C. — Sur lk signe de e
La quantité é| étant une racine carrée est affectée d'un double signe, et l'on peut être embarrassé pour déterminer le signe qu'il convient d'adopter. On y parvient par les considérations suivantes.
On a, en supprimant les indices :
a' = XÇ + Ytj + ZÇ
et
a, 6, e étant les coordonnées d'un point quelconque pris sur la direction de la force Â. L'intensité A de la force est une quantité
toujours positive. Il faudra par suite que les signes de -, -, - soient
cr V cr
respectivement les mêmes que ceux de X, Y, Z, ou bien que ceux des coordonnées de l'extrémité du rayon 1 , porté à partir de l'origine sur la direction et dans le sens de la force.
Il est clair qu'il suffit qu'une de ces conditions soit satisfaite pour que les deux autres le soient aussi, parce que abc ont tous respectivement les mêmes signes que XYZ ou des signes contraires.
►. — Sur la construction d'une surface réglée contenant une courbe donnée du troisième degré.
Une surface de degré m coupe une courbe de degré p en mp points réels ou imaginaires. Par suite, si la courbe a plus de mp points communs avec la surface, elle est située tout entière sur cette surface. Ainsi, une droite qui a trois points communs avec une surface du second degré est située en entier sur la surface; de même une courbe du troisième degré qui a sept points communs avec la surface.
Le [troblèntp consistanL à faire passer unp surface réglée du smond (legi'ii par une courbe du troisième degré est donc doublement indéterminé, et l'on peut se donner arbitrairement deux points en dehors de la courbe. Il en résulte que le problème sera délormioù si ou se donne, outre la courbe du troisième degri), iino droite j>assant par un point de la courbe, mais par un seul poinL* S) la droite jiassait par deux points de la courbe, c'est-i-diro était une sécante, le problème serait encore indéterminé, et l'on jtourrail prendre arbitrairement un point qui ne serait situé ni sur In (^(jurbe, ni sur la sécaule, ou bieu une deuxième sécante.
PtN nt; TOHR PREMIER.
NOTES DBS TRADUCTEURS. 601
plan; les coordonnées téiramétriques sont rapportées aux quatre faces et aux quatre sommets d'un tétraèdre.
Coordonnées trimétriques projectives. — Les coordonnées trimétriques, telles que nous les avons indiquées, ne sont pas projectives, c'est-à-dire que les propriétés qui en résultent ne sont pas toutes conservées parla projection. On peut rendre ces coordonnées projectives de la manière suivante : au lieu de prendre, pour les coordonnées d'un point, les distances de ce point à trois droites, et, pour les coordonnées d'une droite, les distances de cette droite à trois points, on prend comme coordonnées les rapports de ces distances aux distances d'un point fixe et d'une droite fixe, que l'on appelle point-unité et droite-unité parce que les coordonnées de ce point et de cette droite sont l'unité. Il est clair que ces rapports ne sont pas modifiés par des projections. Le point-unité et la droiteunité forment le lien entre la géométrie analytique et la géométrie de position. Ainsi, pour établir les relations projectives de deux systèmes plans, on peut choisir à volonté quatre points correspondants ABCl) de chaque système. Les positions des cinquièmes points e, se correspondant dans chaque système, sont déterminées par l'égaUté des anharmoniques A)BGDe, B)CADe, CjBABe. Deux d'entre elles déterminent la troisième.
Les points ABC forment le triangle fondamental. D estle/?oin/unité, et les proportions anharmoniques (Staudt les désigne sous le nom de Wurf ) sont les coordonnées projectives.
Si on choisit la position du point-unité D et de la droite-unité e de telle manière qu'en prolongeant l'un quelconque des trois côtés du triangle de référence, z par exemple, jusqu'à la droite e, le faisceau formé par les quatre droites x, y, {xy){ez)y et (xy)D soit un faisceau harmonique, on trouve que la condition pour qu'un point {xyz) soit situé sur une droite (ÇtiQ se réduit à
ir 4 Tiy + '^z = 0.
Nous n'insisterons pas davantage sur ces explications, et nous renverrons le lecteur, pour plus de détails, au traité de Géométrie
TRAITÉ
STATIOUE GRAPHIQUE
