PAR DES POINTS FIXES

Nous avons supposé dans les numéros précédents que les aA pouvaient prendre des directions quelconques, et que Ton donnait aux arcs des dimensions suffisantes pour résister à ces aA; ce cas est celui de l'arc plein reposant sur des culées fixes. Mais il arrive souvent que les aA doivent passer par des points fixes déterminés; dans les arcs à treillis, par exemple, ils passent par le premier nœud; dans les arcs à charnière> sur les culées, par les centres des charnières, etc. En ^^énéral, ces arc> sont symétriques; le ^^A passe alors par les deux culées, car, en supposant qu'il ne passe pas par l'un des points d'appui, il produirait une rotation autour de ce point, et par hypothèse Tare est établi, de manière h céder à cette rotation. Nous devons, par suite, admettre que, pour ct'^ arcs, les AA sont horizontaux.

Par contre, il arrive souvent que le point d'application du aA ne >t' trouve pas sur l'axe théorique de l'arc; dans un arc à treillis, par exemple, cet axe théorique passe par le centre de ^Tavité de la section. en comprenant dans cette section le lon.uei'on supérieur ([ui est horizontal; il est situé par suite plus ou moins au-dessus de l'arc proprunu-nt dit. Mais, quelle que puisse être la l'orme de l'arc, les valeurs ti^u^u,^ s^nt connues à priori, et constantes pour tous les aA. La ^^randeur que l^n pourra choisir pour AA ne pourra, par suite, plus satisfaire aux tnù^ équations du n' 138 (p. o35j; une seule d'entre^elles sutiira pour la de-

ARCS POUR LESQUELS LES REACTIONS DES CULEES PASSENT PAR DES POINTS FIXES. 547

terminer. D'après ce que nous avons dit au n* 137 (p. 533), nous poserons A=0, et nous satisferons à la deuxième équation. Nous aurons, par suite :

0 = tt'.AP + tt,AA.

Les longueurs u^ étant constantes, nous arriverons le plus simplement possible aux directions des AA' et aA*", en prenant Téchelle des forces de manière que AP soit représenté par u^, alors a A sera égal à — u'.. On portera donc cet u'«, sur Thorizontale, à partir du point fixe de la culée; à son extrémité on ajoutera la verticale P'aP^^'u., construite comme rindique la PI. XYI,. On obtiendra de cette manière aA' qui coupe aP en un point de la ligne d'intersection des forces.

La courbe enveloppe est ici remplacée par les deux points d'application de aA ; la ligne d'intersection des forces et ces deux points serviront, dès lors, à effectuer les constructions suivantes comme dans le numéro précédent; on pourra déterminer aussi, de la même manière, le aA provenant de la dilatation, et le aA provenant des efforts de compression et des efforts tranchants.

Si l'on voulait enfin savoir de quel angle l'extrémité de l'arc a tourné, il faudrait résoudre le problème inverse. On remplacerait chaque aA, trouvé au moyen des formules précédentes, dans les deux relations :

c k — lab ' = UyA? -f Wy AA,

et Ton en tirerait $ et k. Il faut déterminer k, principalement afin de con-

naître l'angle j; 8 — -est en effet (voir n* 137, p. 533) l'angle dont a

k tourné l'une des extrémités de l'arc, j étant celui dont a tourné l'autre.

Or on a, dans la plupart des cas, x^^-^L

On aura par suite :

eaô8 = (u;AP + u^AA)-,

Après avoir construit - dans l'angle -j- {fig, 2), on réduira les surfaces

648 fiLÉHBNTS DE U THÉORIE DB L'ÉUSTICITi.

de moments qu'indiquent les formules, aux bras de levier - pour la première et — pour la seconde, et les résultats, considérés comme arc»d'un rayon tab, fourniront les angles cherchés.

Ul. CODRBE DE PBESSION DANS DR AHC ÉLASTIQUE.

Lorsqu'on a sommé les &A' et les AA" pour toutes les charges d'un arc, et que l'on a obtenu ainsi les réactions totales A' et A", on peut, au moyen de ces réactions, construire la courbe de pression des forces qui sollicitent l'arc, comme l'indiquent le polygone des forces et le polygone funiculaire, dans les fig. 201 et 202. La courbe de pression ainsi dessinée,

Pig. 101.

i>oiif 1111 aie détermine, est en corrélation iiilimc avec l'axu de cet air- Noiis trouverons facilement les relalions qui les lient, en montrant comment l'on peut arriver, pour une charge quelconque, mais déterminée, à. construire les réactions totales A' et A" sans passer par la sommation des aA' cl des iA".

Itelions les charges aP qui agissent sur un urc, au moyen dune courbe de pression arbitraire, mais pour laquelle les réactions des cnlées auront été choisies, de manière (jne celte roiirbc se rapproche autant que possible de l'axe de Tare. Soit maintenant T la force qui agit sui- \anl le côté du polygone, coupé par une section quelconque, et soit is réiémenl de l'arc coupé par celte même section. Le moment de la foric