DES DÉBLAIS EN REMBLAIS

Ce procédé, qui fait Tobjet du n° 33 (p. 133), ne tardera pas, nous l'espérons, à être connu et apprécié en France comme il mérite de l'être. Il a été recommandé par M. de Freycinet, ministre des travaux publics, dans le :.

Recueil de types (plans, profils, ouvrages d'art) et de Tableaux et procédés graphiques pour l'étude et la construction des chemins de fer, annexé à la circulaire ministérielle du 30 juillet 1879.

Ce recueil contient une note de M. L. Lalanne, inspecteur général des ponts et chaussées, sur l'application du procédé Bruckner :

a La Statique graphique, déjà citée ^ du célèbre professeur de Zurich^ a consacré un chapitre spécial au procédé employé^ désiSH^ dans la construction du plan incliné de Culmbach [Franconie bavaroise)^ par M. Bruckner^ pour l'opération qu il appelle le nivellement des masses de terrassements. Ce procédé avait déjà été décrit^ sous une forme un peu différente, dans les Annales des ponts et chaussées de 1840, comme une des applications du planimètre dOppikofer et (TErnst, muni d organes nouveaux qui en font une vétitable machine à calculer. Mais il est^ en lui-même^ indépendant des moyens qu'on emploie pour mesurer les aires planes dont on peut tracer très facilement tes contours sans avoir recours à /'arithmoplanimètre.

Lusage qu'on en a fait et qu'on en fait encore journellement en

596 NOTES DBS TRADUCTEURS.

Allemagne et en Russie^ les éloges quy donne léminent professeur de Zurich y et plus encore Futilité quy ont reconnue les ingénieurs du service central des chemins de fer de F État, contribueront peut être à décider les ingénieurs à en faire au moins Fessai, »

M. L. Lalanne ajoute, à la fin de la note qu'il consacre, dans le même recueil, au procédé Bruckner :

(( Les considérations géométriques sur lesquelles est fondé temploi du procédé graphique y dont on devait se borner ici à donner les règles pratiques j sont développées dans un article des Annales des ponts et chaussées. Mémoires et documents, cahier d'août 1879, article qui paraît séparément sous le titre : Exposé de deux méthodes pour abréger les calculs des terrassements et des mouvements de terre, etc., Dunodj éditeur. Vorigine même s*en trouve dans un mémoire intitulé: Sur l'arithmoplanimètre, machine arithmétique et géométrique, etc., ptiblié aux krindXQS (2* semestre, 1840), comme on Fa déjà dit. Enfin, c'est aux pages 142 et suivantes du beau livre de M, Cul' mann (Die graphische statik, Zurich, 1875), que Fon trouvera les détails du procéaé Bruckner. »

Enfin, nous ci'oyons utile de citJM' lo passage de la eirculaire ministérielle du 30 juillet I871J, relatif aux tableaux grai)lii»iues joints au recueil et dressés d'après la nnUliode si ingénieuse de M. L. Lalanne :

« Les huit nouveaux tableaux graplii((ues contenus dans le dessin « dont il est ici (juestion serviront pour quatre gabarits différents, '( soit à une, soit à deux voies, gabarits eonfornies à ceux qu'inili- « (juent les deux pièces intituL'es : Profils en travers types. .Lai '( d'autant moins liésité à en ordonner Lexécution (jue Lemploi des '( procéd(''s gra[)bi(jues ("onune moyens de calcul se répand chaque « jour davantage, en France ainsi (]u'à Létranger, et que Lavis du H ('onseil général des ponts et chaussées est venu confirmer le vertt dictdu jui'v de LKxposilion universelle, pour la classe (30, verdict « en vertu dufpiel la plus haute des récompenses, le rliplùuie (Liion-

NOTES DES TRADUCTEURS. 597

« neur, a été décerné, dans Texposition spéciale du ministère des « travaux publics, à l'ensemble des procédés graphiques dont les « nouveaux tableaux sont une application. »

