CONSTRUCTION DE L ELLIPSOÏDE DES FORCES PROPORTIONNELLES

Tordonnée de M^, en un point J^ marqué sur Tépure, et les c6tés d'un angle droit qui pivote autour de ce point J^ comme sommet, déterminent sur AB des points conjugués. L'involution des diamètres de la courbe s, diamètres qui passent par le centre M, est aussi déterminée. A chaque rayon ou diamètre, passant par les points à Tinfini des côtés du triangle ABC, correspondent les rayons qui aboutissent aux sommets opposés du triangle. Les trois couples de rayons que Ton obtient ainsi permettent de construire directement les asymptotes de la courbe s. Nous avons, en somme, plus d'éléments qu'il n'en faut pour construire cette courbe.

A chaque plan sécant du faisceau (0) qui projette une ligne du plan de la figure, correspond, comme direction de la force qui sollicite la section, le rayon qui projette le p61e de cette ligne. Les éléments ainsi conjugués peuvent se construire, soit au moyen de la courbe s, soit au moyen des trois involutions sur les côtés du triangle ABC. On emploiera évidemment ce dernier moyen, lorsqu'il n'y a pas de courbe directrice s.

Pour déterminer les axes du système polaire, nous emploierons une construction identique à celle que donne M. Fiedler, dans le chapitre intitulé : « Dte Axemchettel^ etc., der Flàchen 2*' Ordnung, » de sa Géomé- ^métrie descriptive^ n* 97, p. 357, et qu'il applique à un exemple. On détermine, pour chaque rayon du plan (0)AB, son conjugué rectangulaire; le lieu des diamètres ainsi déterminés est un cône du second degré, qui contient les trois axes cherchés; ils sont les conjugués rectangulaires de ceux des rayons du plan (0)AB, qui sont situés sur les trois plans principaux. Les rayons du plan (0)AG donneront de même un second cône passant par les trois axes. Ces deux cônes se couperont suivant le rayon qui, dans les deux systèmes, est conjugué au rayon (0)A, et par suite, suivant un autre rayon au moins ; d'ailleurs, dans le cas qui nous occupe, ils se couperont suivant trois autres rayons, qui seront les trois axes cherchés. Les constructions que nous venons d'indiquer s'exécutent de la manière suivante :

Soient d'abord à déterminer les conjugués rectangulaires des rayons (0)A et (0)B. Au rayon (0)B est conjugué le plan (0)AG; la trace du rayon cherché se trouvera donc sur AG, et, en outre, sur la trace d'un plan normal mené par (0) à la droite (0)B. Ge plan normal, passant par la perpendiculaire menée par (0) au plan (0}AB, passera par la trace V de cette perpendiculaire. On déterminera Y en rabattant sur le plan de la figure le plan (0)0Y, qui lui est normal ainsi qu'à AB et qui contient la perpendiculaire p^ ; une normale à p^, menée par son extrémité, déterminera le point y sur la projection de />«• Gomme enfin la trace du plan cherché doit être perpendiculaire h OB, nous pourrons la mener; et son

lifts itL^EHTB DE U THiOUI DR L'ËLuniCITÉ.

ÎDlerseelion avec AC donnera le point Vf de la trace v du c6n6 cherché. îtoai obtiendrons do même le point tw de la trace du rayon corraspondaol h (Û)A; il sera silué au point de rencontre de GB avec la droite UV, perpendiculaire k OA.

NousavoDS vu que dans l'involution déterminée iiiir AB, le poùt Bi. était conjugué du pointa l'infini; par i^uitc, le rayun mené par G, parallèlement k AB, coupera sur le rayon mené par V, iiurmalemeot à OU,, dd nouveau point v^ de la trace du côneo; il en est de mAfue du point v., intersection du rayon CM^M et do la perpendiculaire VO. La courbe déterminée par ces points est une conique ; en effet, les rayons partant de V (ont perpendiculaires aux rayons de 0, ceux partant de 0 et de G sont projectifs, comme projetant des points conjugués sar AB, par suite, lei rayons partant de V et de C le sont aussi. On voit que lei soiamets V et C de ces deux derniers faiBCcaUK sont situés sur la courbe v. Chaque couple de points conjugués sur AB donne deux nouveaux points de t>; mais, dans un cas comme le nôtre, où le point 0 est situé dans le dessin tout prés de la ligne AB, et où les rayons quelquefois assez longs partant de V, ne peuvent pas être tracés très exactement, il est préférable de se servir de six points déjà déLermioés, qui proviennent de lignes aasax longues dans le dessin, et d'achever la conique d'après la méthode ordi-' naire, au moyen des ponctuelles projectives.

