DE LA POUTRE DROITE ÉLASTIQUE EN GÉNÉRAL

La théorie de réiasticité sert, dans le cas de poutres droites, à déterminer les réactions des* appuis, et, par suite, les forces extérieures lorsque ces poutres sont encastrées ou continues. Nous allons traiter, id d*une manière générale, les cas les plus simples, en exceptant toutefois la poutre continue, dont nous nous occuperons dans un chapitre du second volume.

Nous admettrons que la poutre est horizontale et qu'elle n'est sollicitée que par la charge qu'elle supporte et par les réactions verticales des appuis. Dans ce cas, les as deviennent égaux aux A,r,en prenant Taxe des X horizontal et celui des // vertical. Dans tous les cas, môme lorsque toii^ les points d'appuis ne sont pas en ligne droite, on pourra négliger le> déformations dans le sens horizontal, la deuxième formule fondamentale (n° 136, p. 328) disparaîtra donc, et il ne nous restera que les deux suivantes :

«=2*1' -^=>i;(.r-..)s;îg-.

Nous pourrions nous servir de ces formules ainsi que nous l'avons fiil pour l'arc, déterminer les déformations 0 et — k provenant d'une charge AP et d'une réaction aA agissant sur tout l'arc, chercher les charges le^ plus défavorables et sommer les aA qu'elles produisent.

Mais comme les aA passent tous, dans le cas qui nous occupe, paru" point connu et S(tnt tous dirigés verticalement, que. par suite, n*'""^ n'avons à déterminer ni courbe enveloppe ni courbe d'interseclinii dc^ forces, il est inutile d'étudier séparément chaque AP, et nous chenlurons immédiatement les déformations provenant de la charge totale.

DE LA POUTRE DROITE ÉLASTIQUE EK GÉNÉrAl. 579

M. le professeur Mohr a, le premier, employé cette méthode : il a considéré les éléments ^Ax de la surface de moment comme des forces, les a portés sur une verticale et en a formé un polygone des forces, en prenant pour distance polaire c3 ; il a construit ensuite le polygone funiculaire correspondant. Les côtés de ce dernier polygone forment entre eux Tangle S et déterminent sur des verticales les déformations — k, de sorte que le polygone lui-môme coïncide avec la fibre moyenne pour la charge considérée. Lorsqu'on a choisi arbitrairement la réaction de Tappui, la fibre moyenne ne satisfait pas en général à toutes les conditions voulues ; elle peut, par exemple, ne pas passer par tous les points d'appuis on ne pas avoir au point d'encastrement la direction et la position voulues. Il faut alors modifier les forces extérieures, de manière que ces conditions soient remplies ; les réactions obtenues après cette modification sont les réactions exactes.

Cette méthode est au fond identique à celle que nous avons donnée au n* 132 ; mais les constructions ont été exécutées d'une manière différente par M. Mohr. Nous allons faire connaître «sa solution qui est très ingénieuse.

La poutre droite peut se présenter sous deux formes, soit sous celle d*une poutre pleine, soit sous celle d'une poutre à treillis. Dans le premier cas, c3 pourra s'exprimer, d'après les n*' 115 et 116, par la formule

et dans le second, d'après les n*' 99 ou 112, par

e3=(eF)A'.

Lorsque la section est variable, les longueurs z'" dans le premier cas, les

forces (eF) dans le second, le sont aussi. Pour les raisons indiquées au

n* 133, on ne portera que la n*'^ partie de la force lab, c'est-à-dire - uib

ou - • tF, et les résultats o et — A: seront par suite n fois trop grands n

(voir n* 136) ; mais nous croyons inutile d'embarrasser nos formules de

ce facteur n, et nous le laisserons de côté.

Gela posé, nous pourrons indiquer les opérations pour les deux cas

en écrivant les formules de la manière suivante :

jt-y ^^=:^ . - — AP=y ^^:i^ . - .-AP

— '"-Zà r c tab 2d 6F h h^'

Nous porterons sur une verticale les forces AP, qui agissent suivant les

580 'ÉLÉMENTS DE U THÉORIE DE L*ÉLA8TICITÉ.

verticales b' et nous les joindrons par un polygone funiculaire, construit avec une distance polaire tab ou A. Cette construction est celle qui nous donne en général les moments sollicitant l'arc, sous la forme $ : coi ou $ : A, et qu'il faut faire de toute manière. Nous réduirons ensuite à la base c ou à la base h les éléments

àX^ = àXTàV = àX — tAP

A A tab

que des verticales déterminent dans la surface de moment. Pour que cette réduction se fasse par une simple mesure des hauteurs des lamelles, on prendra pour Ax un multiple de c ou un sous-multiple de A.

