FOUTRE REPOSANT SIMPLEMENT SUR DEUX POINTS D*APPUIS

ET FAISANT SAiLUE d'uN CÔTÉ.

Admettons que la poutre représentée (PI. XYII,) soit chargée uniformément d'un poids total pi, et soit sollicitée, en outre, par un poids P, placé à son extrémité libre. Nous construirons, au moyen de ces charges et de la distance polaire ea6, un polygone funiculaire dont la courbure sera parabolique et de même sens pour toute la poutre, et qui présentera un angle à Textrémité libre, à cause des côtés qui correspondent à la charge concentrée P aj^issant en ce point. La droite fermant le polygone s'obtiendra, en joignant l'intersection de l'appui de gauche avcr la parabole, à celle de l'appui de droite avec le dernier côté du polygoiii' funiculaire, après la force P. La surface de moment est formée dès lor> par la courbe funiculaire, par le dernier côté du polygone et par la droite qui le ferme. Elle se compose d'une surface positive ombrée et d'une surface négative ponctuée. Dans les limites de la première surface, la courbure de la poutre est dirigée vers le bas, et dans celles de la seconde. vers le haut. Les deux parties courbées en sens différents sont séjjaréepar un point d'inllexion, situé nécessairement sur la verticale de rinlersection de la courbe funiculaire avec la ligne finale.

Dans la construction de la libre moyenne pour cette poutre, nous ne partagerons la surface de moment qu'en trois parties, afin d'obtenir nn dessin plus clair. La première partie se composera de la grande surlace positive 1, et les deux autres seront les surfaces négatives 2 et 3. que sépare la verticale du point d'appui. 11 est nécessaire d'avoir en cet endroit une séparation des surfaces, puisqu'on a besoin du côté du polygone funiculaire qui, joignant la pi'écédente à la suivante, passe par le p<'i"l d'appui de la poutre.

POUTRE REPOSANT SIMPLEMENT SUR DEUX POINTS d'APPUIS, ETC. 583

Cela posé, nous réduisons les trois surfaces à la base c, et nous portons les A^P : tab sur une verticale à droite de la figure, en tenant compte de leurs signes, nous prenons ensuite un pôle sur une direction quelconque, à la distance z"\ [fig, 2), et nous construisons la fibre moyenne pointillée, en partant de Tappui de gauche. Cette fibre ne passe pas par le point d'appui de droite et est donc fausse. Supposons, pour un instant, que la fibre moyenne exacte soit également dessinée : les deux lignes, la fausse et la vraie devront avoir comme côté commun la verticale de Tappui de gauche. En effet, deux côtés correspondants des deux polygones coupent cette verticale, à une distance de Tappui égale au moment des surfaces comprises entre cet appui et les verticales des sommets d*où partent les deux côtés, et ces moments, indépendants de la position donnée àz'"", sont égaux pour les deux surfaces. Or, pour que deux côtés correspondants déterminent sur la verticale de la culée des segments égaux, il est nécessaire qu'ils la coupent en un même point, et, comme cette condition est vraie pour deux côtés quelconques correspondants, il s'ensuit que la verticale de Tappui de gauche se correspond à ellemême dans les deux polygones.

Il résulte encore de ce que nous venons de dire que les côtés de chaque polygone, et, en général, d'un polygone quelconque, construit avec la même distance polaire 2*", interceptent des segments égaux sur les mêmes verticales, et il faut, pour cela, que la distance de deux points qui se correspondent soit constante sur une verticale quelconque.

Prolongeons maintenant, jusqu'à la verticale A, le côté 2 3 du polygone pointillé, côté qui aurait dû passer par le point d'appui de droite; le point d'intersection obtenu appartiendra aussi au côté 2 3 du polygone exact. Il suffira, dès lors, de joindre ce point au point d'appui de droite pour avoir le côté exact 2 3, qui touche au point d'appui la fibre moyenne cherchée.

En menant une parallèle à ce côté, par le point 2 3 du polygone des forces, on obtiendra la position exacte de la distance polaire, ce qui per^ mettra de dessiner la véritable fibre moyenne. Mais il n'est pas même nécessaire de recommencer ces constructions; on trouvera le dernier côté, après 3, en prolongeant également jusqu'à la verticale A, le côté correspondant du polygone pointillé; quant au sommet 1, il pourra s'obtenir au moyen des segments égaux s. On déterminerait aussi le premier côté du polygone en remarquant que son intersection avec le côté 2 3, doit se trouver sur la môme verticale que l'intersection correspondante dans le polygone pointillé.

