ET F

Nous reproduisons ici la méthode employée par M. Glebsch, dans sa

théorie de Télasticité (p. 10), pour démontrer que e est compris entre -e

et ~ s, et par suite que, si Q est égal à S^ le déplacement de la section

dans son propre plan, produit par TefTort tranchant S, est de deux à trois fois plus grand que le déplacement suivant Taxe, produit par la force de compression Q.

Soit {fig, 198) la section d*un élément cubique, dont les faces ont pour

surface l'unité, et supposons cet élément soumis à une force p. Sous l'influence de cette force, la hauteur de l'élément diminuera d'une quantité X, et sa largeur augmentera d'une quantité (a. Ce changement des dimensions augmentera l'angle, primitivement droit, des diagonales, qui deviendra 90*-f-(p comme l'indique la figure, et l'on aura évidemment, l'angle (p étant très petit :

On en déduit :

OU, en négligeant les termes Xo, [x:p très petits par rapport aux autres :

Nous avons montré plus haut que fx était compris entre 0 et - X, il

faudra donc, dans notre cas, que o soit compris entre X et - X.

Puisque l'angle o est très petit, on pourra le considérer comme représentant le déplacement dans leur propre plan de toutes les sections normales aux diagonales, et M. Glebsch admet que c'est la composante de p, parallèle à ces sections, qui produit ces déplacements. Coupons le

634 ÂLÉMENTS DE LA THÉORIB DE L*6LA8TIClTi.

cube suivant ses plans diagonaux (comme l'indique la fig. 198), et décomposons p, à son intersection avec ces plans, suivant deux composantes dont Tune soit située dans la section et dont Tautre soit normale à cette

section; chacune d'elles sera égale ^ P \/â> puisqu'elles forment avec p un angle de 45*. Mais la surface correspondant à une diagonale est V^>

dans un cube dont les côtés sont égaux à 1 et TefTort tranchant p %/se répartit sur cette surface; Tunité de force sera donc :

= P\/i-V2 = ip.

Gomme p = Xt, nous aurons 9=: -Xe, et, en substituant cette valeur

dans l'équation 9 = tpe' et tenant compte de la valeur de «p trouvée plus

haut, nous obtiendrons une relation entre e et t' :

- Xz =s (X -I- ji)t',

d'où

Nous avons vn que - était compris entre 0 et -; en substituant succès-

sivement ces limites dans la relation précédente, on voit que i varie entre

- et 7- £. Comme nous manquons de données plus précises au sujet de s",

nous poserons :

Pour construire les déformations provenant de 0 et de S, il est com-

mode de les combiner, en augmentant S dans le rapport - et en compo-

sant - S avec Q* de manière à n'avoir qu'une force Q . iNous avons opéré

ainsi dans la fiq. iOI ; Q ^ été composé avec — S, et nous avons construit

la défurmalion — AS provenant de 0' ^t correspondant au module •.

Nous avons, pour cela, porté as et eF sur une droite passant par le point d'application de la force: à partir de ce point, et par Texlrémité de a.<

DÊFORyATlONS QUE FIIODUISENT DES PKESSIONS ET DES EFFORTS TRANCHANTS. 52S

nous avons mené une parallèle à la droite joignant les extrémités de Q' et de cF. Cette parallèle détermine sur Q', à partir du point d'application, un segment égal, en grandeur et en direction, au déplacement cherché. La figure explique cette construction. Il est inutile de faire remarquer que cette construction peut s'effectuer dans une partie quelconque de répure, sans s'astreindre à l'exécuter à l'extrémité de chaque élément ; on pourra, pour les divers éléments, former, par exemple, un faisceau avec les Q ou les As, et, de cette manière, il suffira de tracer une seule fois les lignes 2F et as. Quant à la force eF, il ne faudra pas la porter à l'échelle des forces Q et S, car elle est de 500 à 1000 fois plus grande que toutes les forces qui se présentent dans l'épure et qui sont de la nature de pF ; si, au lieu de eF, on porte - cF, il est clair que toutes les dé-

formations obtenues seront n fois trop grandes^ ce dont il faudra tenir compte, pour les comparer aux autres lignes. M. Mohr, professeur à Dresde, recommande {Hannoveram'sche Zeitschrift des Ing, und Arc/i. Vereins, 1868) de prendre n égal à la réciproque de l'échelle ; les déformations s'obtiendront ainsi en grandeur naturelle. Il est bon d'opérer ainsi; mais ce n'est pas toujours possible.

En ajoutant successivement les déformations des divers as, on obtiendra le déplacement total d'un point quelconque invariablement lié à l'arc, de son extrémité, par exemple. Le polygone de sommation sera une figure de même forme que l'arc ou la poutre quand les p seront très petits, ce qui doit avoir lieu autant que possible.

Lorsque les S peuvent être négligés et que les rapports -= sont constants pour toute la poutre, le polygone de sommation a une forme semblable à celle de la poutre, car tous les éléments correspondants sont parallèles et sont entre eux datis le rapport de eF à Q. Ce cas se présente pour un arc, dont la forme coïnciderait avec celle de la courbe de pression, et dont les surfaces des sections seraient proportionnelles aux forces extérieures qui les sollicitent. Si les extrémités d'un pareil arc étaient situées primitivement sur une horizontale, le résultat de la sommation de tous les déplacements donnerait une ligne droite d'une longueur égale à -= fois la portée.

Les déplacements produits par des différences de température satisfont à ces conditions. Le polygone de sommation est semblable à Tare

ou à la poutre; le rapport de similitude est de 1 : t 'jr^^t, 'c étant le

coefficient de dilatation pour 100* et àt étant la différence des tempéra-

ÉLÉMENTS DE LA THÉOniE DE L'ÉLASTICITÉ.

tures. Diaprés la Physique de M. Mousson (p. 17), le coefficient x est: pour le fer, égal à 0,001118 ; pour Tacier, à 0,00124 environ j^ ; pour le cuivre, à 0,00171 ; pour le grès, à 0,0117; le granit, à 0,0009; le bois, à 0,0003.

On peut, par suite, déterminer d'avance les deux sortes de déplacement avec une approximation assez grande. On les supposera égaux à

-=d:t-— AT, et Ton admettra que ceux qui proviennent des S se détrui-

tF 100

sent. On mettra pour -= une valeur moyenne.

eF

Cette méthode suffit d'autant mieux que les déformations produites

par Q et S sont très petites par rapport à celles que produit le

moment ^ , ainsi que nous le verrons dans le numéro suivant. Dans la

poutre continue elle-même, où les déformations produites par les S sont

relativement les plus grandes, elles sont presque toujours négligeables.