COURBE DE PRESSION DANS UN ARC ÉLASTIQUE

extérieure T, par rapport au milieu de Télément de Tare sera pT, p étant la perpendiculaire abaissée de ce milieu sur le côté T. Menons (fig, 201) la verticale A, c'est-à-dire une parallèle aux forces àP, et {fig, 202) la ligne H perpendiculaire à A, c'est-à-dire horizontale. Les deux triangles ph et PH seront semblables, puisque Tangle TA {fig. 201) est égal à Tangle TaP (fig, 202), et que les deux triangles sont, en outre, rectangles. Le moment de la force extérieure à as sera donc :

Substituons cette valeur de ^ dans les formules générales, et rémois plaçons, comme nous l'avons déjà fait, 83 par S^** — . Il viendra, en

supposant qu'une force A ramène l'arc à sa position primitive, et en divisant les équations par ^H, y^aE et x^oH :

yyAA^ A — ;; représente la surface de moment correspondante à une lamelle

orZ

{fig, 201), après la réduction de cette surface à la base, généralement variable, «**. Traçons, à l'aide de tous les segments obtenus par cette réduction de surfaces, un polygone des forces ; la longueur de ce polygone

sera : ti'<T= > — ;;r ®t de plus, elle sera proportionnelle à w<t. Construi-

sons, au moyen de ce polygone et de la distance polaire y», un polygone

funiculaire, dont les côtés soient situés sur les horizontales de As; les

côtés extrêmes de ce polygone intercepteront, sur l'horizontale de l'extré-

VI y h^x mité de l'arc, un segment u'^, = > -^ ;;;.. Ce segment sera proportion-

nel aux moments des surfaces par rapport à cette ligne, et en outre à la longueur w, .

Le polygone funiculaire construit avec la distance polaire x^^ et dont

les sommets sont situés sur les verticales des As interceptera de même,

sur la verticale de l'extrémité de Tare, un segment m„~ > ^, pro-

^* Xq oz

portionnel au moment des surfaces par rapport à cette verticale, proportionnel aussi à Uy, Les trois grandeurs w'^, Uy et m'„ peuvent, comme

nous Tavons montré n* 13&,(p. 539), servir à construire la direction et la grandeur de A, force qui modifierait la réaction arbitraire avec laquelle nous avons fait la construction. Si la réaction choisie avait été exacte, les sommes m^, u\^ u\^ et par suite A auraient été égales à zéro.

Lorsqu'en outre les z*^ sont constants, on pourra faire sortir du signe

S le facteur — ;;, et le négliger, puisque nos trois sommes sont égales à

zéro dans le cas oîi la réaction est exacte. La première somme représente alors rigoureusement Taire des surfaces comprises entre la courbe de pression et Tare, puisque les côtés du polygone funiculaire se coupent sur les verticales, menées par les aj:, qui leur correspondent ; la première relation exprime, par suite, que les aires des surfaces situées audessus de Tare sont égales à celles qui sont situées au-dessous de Tare. Nous avons, dans la figure, ombré les surfaces correspondant à des forces extérieures qui tournent dans le sens positif autour de Taxe; les surfaces de moment négatives ont été pointillées. ar et y sont les coordonnées des éléments de Tare, par rapport aux axes qui passent par son extrémité; admettons maintenant que Ton recule les surfaces élémentaires, sur des verticales, de manière que leurs centres de gravité viennent coïncider avec ceux de Tare, il faudra dans cette hypothèse que les moments des surfaces par rapport aux axes x Qiy soient aussi nuls.

Or, comme la sotnme des surfaces est elle-même égale à zéro, que leur poids peut être, dès lors, considéré comme infmiment petit et situé à rinfini, et qu'enfin les deux axes sont situés fi une distance linie, leconditions que nous venons d'indiquer ne peuvent (^tre satisfaites que si les deux centres de i^ravité, celui des surfaces positives ombrées, el celui des surfaces négatives pointillées viennent ;\ coïncider; il faut, en un mot, que la résultante des poids de ces deux surfaces soit é.uale n zéro.

La construction que nous venons d'employer prouve que l'on peut, pour une charge quelconque, satisfaire à ces conditions, mais nous pouvons encore le démontrer plus clairement de la manière suivante : prenons une réaction de grandeur et de direction quelconques, et joignonsla aux charges aP. 11 sera facile, au moyen de la réduction des surfaces, et d'un déplacement parallèle, de placer la courbe de pression ainsi obtenue, dans une position telle que les surfaces situées au-dessus et audessous de l'arc, soient équivalentes. Si maintenant, les centres de gravité de la surface positive et de la surface négative ne coïncident pa^. on pourra, à partir d'un point {\\i^. quelconque, porter la distance relative de ces deux points, puis changer la réaction adoptée. Enfin, si on fait varier, pour diverses directions des réactions, la grandeur de