DR LA FIBRE MOYENNE EN GÉNÉRAL

La théorie de rélasticité sert surtout^ dans les calculs de construction, à déterminer les forces qui sollicitent une poutre, lorsque les conditions d'équilibre ne sont pas indiquées à ptntm. Soit, par exemple, une poutre chargée d*une manière quelconque et reposant sur deux points d*appuis qui ne peuvent résister que dans le sens vertical; les chaînes qui agissent sur la poutre, ne pourront, dans ce cas, se décomposer que d*unc seule manière en deux forces verticales passant par les points d'appuis, comme nous l'avons vu au n» 58 (p. 197); nous n'aurons donc pas besoin, dans ce cas, de la théorie de l'élasticité. Mais si la poutre repose sur plus de deux appuis, en n points par exemple, les conditions ordinaires d'équilibre ne suffisent plus pour déterminer les réactions verticales do ces points; car n — 2 réactions peuvent ôtre prises arbitrairemont ot composées avec les charges, de manière à donner une résultante unique; cotto résultante pourrait, dès lors, déterminer, d'après les lois de la statique, les doux réactions restantes. On voit que le problème aurait ainsi une infinité de solutions. L'indétermination disparaît si l'on exprime que dans la déformation de la poutre, sous l'influence des forces qui la sollicitent, la position des points d'appuis ne change pas. 11 en est de même pour l'arc; les réactions des culées peuvent avoir des directions, quelquefois môme des positions diverses (voir n" 55, fig. 101) et 1 10. p. 185), ce qui donnerait pour l'équilibre des forces sollicitant un are. une inflnité de solutions; ici aussi, on fora disparaître l'indétermination en exprimant que les forces qui agissent sur l'arc doivent Otre telles que. malgré la déformation, la position et la direction des surfaces d'appuis que peut présenter cet arc, ne varient pas.

DE LA FIBUE MOYENNE EN GÉNÉnAL. 621

Nous emploierons la méthode suivante pour déterminer les forces (réactions des piliers ou des culées) satisfaisant à de pareilles conditions : nous supposerons la poutre sollicitée par un système de forces admissibles, c'est-à-dire satisfaisant aux conditions d'équilibre; nous chercherons les déformations que produisent ces forces, variables d'une section à l'autre; puis, nous modifierons le système adopté, c'est-à-dire que nous ajouterons de nouvelles forces en équilibre (dont la somme sera nulle) et qui seront, la plupart du temps, constantes pour une grande partie de la poutre, de manière à ramener à leur position primitive, ceux des points de la poutre qui ne doivent pas être déplacés, d'après les conditions du problème.

Ije problème comporte ainsi les deux opérations suivantes : *

i) Nous déterminerons la déformation d'une poutre sollicitée par des forces quelconques, c'est-à-dire que nous construirons la fibre moyenne rorf*espondant à ces forces,

2) Nous ramènerons certains points à leur position primitive, c'est-àdire que nous ferons passet* la fibre moyenne par des points donnés^ en modifiant les forces primitivement adoptées.

Nous allons d'abord traiter ces questions aussi complètement qu'il est possible de le faire dans le cas général, surtout en ce qui concerne la seconde de ces opérations, puis nous étudierons avec plus de détails les cas spéciaux de la poutre continue et de l'arc.

134. di':formations que produisent, sur les éléments d'une poutre,

DES pressions ET DES EFFORTS TRANCHANTS.

Nous limiterons nos recherches au Cas où la fibre moyenne est plane. Dès lors, les forces qui sollicitent la poutre, ne devant pas la faire sortir de son plan, il faudra que la résultante de toutes les forces extérieures à une section quelconque soit située dans ce plan. Il n'existera pas de forces de torsion, tournant autour d'axes non perpendiculaires à ce plan, et il faudra de plus que ce plan contienne un axe de l'ellipse centrale de chaque section.

Gela posé, il sera toujours possible de décomposer la résultante des forces extérieures à une section en trois forces : l'une Q, agissant suivant la direction de Taxe de la poutre, l'autre S agissant normalement à la première dans le plan de la section et qui est l'effort tranchant; la dernière enfin, située à l'infini et que nous désignerons par ^.

La première force Q comprime l'élément as de la poutre {fig. 197) sui-

ÉLÉMKNTS DE LA THÉORIE DE l/ÉLASTIGITÂ.

Fig. 197.

vant la direction de i*axe. Q agissant au centre de gravité, Taxe neutre

autour duquel tourne la section est situé à Tinfini, car il est Tantipolaire du centre de Tellipse centrale ; la section se déplacera donc parallèlement à ellemême. On admet que la force p, par unité de surface, capable de produire sur Tunité de surface un certain déplacement X très petit, est proportionnelle à ce déplacement, de sorte que Ton peut écrire p=:eX, formule dans laquelle t est un coefficient déterminé par Texpérience, et que Ton appelle module dC élasticité. Soit F la surface de la section ; on

aura p = =; , et le déplacement X^s d*un élément de

longueur As sera égal à -= As.

L*angle dont tourne la surface terminale de As étant égal à zéro pendant cette compression, il faudra que tous les points invariablement liés à rélément As, l'extrémité de la poutre, par exemple, se déplacent de

cette même quantité -^ As, parallèlement à Taxe de Télément.

Pendant que, sous Tinfluence de la force Q, la longueur de l'élément As diminue, toutes les dimensions dans le sens de la section augmentent.

Admettons qiK* celte augmentation soit la niùnie pour tontes les dimensions de la section et qn'elle soit ép:ale à \». pour Tnnité de lonfjneur le volume de l'élément ^s deviendra, par suite de sa compression et de son élargissement, égal à :

ou

(i — X) (1 + |x)« V^^ = ( I 4- t>ix — X -t- (x« — 2Xa — (jl'X) FA,s

-r (1 +l>jx — X)FAs,

en négligeant les termes du deuxième degré eu jjl et X, puisque X cl a sont des quantités extrêmement petites.

La force 0 n'a pu que diminuer le volume de as, il faudra donc que Ton ait :

(X < - X, c/est-tVdire (lue p. soit compris entre 0 et - X.

La deuxième force S déplace la surface terminale de As, dans le plan F de cette surface, suivant sa propre direction. Nous admettrons égalemenl que la force a qui est nécessaire, par unité de surface, pour déplacer d'une longueur cp la surface terminale d'un élément, ayant pour Ion-

DÉFORMATIONS QUE PRODUISENT DI^S PRESSIONS ET DES EFFORTS TRANCHANTS. 523

gueur 1, est proportionnelle à ce déplacement, et nous poserons :

ff = e'cp.

Le déplacement (pAs, produit par la force S sur un élément de lon-

gueur As, sera donc égal à — As, puisque » = =j.