La courbe u, qui correspond aux points conjugués de la ligne AC, passe par les points BUu,(tw)«„«„, que l'on détermine comme les précédents. Le point [iw] est commun aux deux courbes h et i\ Ces courbe-. se coupent, en outre, en trois points .VYZ qui sont les traces des axes. Désignant par Z celle des traces qui est située à l'intérieur de î'hyperbole directrice, les lignes .\Z et YZ seront coupes par l'hyperbole, ce qui n'aura pas lieu pour XY. Le point 0 doit être l'inLersecUon des hauteurs du triangle XYZ.

La courbe directrice des sections et des forces détermine une involution sur chaque côte du triangle XYZ. Dans l'involution snr XY', les intersecLions de s avec cette ligne sont leurs propres conjugués; lerayons qui joignent Z à chacun des aulre^ p<iints ABCM que nous connaissons, déterminent sur XY des points conjugués aux iniersections avec XY des polaires correspondantes. En particulier, le rayon MZ détermine sur XY' le centre de l'involulion. Tous les demi-cercles dont les extrémités passent pai' deux points conjugués, se coupent en un point J, de la perpeiiiiiculaire MJ, Ji XY cl l'on peut dire que deux points conjugués quelconques sont projetés du point J, sous un angle droit.

On peut de même construire les involutions j\ points doubles qui sonl déterminées sur XZ et YZ. Les quatre points doubles s'obtiennent plu-

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simplement encore, comme intersections de l'hyperbole directrice avec les côtés.

Pour obtenir les sections principales de Tellipsoïde des forces, nous rabattrons^leurs plans X(0)Y, Y(0)Z, Z(0)X sur le plan de la figure. Dans ces divers rabattements, le point (0) viendra se placer en 0^ Oy 0,* Les droites qui joignent les points 0 aux points XYZ sont les axes des ellipses principales ; celles qui joignent ces points aux points doubles^des involutions sont des rayons doubles de Tinvolution des forces et des sections. Nous avons déterminé, d'après le n* 126 (p. 483), l'un des rayons doubles imaginaires dans le plan X(0)Y. C'est le rayon 0^(45°] conjugué à la bis*sectrice 0,45^ Les indices 45* et (45*) ont été marqués sur XY; ils sont vus du point Jt sous un angle droit.

Pour déterminer la longueur des axes, nous avons pris arbitrairement pour l'un des trois axes, une force pj et nous l'avons portée, à partir des points 0^ et Oy , dans la direction du point Z; par les extrémités des f «, nous avons mené deux perpendiculaires jusqu'aux intersections avec les rayons doubles, et, par ces intersections et les points 0, et Oy, nous avons mené des circonférences. En comparant ces circonférences à celles de la fig, 194, on voit qu'elles se confondent lorsqu'on prend le point B à l'ex*trémité du diamètre GO. Sur la PU XY, p\ et la perpendiculaire menée par son extrémité sont les axes de coordonnées pour les composantes des forces qui agissent sur les sections. Les longueurs qu'il y a lieu d'ajouter à p\, pour obtenir les diamètres des cercles, sont les longueurs p'^et p\ des axes, ainsi que l'indique la figure. Avec ces longueurs d'axes, nous pourrons construire l'ellipse dessinée dans le plan rabattu XOsY. Les diagonales du rectangle circonscrit à cette ellipse doivent coïncider avec les rayons doubles imaginaires que nous avons déjà construits; nous avons indiqué cette coïncidence pour l'un d'eux 0,(45*). Nous avons également dessiné le cercle analogue à celui de la fig, 195. Ce cercle, décrit avec la différence p^ — Py comme diamètre, est malheureusement trop petit pour servir aux constructions; mais il montre clairement l'analogie. Sur la PI. XY, la force p\, et la tangente menée par son extrémité à l'ellipse, sont les axes de coordonnées pour les forces agissant sur les sections. La distance de ce point à l'extrémité la plus éloignée du diamètre déterminé dans le cercle, est égale à p «. Le pôle J de l'origine des coordonnées, dont la construction est indiquée par la figure, est le centre de l'involution des sections et des forces ; il correspond au point G de la fig. 195. Nous avons encore montré (PI. XY) que les points déterminés par les rayons doubles imaginaires et les bissectrices des axes, sont situés sur une droite passant par J ; les bissectrices passent par les extrémités du diamètre perpendiculaire à p'y.