Ceux de nos lecteurs qui se reporteront à l'article publié par M. Lalanne dans les Annales de 1840, constateront en eiffet que si le procédé dont il est l'inventeur diffère par quelques points de la méthode Bruckner, notamment en ce qu'il n'est pas fait usage du profil en long pour déterminer les positions que doivent occuper les diverses longueurs, en ce que toutes les masses n'ont pas une origine commune, etc., l'esprit de la méthode suivie par M. Lalanne est le même que celui de l'ingénieur allemand.

t. — Sur les systèmes de coordonnées.

Comme les traités élémentaires de géométrie analytique donnent peu de détails sur les systèmes de coordonnées dont il est fait usage dans différentes parties de l'ouvrage de M. Culmann, nous croyons utile de donner quelques indications sur ces systèmes.

Dans les coordonnées cartésiennes, on considère les formes géométriques comme composées de points, et on détermine la position des points au moyen de leurs distances à deux axes fixes dans la géométrie plane et à trois plans fixes, dans la géométrie de l'espace.

Dans les coordonnées jo/wcAériennes, les éléments que l'on considère sont la droite dans le plan et le plan dans l'espace.

Bornons-nous, pour le moment, à la géométrie du plan. Soit

l'équation d'une droite en coordonnées ordinaires. Si l'on donnait

les rapports 77 et p, la droite serait complètement déterminée; on

peut, par suite, considérer ces rapports comme les coordonnées de la droite. Ce sont les coordonnées pluckériennes ; ces coordonnées

soDl, comme il est facile do le reconnaître, les inverses, changés de signe, des segmenta interceptés par la droite sur les axes coordùnnés. En lesappelaiilÇ etï), récpiation ci-dessus peut s'écrire

Çar + iy+l=0.

Elle est susceptible d'une double interprétation, dans laquelle on retrouve le principe de dualité qui joue un rôle si important dans la géométrie de position. Si, en effet, on considère s et y comme les variables, l'équation représente en coordonnées cartésiennes la droite dont les coordonnées pluckériennes sont S et t| ; si l'on considère ^ etv) comme les variables, l'équation représente, en coordonnées pliidiéricnnes, le point dont les coordonnées cartésiennes sont X et y. En général, toute équation en Ç et tj représente un lieu géométrique, auquel sont tangentes toutes les droites dont les coordonnées pluckériennes satisfont à cette équation. C'est pour ce motif que ces coordonnées sont aussi appelées tangenlielles.

Il semble, au premier abord, que le principe de dualité n'est pas complètement satisfait, car les coordonnées pluckériemies sont rapportéfs h des axes, comme les coordonnées cirtésiennes, mais ce ii'i'st V.i ijiruiic l;ii-iiiiii ap[);ir<']i(e. Sr.us vei'i'ons, en effet, plus loin, (jiic les l'ooi'doniii'Ts [liurkih-it'iiiii's m; sont iju'un cas partie liHit d'il]] sysLùnic plus ^éiiéi'al, dans iMijuei les l'Iémonts aiixquds itii su n'-iVi!!' suiiL les poinls, rélénRuil fiéiiérati'iir des formes géouiélri- (jncs étant d'aillrui's la droilo uu le ]daii, nuntnt.' dans les cuurduii- ■ iiéi's idnrkérieiines.

E.iivnsioii ries C'nirdnnmcs cartésiennes: coonlonnées trilinéuiies.— S(jirnl trois ilroilus données par leurs i-qiialioas en cooi'doiiacf^ oi'dinaii(!s

Uni; droite (pn^lcompie du plan [lonrra ôtro repiésiiiitée par iiin' éfpiiilion (ie la (Vinin'

h.Jrm'p + n-;^{).

nr, si (111 sulisliluo, daiiw l^'s f\|iressinns 2, p, y, los coonluniifc-

NOTES DES TRAbUGTEORS. 599

d'un point quelconque du plan, les résultats sont proportionnels aux distances respectives de ce point aux trois droites a, p, y. On peut, dès lors, considérer a, p, y, comme les coordonnées d'un point par rapport à trois axes. Ces coordonnées s'appellent trilinéaires ; dans ce système, les lieux géométriques sont représentés par des équations homogènes. Ainsi, l'équation générale de la ligne droite est

tr + 'wy + wz =r 0.

