FORMULES DONNANT LKS FORCES PROPORTIONNELLES A DES SURFACES
Nous déterminerons, comme au n** 129, les forces qui agissent sur les plans ABC {fig. 196, p. 497) au moyen de celles qui agissent sur les trois faces AOB, BOC et COA. Prenons ces trois plans comme plans de coordonnées, et supposons comme précédemment :
les coordonnées des plans ABC égales à^i^Ç,
les cosinus des angles que font les axes de coordonnées, égaux à cdiS^d),,
leurs sinus égaux à tù\u>'^u\;
et enfin les forces qui agissent, par unité de surface, sur un plan g de coordonnées
égales à ii Jet 5?.
Les forces totales agissant sur une surface g seront, par suite^ et d*après le n- 129 (p. 496) :
'^-2^u' ^"-'2iii,' ^''^rni'
gik étant une combinaison quelconque de 123 et li^^^t ^tant identiques à ^« v), Ç.
Soient XYZ, ou, par unité de surface xt^, les composantes agissant sur la surface F4 = ABC parallèlement aux axes de coordonnées. On aura évidemment :
La surface F^ donnée par la formule :
4PVC*F»4 = -
On a par suite :
floftpeant
1 ù>, G», ^ - v« Cds Ci>l 1 C
î ri C
Pl «IJ «11 •ti P« 'ta *ti *8i Pi
et représentant les déterminants mineurs de 8 par 6it = 6ft<, on aura, diaprés les formules précédentes :
«ii:ï = 6„x + «„i + S„9r, 8;:I = 6i3X + «„i + 8„9r.
La substitution de ces valeurs de ^iqCi dans Téquation ^ + vi^ + lU = Odu plan mené par Torigine parallèlement à ABC, nous donnera Téquation du plan correspondant à la direction xt^ :
«nxx + «„(xy + IX) + «ijty 4- 8i,(xz + ^x) + e„(is + ^y) + ^^^z = 0.
Cette équation est évidemmeut réquation polaire du cône :
Poui' exprimer que les éléments conjugués dans ce cône sont rectangulaires, nous identifierons l'équation polaire :
(o,ij; 4-ô,.?y -\- ô,3Z).ï'-|-Cô,,j; + o.2;y 4- o,^z>j' + (O31X + Ô30.V + O332) c' — 0.
à celle d'un plan perpendiculaire à la droite qui joint l'origine au point .njz, c'està-dire :
(.r -f wjfy -f b}^z)x' 4- [lù^x -h // + w, z)!j' -f ;co../; -{- w, »/ -{- ;) z' ™ 0,
et nous aui'ono, en désignant par X la constante d'identification :
(ô, iX + ô,2?/-f ôi32)>i = ar +Wjï/4-tOir,
(oji X 4- &32y 4- OgjSjA = w.x 4- 0), y + -.
Pour que ces trois équations aient lieu en même temps, il faut que l'on ait :
^11^ — 1 , o^i\ — o)j, ôjjX — G)^ =0. ôjjX — (03, 6j^X — 1 , ^is^ — C0|
ÔgjX — 0)2, ÔjjX — U), , 633X — 1
Ce déterminant étant du troisième degré par rapport à X, nous ne pourrons trouver pour cette constante que trois valeurs satisfaisant aux trois équations. On peut dé-
POnMULES DONNANT LES POIICES PROPOItTIONNELLES A DES SOIIPACES. 517
montrer qu'elles sont toujours réelles, et les trouver en résolvsnt l'équation d*après les méthodes ordinaires.
En substituant Tune des valeurs trouvées dans le déterminant, les coordonnées des axes seront entre elles comme les déterminants mineurs d*une Wgae ou d'une colonne.
Ces calculs sont faciles à effectuer pour des valeurs particulières de ^k , mais n'ont pas encore été faits, à notre connaissance, pour le cas général.
On obtiendra les relations qui lient xt^, c'est-à-dire Téquation de Tellipsoïde des forces, en substituant dans le déterminant £* les valeurs trouvées précédem* ment pour ÇtjC- Il viendra :
«llX + «u» + ô,i&
«If» + «Sîl + «I8&
Wj
«ifx + «lit + «ssa
«11» + «ut,
2ft* + 8,,t,
SifX + 3„i,
+ «IS&t
+ «ita.
