont déjA Irop chargées. Les sections principales donnent une idée très nette de l'ellipsoïde: mais la dernière ellipse (pie nous avons dessinée on représente mieux la position par rapport au plan de la [if,'iire.

L'interseelion de l'ellipsoïde avec le plan de ta ligure sert également ;\ en bien indiquer la forme. Nous en coiinaissons le centre ctj, les deuxpoints d'intersection avec chacun des plans (0)AB, BC, XY. XZ, Orr.. c'est-à-dire dix points, et en tout vingt poinh en leiianl rumpte du centre. L'ellipse pourra donc être dessinée très exactemeni.

Outre cette ellipse, nous avons encore représenti: les traces des faces du trièdrc et du cûne directeur sur le pian de la figure. Supposons que ce plan soit horizontal, et que la partie inférieure de l'ellipsoïde soit remplie d'eau; la surface de l'eau figurera deux petits lacs limités par l'ellipse, et d'un côté par l'hyperbole, de l'autre par les traces du triÈdre. Le point le plus profond est donné par l'ellipse dessinée précédemment dans le plan vertical O-^-, Nous avons for-tcment marqué ic point dans le dessin.

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Il nous reste à chercher rinlersection du cône directeur avec Tellipsoïde. Chacune de ces surfaces est divisée par les huit trièdres que forment les plans principaux, en parties égales ou symétriques ; il faudra donc que Tintersection cherchée se compose aussi de huit parties égales on symétriques; il faudra aussi, à cause de cette égalité ou symétrie, que chaque rayon projetant la courbe, parallèlement à l'un des axes, sur le plan principal conjugué à cet axe, contienne deux points de cette courbe. Gomme elle est du 4* degré et que les cônes qui projettent ces courbes, ^le telle manière que chaque rayon en contienne deux points, sont des cônes du second degré, les projections de Tintersection cherchée sur les plans principaux seront des coniques. A cause de cette même symétrie, les axes p'cp'yp'. des pians principaux seront les axes de ces coniques. Le sommet du cône directeur se trouvant à l'intérieur de l'ellipsoïde, la courbe sera divisée en deux anneaux séparés, par les milieux desquels passera Taxe OZ. La projection de ces deux anneaux sur le plan XO,Y forme une ellipse entière. Les longueurs des axes 0,1 =0,5 s'obtiennent comme ordonnées des intersections des rayons doubles avec l'ellipse de projection, dans le plan XOyZ, oh l'on peut directement les mesurer; dans le plan YO^Z, les projections se font sur l'axe 0,Z. Les longueurs des axes 0,3 = 0,7 s'obtiennent de même, comme ordon^» nées y des intersections des deux rayons doubles avec l^ellipse de projection, dans le plan YO.Z; dans le plan XOyZ les projections se font sur l'axe OyZ. Nous connaissons maintenant les deux axes de l'ellipse 0,; dans l'hyperbole 0^, nous connaissons un axe Oy(3 7) et les deux points 1 et 5, et enfin dans l'ellipse 0^, l'axe 0^ (1 5) et les deux points 3 7i Les trois coniques sont par suite déterminées.

Il est facile de trouver les projections correspondantes d'uû même point; soit en effet, un point quelconque 2 sur X0,Y; l'abscisse ar, de ce point dans le plan XOyZ et l'ordonnée y„ dans le plan Y0,2, déter-* tninent sur les deux anneaux, deux points qui ont le même 2,, ce qui t)ermet de trouver les deux autres projections des deux points qui sont situés au-dessus de 2, dans XO,Y. Si l'on ne tient pas compte des ^gned et que l'on choisisse une ordonnée quelconque, un point de cette ôMonnéé se trouvera dans chacun des huit trièdres que forment les t)land de coordonnées; et, à cause de l'égalité ou de la symétrie des parties dé la courbe dans chaque trièdre, les projections de ces quatre points 2468, répétés deux fois, forment des rectangles dans chaque plan priticipàl. Nous avons dessiné ces rectangles autant que les limites de hotre dessin nous le permettaient. Dans l'espace, les points forment le parallélipipède rectangle 2 4 6 8 2' 4' 6' 8'.

Les projections des points de la courbe sur le plan de la figure, s'ob*

&1S ÉLÉNKIITS I» Là TBÉOIUK DE L'iLUTICITi.

tiennent très exaclemeDt au moyen des trois lignes projetantes, parallèles h 0)XÏZ, pour ebaque plan principal. Nous avons indiqué en traits pointillés les lignes projetant tes points pairs, comme étant le^ côtés du parallélipipède. Les rayons 13 se trouvent en ouli'e sur un rayon projetant parallèle k OX, et les points 3 7 sur un rayon parallèle à OY. Comme points particuliers, très utiles pour dessiner la courbe, nous avons les douze points situés sur les six rayons projetants, dont deux touchent chacune des projections de la courbe sur les plans principaux. La courbe est projetée, dans la tigure, suivant les mêmas rayons, de sorte que nous trouverons non seulement les points correspondants, mais encore leurs tangentes. Nous en avons indiqué quelques-uns, en employant la méthode générale pour les construire.

Nous devons encore signaler, comme points particuliers, les quatre points où la courbe touche la projection de l'ellipsoïde; ils sont situés sur les deux rayons, joignant le point II aux intersections de l'hyperbole directrice avec la ligne E. Nous avons, de plus, les quatre points situés sur les tangentes menées du point 0 à l'hyperbole directrice, tes tangentes en ces points étant aussi tangentes k la courbe d'intersection. Nous n'avons pu indiquer que celui qui se trouve entre 3 el \, puisque le rayon compris entre 7 el S se confond avec la génératrice du cône située dans le plan (OjAC. Pour obtenir en général un point de la courbe d'intersection sur une génératrice du cône directeur, donnée par sa trace sur l'hyperbole s, on projettera la trace donnée, à partir des points XYZ, sur les côtés (ipposés XYZ, im joindra les point-; obtenus à 0^,; ces lignes de jonction seront les projections de la génératrice donnée sur les plans principaux, elles couperont par suite le point cherché, sur les projections de la courbe d'intersection. Nous n'avons pa^ indiqué celte construction dans notre dessin, puisqu'une trace des tangentes est située bien en dehors des limites de l'épure, et que l'autre tombe entre les points \ et 8. qui sont déjîi trop rapprochés pour permettre la détermination d'un point enti-e eux. La courbe une fois dessinée, la longueur de chaque rayon passant par O sera la projection de celle du rayon correspondant de (0), prise entre le plan de l'image et l'ellipsoïde. En projetant en particulier, k partir du point {0] sur l'hyperbole, les huit points ^Hiit^'VGH' du parallélipipède, on obtiendra sur chaque rayon de O deux points opposés â(i, 48, G 2', 84 ; ces rayons ne déterminent par suite que quatre points de l'hyperbole, les points :2"4"6"8". Les droites de jonction de deux de ces points passent par l'un des points XY ou Z, puis<|ue ces droites peuvent être considérées comme les traces de plans, passant par deux arêtes opposées du parallélipipède, plans qui conticnneni aussi l'axe parallèle à ces arêtes.