La fibre moyenne réelle est, dès lors, entièrement déterminée.

151. POUTRE ENCASTRÉE A L*UNE DE SES EXTRÉMITÉS, ET FORMANT SAILUG PAR RAPPORT A UN DEUXIÈME POINT d'APPUI QUELCONQUE.

En comparant une pareille poutre (PI. XVII,) avec la précédente, on voit qu*entre les forces A et B, il doit exister en A un moment qui recourbe la poutre dans le sens négatif, jusqu'à ce que, son extrémité A vienne prendre la direction de Tencastrement. Nous donnerons d*abord une grandeur arbitraire $ « i ce moment, nous étudierons son influence sur la poutre, et nous le changerons ensuite de manière que la fibre moyenne satisfasse aux conditions imposées. Dessinons donc, comme dans le cas précédent, le premier polygone funiculaire au moyen du polygone des forces aP, et portons ensuite, à partir de A, vers le bas, le moment $' réduit à la première distance polaire uib (ou A), c'est-à-dire la longueur ^ : mb (ou : h) (voir fig. 148, p. 310) ; l'extrémité inférieure de cette longueur, jointe à l'intersection du dernier côté du polygone avec la verticale B, déterminera la droite fermant le polygone.

Cette ligne, de même que celle que l'on construirait avec le moment exact $ : uib forme avec le polygone funiculaire, une surface de moment négative 1, pointillée dans la figure pour le moment $«, et dans les limites de laquelle la poutre est concave; plus* loin, elle forme une surface positive 2, ombrée, pour laquelle la poutre est convexe; puis, enfin, une surface négative donnant lieu à une courbure concave; cette dernière surface a été partagée par la verticale B en deux surfaces partielles 3 et 4, puisque le côté du polygone funiculaire qui passe parB est un élément déterminant du problème. Ces surfaces successives, pour lesquelles la poutre est sollicitée d'une manière différente, sont séparées les unes des autres par deux points d'inflexion, situés sur les verticales des points pour lesquels les moments sont nuls, c'esL-à-dire des points où le polygone funiculaire est rencontré par la droite qui le ferme.

Si l'on portait les surfaces des moments dans l'ordre que nous venons d'indiquer, on obtiendrait une fibre moyenne quelconque, et, si cette fibre ne passait pas par le point d'appui B, on aurait, pour un nouveau ^^', à charger les trois premières surfaces des moments, et leurs variations ne seraient pas proportionnelles à celles de ^V, puisque les surfaces sont limitées par un polygone funiculaire irrégulier. On emploiera la méthode suivante qui réduit les variations à une seule, proportionnelle elle-même à celle de ^|?'; on considérera comme première surface négative le triangle entier qui projette {fig. 3) le segment ^^' : tab h partir de B; la seconde

POUTRE ENCASTRÉE A l'DNE DE SES EXTRÉMITÉS ET FORMANT SAILLIE, ETC. 585

surface positive sera celle de la parabole, limitée par la corde AB, c'est-* à-dire celle que Ton obtient, en ajoutant aux surfaces positives et néga-< tives des moments celle qui est faiblement ponctuée sur la figure, audessous de la droite AB. De cette manière tout le changement se bornera à la variation du triangle qui a $' : lab pour base, le centre de gravité de ce triangle (ou plutôt le centre des forces verticales qu'il représente) restera toujours sur la môme verticale, et sa variation sera proportionnelle à sa base. Nous porterons donc la surface des moments l'2'3'4, ainsi augmentée, sur une verticale, pour former avec une distance polaire z" supposée ici constante, un polygone des forces 0,, au moyen duquel nous dessinerons la première fibre moyenne, pointillée dans la figure. Cette ligne ne passe pas par le point d'appui donné B'; si la fibre moyenne exacte était dessinée, ses côtés couperaient ceux qui leur correspondent dans la précédente sur la verticale 1'. En effet, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent, les polygones qui joignent les mêmes surfaces de moments 2' 3', la première 1' = ^^ itab étant exclue, déterminent des segments égaux sur une verticale quelconque ; or, on voit, en considérant la verticale 1', que le point où elle est rencontrée par la direction de l'encastrement appartient à chacun des polygones; il faudra donc que les secondes extrémités des segments coïncident aussi, c'est-à-dire que les côtés correspondants se coupent sur cette verticale. U en résulte qu'on obtiendra la véritable fibre moyenne en joignant à B' l'intersection du côté 3' 4' avec la verticale 1', ce qui permettra de construire tous les côtés précédents eh rebroussant chemin.