SM ËLÉlIRtlTH M U TRiORIB »R L'ÉLASTICITÉ.

Au moyen de la loiipceur rtes axes, nous pouvons «iétenniner celte d'un rayon quelconque pnrtant du pniut 0. Nous en indiquerons d'abord la ronslruetion pour les trois rayons p,p^ f,. Rabattons sar le plan de l'image, le plan B(0)2 qui projette p, îi partir de l'axe ?; B, est le pied de la peqieudiculaire, abaiss<^e de (0) sur la trace BZ. Si l'on porte, sur la perpendiculaire menée de 0 à cette ligne, la longueur hfl„ égale à la distance (0)B., on obtiendra le tabattement 0», du point (0). Le$ axes rabattus de la section avec l'ellipsoïde, sont les droites 0(,Z et 0,,Z(, Zi étant l'intersection de BZ avec XY. La lon!i;ueur du premier est p', et celle du second p\, , p,, étant le rayon de l'ellipse 0,Zs. que l'on pent déterminer facilement dans le plan XO,Y au moyen des axes p', ôt p\, sans construire auparavant l'ellipse entière. Deux cercles, dont le centre est situé en 0„ et dont les rayons sont é^aux à p', et p'^, permettent, dès lors, de déterminer la lonfîueur p, du rayon dirigé vers le point B. Noue avons de mèràe rabattu les plans A(0]Y et C(0)Y autour de AT,A,T et GY.G,Y ; nous obtenons ainsi le rayon p. au moyeu de 0^, et le rayon p', au moyen deO^.

Les langueurs p '„ p ^ p , ainsi obtenues ne sont pas égales à celles que nous nous étions données au début du problème, à cause de la valeur arbitraire que nous avons donnée à p', ; elles leur sont simplement proportionnelles. Cela Veut dire que si l'on projette les extrémités des axes P«P» p'. linsi trouvés, parallèlement àOlO^^O», 0,,, sur leurs projections (O)ABC, et si l'on joint leurs extrémités, ces lignes de jonction doivent ?tre parallf'les aux lignes de Jonclion des forces primitives Pap,p,. Un n'aura donc qu'à projeli'r les valeurs arbitraires p „ p „ p , sur (0)X\'Z, t't l'on déterminera, au nmyen de parallèles, les vraies longueurs do l'^p, p- C'est avec ces dernières que l'on dessinera les ellipses des plans principaux. Otle méthode, qui est analogue à la règle de fausse position, ne nous a pas servi dans notre épure. Nous avons construit les p, p^p, avec les vraie.s longueurs des axes.

En projetant les e.vtrémilés des axes sur le plan de la ligure, on obtient leurs projeclions p^p,?;- On peut, maintenant, avec les longueur* des trois axes, dessiner les ellipses principales rabattues, et notre problème est, dès lors, résolu. (In voit que. à l'extérieur ilu cône directeur. le plus grand effort que subit le ])oint matériel est dirigé suivant (Oi\ et égal à p^; à l'intérieur du cftne, cet. eH'irL maximum est égal à p, et, à la direction (0)Z. Un obtiendra la direction de la force qui sollicite une section quelconque, au moyen du pùte de la trace de celte section par rapport à l'hyperbole directrice ; sa grandeur se déterminera par un rabattement, absolument comme celles de p^j,. Toutefois, pour mieux fixer les idées, nous avons encore construit les intersections de l'ellipsoide