SA

=!l' AP-f W AA.

Lorsque AA est précisément la réaction de la culée, qui annule toutes les déformations produites par AP, il faut égaler à zéro les premiers membres de ces équations, et Ton a par suite :

!!l — îk — !îï. — — f^ u', "" m'^ "" Uy "" AA *

Puisque les distances %u^u^, de la force inconnue AA, au centre de gravité 9 et aux deux antipôles sont proportionnelles aux longueurs if'^u^u'^, il sera facile de déterminer la droite aA. Nous avons indiqué spécialement la construction pour les segments marqués u^u'^u\, sur la verticale située entre les lamelles 4 et 5, dans la PI. XVI3, 5.16. Ces trois longueurs ont élé portées sur des parallèles, à partir du centre de gravité S et des antipôles XY. Les droites, joignant deux à deux les extrémités de ces longueurs, déterminent sur les côtés correspondants du triangle SXY trois points de la force cherchée aA, qui sera ainsi entièrement déterminée, et Ton pourra mesurer les segments %u^u^. On construira ensuite aA dans l'angle que forment n^ et u^ (PI. XVI J, au moyen de la longueur de aP.

Toutes les forces aA, provenant des autres AP, s'obtiennent de la même manière. Nous les avons indiquées, sur Isl fig. 1, par leurs intersections avec la verticale de A, et par le segment déterminé sur chacune d'elles par celle qui la précède et celle qui la suit. Ces segments déterminent une enveloppe de forme elliptique, qui doit être tangente à la culée de droite, pyisquja l^s vertii^ales de^ ciblées se porr^spopd^ot réci{M:Qque-

ment, comme directions de forces aP et aA. Lorsqu*en effet aP est situé au-dessus de la culée de gauche, les segments infiniment petits u\u\,u\ sont entre eux comme les segments déterminés sur la verticale de droite, par les premiers côtés des polygones funiculaires et par les droites qui les ferment. On aura, par suite, à cause du parallélisme des côtés extrêmes (voir fig. 5) :

n; : u^ : u\, = DM' : DM' : DY'= DM : DM : DY.

Ces coordonnées trilinéaires sont les mêmes pour les sommets a et X ififf. 1) et sont à l'ordonnée de Y comme les distances de ces points à la verticale de la culée de droite; cette verticale est donc la force cherchée. Son point de contact avec la courbe enveloppe ne se détermine pas directement; on pourrait le trouver par approximation, en supposant AP aussi rapproché que possible de la culée de gauche.

Les AA, déterminés en grandeur et en direction par cette méthode, ne constituent pas la réaction entière des culées, il faut encore leur ajouter la réaction verticale que produit aP. La construction a été indiquée [fig. 1) pour AA^,..., et les résultats aA' seront les véritables réactions de culées provenant des charges aP. Ces réactions aA' peuvent aussi s'obtenir directement; leurs coordonnées trilinéaires sont proportionnelles aux segments u"^u"^u\ {fig. 3, 5, 6). La première équation

(p. 535) peut, en effet, s'écrire de la manière suivante, en remplaçant

Vpar^— ^ :

= ?■ aP V .r . - AP V (.r - p/) — + „ aA.

H cm arquons mainlenant que Ton a :

y T rz: T

^ <JZ"' ^

ol

La première de ces relations est (évidente d'après la manière dont non^

avons trouvé .r^; et pour montrer rexactitude de la seconde, nous avons,

Sx dans la flfj. 3, indiqué spécialement la signification de («z^j, — ?/) -;^ .

En égalant dans l'équation, 8 h zéro, substituant les valeurs de x^ et

ÉpuuE d'un arc Élastique. 541

de u"^, et faisant en6n les transformations analogues pour les équations qui donnent h et k, il viendra :

0 = x^p'AP — >»u\ -^ + w^AA, 0 = ar^p'AP — ^u\ — + ti.AA,

0 = X, p'AP — VM% — + MyAA,

V étant un facteur à déterminer pour chaque p et ^\ oc^x^x^ et %Uj:U^ étant les perpendiculaires abaissées des points a, X et Y sur les directions de la réaction verticale p'AP et de la force AA ; les équations précédentes peuvent donc être considérées, comme les résultats de la substitution des coordonnées de ces trois points, dans Téquation normale des

AP

forces B'aP, aA et de leur résultante. Par suite, — est leur résultante, et

vu"^, vti". et m!\ sont les perpendiculaires abaissées sur cette force, des trois points 9 X Y. On obtiendra la direction de la réaction totale, en faisant la construction au moyen des coordonnées trilinéaires u"^, u"^ et u\ .

On voit que aA' se construit de la même manière que aA, mais avec les segments m",, u"^ et u'\ . En représentant la forme normale des- trois forces par aA, ^'iV et aA', il résultera de Téquation

aA =— p'AP + tik, que