Si l'une des trois droites de référence, y par exemple, s'éloigne à l'infini, l'expression y se réduira à une constante, et l'éijuation générale de la ligne droite deviendra

/a: + my + n = 0.

C'est-à-dire que nous retombons sur le système des coordonnées cartésiennes ordinaires, qui ne sont ainsi qu'un cas particulier des coordonnées trilinéaires.

Extension des coordonnées pluckériennes ; coordonnées iriponctuelles. — Soient a:, y, z les coordonnées trilinéaires d'un point, et Ç, Yi, Ç les distances des sommets du triangle de référence ou triangle fondamental à une ligne droite. Ces distances Ç, yj, Ç définissent la position de la droite et peuvent par suite être regardées comme les coordonnées de cette droite; on les appelle coordonnées triponcfuelles. Cherchons quelle relation doit exister entre a?, y, z et Ç, vi, ^ pour que le point soit situé sur la droite. L'équation de la droite en coordonnées trilinéaires sera de la forme

Soient /?,, py, p. les distances des sommets du triangle fondamental aux côtés opposés, c'est-à-dire aux axes. La distance d'un point quelconque x^ y, z k la droite étant proportionnelle à Ix+my + nz^ il est clair que les distances des sommets du triangle fondamental à la droite seront respectivement proportionnelles à

600 MITES DES tKAUUCTLUHI.

Ip^s >»/}„, np^. Oïl Hura par suite

(;t roqualioii du lii (irLiilu puurni élm mise sous la forme

p. ih /*.

C'est la relatiun cheicliée. Sous cette forme, le principe de dualité apparaît d'une manière très nette. Si on considère jc, y, s comme les v;iriables, lôqualion représente, en cnordonnées trilinéiûres, aae (iruite dont les c<Joi'dduuùti3 tripanctuolles sont S, ti, Ç. Sl I'oq considère Ç, t\, X, comme les variables, l'équation représente, en coordonnées triponctuelles, un point dont les coordoDoées trilinéaires sont 2, y, 2.

ai l'un des côtés du triangle fondamental, y par exemple, s'éloigne à l'infini, on recoanatt facilement que l'équation d-desMis prend lu fonrip

IV + ■,;,/+ i=(i.

X et // ('liLiil li's Liirhi'dniiin/i's i-;irti';sL('iiLH>s p;ir rappiirl aux ili'ii\ iiuln's i->Av^ du trinu^li' l'uiulauirutal. S' i-A -r! lus iuversL's. i-lian^rdc sii>iH's d.'s scj^ui.'iils ÏLLlnrrplùs i.ar la >\u,\W siu' 1rs ;t\fs, rV^Ià-rlirc Kjsn.onloiLU.'TspliiHvi'Ticnnrs.

Doiii- : kx monl'iiniritf nirlhiams^ cl In ci)tiri/o>-iiir>i p/ucki'rieiiii'f ne xrnil qtiiiu cis jun/iru/icr 'Irs /:oiml')mtres U-ililii'tnrvs pt i/cs coor- 'limtirex /i-ip'iiirtm-//iv, i/niis Iriptcl fiai i/es c'ifés /•/ par sui/e linu somniels iht lri"iif//f l'mihimnit'il s' l'IniijDinit ii F infini.

coiisidi'i'i'cs l'itsi'uiiilr. saripclli'Hl oor'htinrcs /rii)n-fri>/nt;s. Il fsl ;l peine nécessain^ lii' fairu ri'LLLai'([U('r ijui' les ruoiduiuiées lL'i|iiiLii'- Inulles sonLdesniunldiiut-fs )aui;euliollt:s.