Nous porterons les résultats de cette réduction sur une verticale formant un nouveau polygone des forces, dont les distances polaires seront égales aux z'* ou eF (variables, suivant le cas); le polygone funiculaire qui lui correspondra donnera la fibre moyenne provisoire.

Nous allons indiquer dans les numéros suivants, au moyen de quelques exemples, comment on pourra exécuter ces opérations et substituer la fibre moyenne définitive à celle qui n'était que provisoire.

1 149. POUTRE ENCASTRÉC A l'UNB DE SES EXTRÉMITÉS.

Nous avons porté (PI. XVII,) les charges AF de la poutre sur la verticale de l'appui, et nous avons mené la distance polaire ^ab par le commencement de la force 7, parallèlement à la direction de rencaslremeiiL En partant de la lamelle 7 pour dessiner le polygone funiculaire, les segments déterminés sur les verticales, par le côté extérieur à 7 elles divers côtés du polygone donneront les ^^ : tab. Ces segments senties hauteurs des lamelles que nous avons à réduire à la hase c. Dans le cas qui nous occupe, comme nous ne nous sommes pas donné de profil spécial,

nous prendrons pour c la double largeur 2ix des lamelles, et nous por-

terons, par suite, les ~ ^^ ; tab, résultats de la réduction, sur la verticale

de l'extrémité libre de la poutre, à partir du point où cette verticale est rencontrée par le prolongement de l'horizontale tab. De celte manière, le premier côté du polygone coïncidera avec la direction de l'encastrement.

Nous avons pris ;:'," égal à la longueur de la poutre, et nous avons supposé que les z'" suivants décroissent deux par deux; nous avons donc encore, dans la ^g, 1, les trois distances zl^ z'^^ z"^\.

Le polygone funiculaire qui correspond au polygone des forces ainsi formé, donne les déformations de la fibre moyenne. Gomme le premier côté de ce polygone coïncide avec la tangente à Tencastrement, et que c'est la seule condition à laquelle soit soumise la poutre dans sa déformation, puisque Textrémité libre peut prendre une position quelconque, le polygone funiculaire sera la fibre moyenne elle-même, défigurée verticalement dans le rapport de n à 1. On peut, à cette môme échelle, mesurer l'angle S dont a tourné l'extrémité de la poutre, soit dans le polygone des forces, soit dans le polygone funiculaire, ainsi que l'indique la fig.i.

Lorsque la charge à laquelle est soumise la poutre encastrée est uni-

formément répartie, la courbe des moments donnant les -^ est une parabole; si, de plus, la section de la poutre est constante, c'est-à-dire si tous les z^ sont égaux, la fibre moyenne coïncidera avec le polygone funiculaire qui donne le centre de gravité d'un triangle parabolique. Or, d'après la fig. 162 (p. 357), ce centre de gravité est situé au quart de la longueur de la poutre, à partir de l'encastrement; nous connaissons, dès lors, toutes les formes et dimensions de la ligne et nous pouvons déduire directement tous les résultats de la figure.

Le moment d'une charge uniforme de la poutre, par rapport à la ver-

ticale d'encastrement, estégalà -/)/' en appelant p la charge par mètre

courant, et { la longueur de la poutre; la plus grande ordonnée de la parabole, au-dessous de l'encastrement, est donc égale à ^ (elle sera

naturellement n fois plus grande dans notre dessin). La surface de la

pP parabole est égale à . , la longueur du polygone des forces, après la

pP

réduction à la base c, est donnée par ,, .. , et l'angle 8 par la formule :

b[tao)c

pP pP "■ 6(106)0? ~6Ï3'

Le bras de levier de la surface parabolique étant de - /, l'ordonnée

extrême de la poutre, c'est-à-dire son déplacement sous l'influence de

la charge, est :

On peut encore arriver plus rapidement à ce résultat en intégrant les formules :

Â; a le signe ( — ), parce que les moments sont négatifs dans notre hypothèse; si Ton tenait compte de leur signe en dessinant Tépure, k deviendrait positif.