On peut obtenir le moment $' qui correspond à ce dernier polygone, en construisant le pôle du polygone funiculaire qui le fournit; une parallèle; menée par ce pôle au premier côté du polygone exact, déterminera sur la verticale des surfaces réduites , la surface du triangle exact

- /$ : tabc , et l'on pourra en déduire $. Mais on obtiendra plus simplement et plus rapidement la hauteur verticale ^ itab en déterminant, dans le premier polygone funiculaire, la verticale qui coupe le segment ^ : uxb entre les deux côtés situés avant et après $'. Cette même verticale interceptera entre les côtés correspondants du polygone exact le segment cherché $ : tab. En effet, les segments que déterminent ces côtés sur la verticale de ^ : tab sont proportionnels aux moments des surfaces des triangles ; ceux-ci sont eux-mêmes proportionnels aux bases $' : laby et le premier segment ^ : tab étant précisément la base du triangle correspondant, le second, sur le polygone exact, devra être ÇP : tab.

Cette propriété subsiste encore, lorsque les z'^ sont variables et non pas

constants, comme nous l'ayons supposé dans la fig. 3. Par suite, lorsqu'on aura construit les deux polygones, on déterminera avec une ouverture de compas égale à $' : ea6 portée verticalement entre les deux premiers côtés du polygone primitif, la verticale qui permettra de mesurer directement la longueur $ : uib Cette longueur, portée à partir de A, donnera les moments exacts, et le but de la construction sera, en général, atteint. Pour compléter notre étude, nous avons encore dessiné (fig. 3) la véritable fibre moyenne au moyen de la surface 12 3 4 des moments.

La construction de la fibre moyenne dans le cas d'une poutre encastrée à ses deux extrémités, ne di£Fère que peu de celle que nous avons indiquée au numéro précédent. Pour donner les directions de Tencastrement aux extrémités d'une poutre librement placée sur deux points d'appui, il faut appliquer des deux côtés [fig, 4) des moments $ et $, , l'un à l'extrémité A, l'autre en B, le premier étant négatif, le second positif; on les portera, ainsi que l'indique la fig, 149 (p. 310). La surface de moment se composera donc de deux parties extérieures, négatives et ponctuées 1 et 3 (PI. XVÏIJ et d'une partie centrale 2, positive et ombrée. Pour les raisons données au numéro précédent, nous compléterons le segment parabolique 2, au moyen de la surface faiblement ponctuée, et nous aurons ainsi un segment total 2'; les deux surfaces négatives deviendront, en môme temps, un trapèze qui variera seul lorsque l'on changera les moments ^^ et ''4?,: nous partagerons enfin ce trapèze o" deux triangles 1' et 3' ayant pour bases les longueurs ^|>' et %\ : lab.

Dans la figure, au-dessous de la surface de moment, nous avons construit une première libre moyenne provisoire avec deux moments arbitraires ^4^' et ^4>\- Lorsque les -'"sont constants, ainsi que nous l'avon» supposé dans le cas actuel, les côtés du polygone, qui précèdent et qm

suivent les surfaces ^4> tit ^}^\ se coupent au . de la portée; la conslriu-

lion du polygone est en effet identique à celle du polygone qui fournit le

centre de gravité de la surface, comme nous l'avons déjà fait remarquer

au numéro précédent, et le centre de gravité d'un triangle est situé au .-

de la hauteur. Nous pouvons donc, dans ce cas, supposer les surlace^

entières des deux triangles, appliquées suivant les verticales - / correr

;)ondantes; toutefois, lorsque les z'^sont variables, il est nécessaire de construire les deux polygones pointillés dans la figure. La fibre moyenne provisoire étant construite, nous déterminerons des deux côtés les verti- ^les qui coupent les segments ^' et ^\ : eai, entre les deux côtés qui [>récèdent et suivent chacun des triangles. L'une de ces verticales se confond, sur la fig, 4, avec celle du point B, grâce au choix particulier des bases de réduction.

An-dessous du polygone provisoire de la fibre moyenne, nous avons dessiné le polygone définitif. Le premier côté a la direction AC de Tencastrement, le point G est situé sur la verticale de Tintersection des deux

côtés extrômes correspondant à la surface triangulaire ^ :tab; et cette

verticale se trouve elle-même au - de la portée lorsque z"^ est constant.