Il i.'st lard.' irrlriidrc a IVsparr rc ,[nv uuiis vununs rir ilinMlu

NOTES DBS TRADUCTEURS. 601

plan; les coordonnées téiramétriques sont rapportées aux quatre faces et aux quatre sommets d'un tétraèdre.

Coordonnées trimétriques projectives. — Les coordonnées trimétriques, telles que nous les avons indiquées, ne sont pas projectives, c'est-à-dire que les propriétés qui en résultent ne sont pas toutes conservées par la projection. On peut rendre ces coordonnées projectives de la manière suivante : au lieu de prendre, pour les coordonnées d'un point, les distances de ce point à trois droites, et, pour les coordonnées d'une droite, les distances de cette droite à trois points, on prend comme coordonnées les rapports de ces distances aux distances d'un point fixe et d'une droite fixe, que Ton appelle point^tmité et droite-unité parce que les coordonnées de ce point et de cette droite sont l'unité. 11 est clair que ces rapports ne sont pas modifiés par des projections. Le point-unité et la droiteunité forment le lien entre la géométrie analytique et la géométrie de position. Ainsi, pour établir les relations projectives de deux systèmes plans, on peut choisir à volonté quatre points correspondants ABCl) de chaque système. Les positions des cinquièmes points e, se correspondant dans chaque système, sont déterminées par l'égalité des anharmoniques A)BGDe, B)CADe, CjBADc. Deux d'entre elles déterminent la troisième.

Les points ABC forment le triangle fondamental. D est le potn/unité^ et les proportions anharmoniques (Staudt les désigne sous le Qom de Wurf) sont les coordonnées projectives.

Si on choisit la position du point-unité D et de la droite-unité e de telle manière qu'en prolongeant l'un quelconque des trois côtés du triangle de référence, z par exemple, jusqu'à la droite e, le Faisceau formé par les quatre droites x^ y, [xy)[ez)^ et {xy)\) soit un faisceau harmonique, on trouve que la condition pour qu'un point [xyz) soit situé sur une droite (ÇviîQ se réduit à

Nous n'insisterons pas davantage sur ces explications, et nous renverrons le lecteur, pour plus de détails, au traité de Géométrie

ileacriptme de FieiUer \*i. Nuus ajouterons seulement quelques mots au »ujel de l'équation, en coordonnées pluckérieunes, <hi point 3 l'inUni sur une direction déterminée.

Soit, dans l'espara, un point M dont les coordonnées captésiennes sont X, y, z. L'équiilinii ili- en point en coordonnées ploekériennes sera :

Sx + \y + Cs + 1 = 0.

Soit un sea)nd point A, {abc}, situé snr la droite OM joignaot l'origine au point M; appelons e la distance de l'origine à ci; point et r la distance ÛM. On aura :

et, par snite, l'éi^uaLion du point M pourra se niellrc sous la ftinitt

r(Ça + Tiè + îc) + l = 0.

Si II.' |)(iiiil M s'/'loif^nfi à l'inliiii, on devra avoir :

- [ai + hri f c;> = 0.

C'est réipiatiiin dn puinl à l'inlini de la ili'oîlo OA. On peut n.ilurellemeiil reni]jia)'er le l'achiur - par ur. i'acleui' (]ueleun<jue. Nihlappellerons l'équation - lai -j- h-r\ -\- c'^) = () la forme nornialf 'If réqualion du point à l'inlini sur la direction {i{abc). Un voit, facilement qu'en ajoutant 1 à cette équation on obtient réquatioii il" point situé sur la {In)ito (tA, à l'unité de distance de l'uri^'iue.

ri7i tin/iidri.it ftlr Vnrlcstingen t ro„ «' WilMm Fie.llr.: Lciuzia.

NOTE» DES TRADUCTEURS. 603