Les coordonnées de deux plans perpendiculaires l'un à Tautre satisfont à la relation :
0 = 1 Ci>8 fa}| Ç Cà^ 1 (01 1) (dt COj 1 C
Ç' ti' C' 0
En substituant dans cette équation les valeurs trouvées précédemment pour Çy^C en fonction de xt^r et celles de k'^il' en fonction de x't'^r', on obtiendra l'équation polaire des plans diamétraux et des diamètres conjugués dans l'ellipsoïde des forces. Il en résulte qu*à des sections ou directions rectangulaires correspondent des points à TinAni, qui sont conjugués dans Tellipsoïde des forces.
On peut en conclure que le cône et l'ellipsoïde ont les mêmes axes, puisque les axes du cône sont aussi conjuguée dans Fellipsoïde. Comme les trois plans qu'ils forment sont rectangulaires entre eux, les axes qui leur Font opposés sont aussi conjugués dans Tellipsoïde, et sont aussi les axes de cet ellipsoïde, comme étant des diamètres conjugués rectangulaires. On voit que l'équation trouvée plus haut pour X détermine aussi les axes de l'ellipsoïde.
Supposons maintenant que les trois plans dont nous sommes partis et que nous avons pris comme plans de coordonnéi» soient conjugués dans le système polaire des forces et des sections, toutes les forces e seront alors nulles, d'après ce que nous avons dit (n* 129, p. 496). Par suite :
« = Piptp8; ôii=p«p8; «ît=pipi; «j8=piPî; «it=^8=%i = o,
et l'équation du cône directeur se réduit à :
Pi Pî P8
L«s p ont les mêmes signes ou des signes différents, suivant qu'ils représentent pour le point matériel des efforts de même nature ou de nature différente. Lorsque le point matériel est soumis, suivant les trois directions, à des efforts de même nature, il n'existe pas de valeur réelle pour xy ou z qui satisfasse à l'équation précédente; le cône directeur est donc imaginaire bien que, dans l'équation polaire de ce cône, un plan réel soit conjugué à un point réel et réciproquement.
Lorsque les p n*ont pas tous le même signe, un seul d*entre eux sera contraire
aux deux autres. Nous avons affectô de ce si^ne la force af^issant suivant Taxe des Zt comme nous Pavons indiqué par le signe inférieur du dernier terme dans Téquation du cône. Dans ce cas, ce cône sera réel, et toutes les propositions énoncées (n* 129^ p. 496) cencemant les sections et les forces conjuguées seront applicables. L'équation en X qui donne les axes du cône et de Tellipsoïde se réduit à :
1 — PjPs^
Cd,
1 — WPi\
tù^
et celle de PeAlpsoïde de.s forces à :
co.
Wj
Pi
Wj
Fs
Pi
Pt
Ps
Cette équation peut s'écrire encore, en désignant par unk les déterminants mineurs du sinus de Tangle solide :
P't ?iP» Ps Pi?3 PsPi Pa
En supposant enfin quo les trois axes conjugués soient rectangulaires, tous les ia{ et les Miu seront nuls; les iùn avec les mêmes indices seront égaux À 1, et les
équations du cCme et de rellipsoiVlo seront :
.,■*■ V- s- Pi
En égalant à zéro dans ces équations, Tune dos roorclonnéos courantes, on obtiendra celles que nous avons trouvées (n** 128, p. 493). On voit que dans les plans principaux il existe entre les sections et les forces conjuf^uéos les mêmes relations que dans un système plan. Les éléments coiiiu<^'ués peuvent ètro construits au moyen des cercles du n" 127 (p. 480 et suivantes'.
Des plans ne contenant qu'un axe ne jouissent pris toutefois de cette propi i- tr. Posons, en elTot, .'/ = ''' et t=rTx; les équations du cAne et <\(} rellip^oïde devitMidront :
et
- + - Ir-* ± - = 0 Pi Pî/ P:ï
Or
ion"^ tniuvi'i-^
( —p 4- -^ ) n'est pns le carré de 1 ; — l — 1: par suite les proposit
pour le plan, et les constructions au moyen du cercle ne sont plus applicaMç--. <' (lui concorde avec ce que nous avons dit (n" 129, p. 49ô). I/mtersection «lu cône av(^c l'ellipsoïde ne peut naturellement être réelle quo