Le dernier côté BD a été construit de la même manière, et le point D se détermine comme le point G. En dessinant les deux directions AG et BD, il faut tenir compte de ce que les ordonnées et les tangentes des angles seront obtenues n fois trop grandes, à cause de la distance polaire tab : n, il faudra donc aussi les dessiner à cette nouvelle échelle, et il devra en être de même pour la différence des ordonnées des deux points A et B. Gela posé, nous savons que lorsque la charge, et par suite la surface des moments qui lui correspond, ne change pas, les côtés extrêmes, qui lui correspondent dans le polygone funiculaire, interceptent un segment déterminé sur chaque verticale; ce segment lui-même ne change pas, lorsqu'on fait varier la forme du polygone, en déplaçant le pôle du polygone des forces sur une même verticale. Nous porterons donc, à partir de G et de D, vers le bas, les segments s et s\ que déterminent sur les verticales de G et de D les côtés extérieurs à la surface 2', et nous obtiendrons ainsi, aux extrémités de ces segments, des points qui doivent appartenir aux côtés correspondants du polygone définitif; ce dernier pourra dès lors être construit, ainsi que nous Tavons fait dans la figure.

Les côtés extérieurs aux surfaces triangulaires et passant par G et D, déterminent sur les verticales de $' : uib et de $\ : tab les moments définitifs $ et $, : tab. Ges longueurs, portées dans la surface de moment sur les verticales A et B, déterminent la droite qui ferme réellement le polygone funiculaire, et par suite tous les moments qui sollicitent la poutre. La surface définitive des moments 1, â et 3 nous a servi à construire, au bas du dessin, la véritable fibre moyenne de la poutre donnée.

Dans le dessin de la fibre moyenne provisoire, la construction des polygones, qui correspondent aux surfaces triangulaires, n'avait qu'un seul but, celui de déterminer la position des verticales sur lesquelles il fallait

porter les segments s et mesurer les longueurs $ : tab. Lorsque les z* sont variables, on ne peut point se passer de cette construction; mais lorsqu'ils sont constants, les points G et D sont situés au tiers de la portée, ainsi que nous l'avons déjà vu; on peut, de plus, s'arranger par un choix convenable des bases, de manière que les segments ^:utb se mesurent sur les verticales elles-mômes des points A et B. En effet, si, pour le dernier polygone des forces, pour celui dans lequel les surfaces réduites

ont été portées sur une verticale, on prend une distance polaire égale à

- /, les côtés du polygone funiculaire, extérieurs aux triangles et se cou-

pant en G et D, devront intercepter, sur les verticales de A et de G, des segments égaux à ceux que déterminent les rayons polaires parallèles

sur la verticale des surfaces. Or, en choisissant pour base de réduction

des surfaces la longueur - /, le segment porté, pour le triangle, sur la ver-

ticale des surfaces sera précisément égal à $ : eaft, puisque la surface du

triangle est elle-même égale à - /$ : uib. Donc :

Lorsque la base de réduction des surfaces est égale à-let que la distance

polaire qui sert à construire la fibre moyenne est - 1, les côtés extérieurs aux

surfaces tînangulaires interceptent les longueurs ^ : tab sur les verticales des culées.

Lorsque, par suite, la section de la poutre est constante et que l'on choisit les bases que nous venons d'indiquer, on n'aura pas à tenir compte des moments qui agissent aux points d'appui, pour la construction de la fibre moyenne provisoire; on ne s'occupera que de la surface parabolique entière qui correspond à la poutre non encastrée, elle servira à déterminer les segments s et s\ qu'il suffira dès lors de porter à partir de G et de D, pour obtenir, en joignant leurs extrémités en croix, les moments des points d'appui sur les verticales des culées.

Les constructions précédentes s'appliquent à une charge quelconque; mais elles peuvent se simplifier lorsque la charge est uniforme. Dans ce cas, le polygone funiculaire des forces est une parabole. Soit f la Hèche de cette parabole, trouvée par la construction. La surface de moment,

autrement dit la surface parabolique, est alors égale à-//. En la rédui-

sant à la base - /, nous obtiendrons une longueur- /* que nous porte-

rons sur la verticale des surfaces, dans le polygone des forces côrrcs-

pondant. Le moment de cette surface, pris par rapport au point A ou

au point B, c'est-à-dire avec un bras de levier ^ / est - / • - /*, et si on le

réduit enfin à la distance polaire - /, on obtient 5 ^ • « /" • ^ ^= 2/".

