COURBES DE PRESSION ET DE TENSION

Nous nous sommes donné, dans le numéro précédent, un triëdre tel que ses arêtes soient conjuguées aux faces opposées, et nous avons, au moyen de ce trièdre, déterminé les efforts auxquels le point matériel, sommet du trièdre, était soumis. Ce cas était le cas général, puisque nous pouvions choisir comme arêtes les directions de trois forces quelconques, il est aussi le plus instructif, puisqu'il permet, par la composition des forces, de déterminer le système polaire réciproque des forces et des sections. Le problème cependant ne se présente pas ainsi dans la pratique; les sections et les forces qui agissent sur ces sections, sont quelconques, et il s'agit, avec ces données, de construire Tellipsoïde. Nous allons montrer comment les différents cas possibles peuvent se ramener à celui que nous avons étudié (PI. XV).

Nous admettrons a priori que le système polaire des forces et des sections détermine les rapports des dimensions de Tellipsoïde, nous ne pourrons plus, dès lors, prendre à volonté que Tune des trois forces; ce choix fixera les dimensions de Tellipsoïde.

Supposons que Ton donne trois plans sécants; les directions des forces qui sollicitent ces plans ne sont pas arbitraires, et il faut que le trièdre des plans soit perspectif à celui des forces, afin de former un système polaire. Soient ABC les trois plans; nous pouvons prendre, pour les forces qui sollicitent A etB, deux directions quelconques a et A; la force qui sollicite C devra être choisie de manière que les plans a(BC}, b{CA) et ^(AB) se coupent suivant un rayon s de la gerbe, ou, ce qui revient au même, que les intersections des plans (aA)C, {bc)A et (ca]B soient si* tuées dans un même plan S. La droite c doit donc être prise dans le plan 5(AB) ; cela posé, les quatre pôles sabc et leurs polaires SABC dé' terminent, d'après les règles de la géométrie de position, un système polaire avec ou sans courbe directrice, et ce système pourrait être construit exactement comme celui du numéro précédent, au moyen d'un triangle polaire et du centre du système. L'ellipsoïde est, dès lors, dé^

514 ÉLÉMKKTB DE L* THtORIB DE L'tUSTIClTÉ.

lenniaé par le système polaire, pourvu que l'ou se donne encore une dimension, c'est-ft-dire une force. On arrive encore au même résultai, en décomposant la force primitivement choisie, suivant les arêtes de ABC, et en cboisïssant les deux autres forces de telle manière que leurs composantes satisfassent aux conditions du n* 139 (p. 496). Nous nons contentons ici d'indiquer l'identité de ces deux moyens d'opérer, sans nous y arrêter plus longtemps. Le cas que nous avons indiqué en dernier lieu est d'ailleurs celui qui se présente le plus souvent dans la pratique.

Celui qui va suivre est presque identique à celui de la Vi. XV. Supposons que l'on donne arbitrairement les directions et les grandeurs des forces, sollicilaot deux sectioDs pianos A et B, nous pourrons encore prendre, à volonté, la grandeur de lu force qui agit suivant l'intersection c de AB sur le plan ab = G. Ëa elTet, d'après le n* J26, l'involutîon des forces et des sections, et par suite l'ellipse centrale, est complétemenl déterminée, dans le plan C, par les traces de A et B sur ce plan et par les forces ael /> qui les sollicitent; nous pouiTons donc trouver deux plans conjugués A' et B', tels que a soit situé dans B'et b' dans A, a' et A' ayant des grandeurs connues. Si maintenant l'on prend, dans l'intersection de A', B' ou de A, B une force c agissant sur aè ou a'b', le problème est ramené à celui de la PI. XV. En général, si l'on connaît, soit d'après les données précédentes, soit d'une manière quelconque, l'involutton des forces et des sections dans un des plans d'uine gerbe, et la force qui sollicite ce plan, il est permis de choisir arbitrairement la force qui sollicite un second plan quelconque, pourvu que le plan des deux forces coupe le premier plan donné suivant le rayon conjugué aux deux plans.

Nons n'examinerons pas le cas où le systàme polaire réciproque est donné par un polyèdre à cinq faces, dans lequel chaque ariHe correspond à la face opposée, parce qu'il n'arrive, pour ainsi dire jamais, qu'on ait à en faire usage.

Si l'on connaissait pour tous les points d'un corps le système polaire des sections et des foi'ces, on pourrait, comme nous l'avons indiqué pour une figure plane (n" 127, p. 486), représenter les directions de» forces dans l'inlérieur du corps. Supposons connues, pour un point matériel, les trois directions des axes. Supposons que relTorl auquel qM soumis le corps, suivant l'un des a.\es, soit de sens contraire de celui qu'il subit suivant les deux autres ; prenons sur ces deux axes, à une dislaiiie Unie, mais très petite, ([uatre nouveaux points pour lesquels nous construirons de nouveau les axes ; ces derniers nons donneront huit nouveaux points qui ne seront pas dans le même plan que les quatre premiers ; an moyen de ces huit points, nous en construirons douze, en continuant de la sorte, etc. Supposons mainlenanl que l'espace soit rempli