On voit que, lorsque la surface de moment se compose d'un segment parabolique entier, la fibre moyenne provisoire se réduit aux deux droites qui se croisent, et que nous avons indiquées en traits de force sur la figure; ces droites interceptent sur les verticales A et B des segments égaux à 2/*.

Les segments qu'elles déterminent sur les verticales C et D sont égaux

à -/*; mais on a rarement besoin de cette valeur, puisque, dans la pou-

tre continue, pour laquelle nous appliquerons ces propriétés, les verticales des points fixes ne sont que rarement situées au tiers de la portée. Pour exprimer la flèche f au moyen de la charge elle-même, on aurait, en appelant H la première distance polaire pour le polygone des charges, et désignant par/> la charge par l'unité de longueur :

Multipliant les deux membres de cette équation par le produit des bases

employées dans la suite -/•-/=- P, on verra que le segment 2/", dé-

terminé par les côtés extrêmes du deuxième polygone funiculaire sur les

verticales A et B, représente le moment d^ordre supérieur :

Dans la pratique, on n'a affaire, en général, qu'à des charges adjacentes ou non-adjacentes aux culées, c'est-à-dire que la poutre entière se décompose en deux segments chargés différemment. Lors donc que la section est constante et que la charge est uniforme, il est bon de calculer, une fois pour toutes, ces moments supérieurs par rapport aux verticales A et B pour les diverses charges possibles, afin de pouvoir porter directement les segments que détermineront sur ces verticales les côtés extrêmes des fibres moyennes provisoires.

Supposons que la charge uniforme dep^ par mètre courant s'étende à partir du point A sur une longueur pi (fig, 210) et soit égale à ^pL

Construisons, dans la figure, avec une distance polaire quelconque, le polygone funiculaire qui correspond à cette charge; nous aurons à

MO ÉLÉMBIITS DB LA TBÉORIB DE L*ÉU8TICITÉ.

exprimer le moment, par rapport aux verticales A et B, de la surface de moment ainsi obtenue, surface limitée par une parabole dans retendue de pi et par une tangente^ i cette parabole, en dehors de cette étendue.

Fig. 210.

Nous aurons :

comme réaction du point d'appui B : 7 P * P'iP = a P'(P *

comme moment de la charge à l'ordonnée pi : (1 — p)l • - p^lp

= l P'{i - P)PP'

Si nous portons maintenant cette valeur - P'(l — p)/*;? à une échelle

quelconque, comme ordonnée du polygone funiculaire et que nous joignions son extrémité au point B, la ligne de jonction sera un côté du polygone funiculaire et touchera la parabole au point K [fig, 210). Cette droite détermine sur la verticale A le segment

La flèche de la parabole, égale à la moitié du segment que la verlicalf*

- p/ intercepte entre la corde AK et la tangente A'K, sera égale à - ?' • ^V

On en déduit :

la surface du segment parabolique F, = - p/ • - p'/*/> = — |i' • /'/>;

la surface du triangle F, , F, = - p'(i — p) • P/> ;

Taire de la surface de moment entière, F = — p'(3 — 2p) • Pp.

Les moments de ces surfaces par rapport à la verticale A sont :

pour le segment parabolique, M'.= - pZ • F, = — p* . /*/>;

pour la surface triangulaire, M^ = ^ (1 + P)/F, = -^ p»(l — p«) . Pp.

Le moment total, par rapport à la verticale A, est :

et le moment total, par rapport à la verticale B :

Pour p = 1, Ma et M^ deviennent égaux à — Pp, comme cela devait

être.

On voit que les côtés extrêmes d'un polygone, donnant la fibre moyenne pour une charge partielle sur une longueur p/, déterminent sur la verticale de la culée adjacente à la charge, et sur celle non-adjacente des segments égaux, le premier à P'(2 — p*) fois, le deuxième à P'(2 — P)' fois

la longueur 2/*= — p/*, qui représente le segment correspondant à une

charge entière.

Gomme on fait un grand usage des coefficients p'(2 — p*) et P'(2 — P)',

nous les avons calculés pour les valeurs p = — et réunis dans le tableau

TABLEAU DONNANT LES RAPPORTS DES SEGMENTS, QUE DéTERMINENT SUR LES VERTICALES DES POINTS D* APPUIS LES CÔTÉS EXTRÊMES DES POLYGONES FUNICULAIRES, CORRESPONDANT A DES CHARGES p/ ADJACENTES OU NON ADJACENTES A CES VERTICALES.