TRANSFORMATION DES POLYGONES Di: PLUS DE QUATRE CÔTÉS

Fig. ul.

Soit un polygone 01 234 5.

Par le sommet 1 {fig. 51) menons une parallèle 1 2, à la diagonale 02

qui joint les 2 sommets voisins jusqu'à sa rencontre en 2, avec le deuxième côté 2 3 ; le triangle 012 sera équivalent au triangle 0 2, 2 (2,0 n'est pas tracé sur la figure); par suite le polygone 02j345 sera aussi équivalent à 0 1 2 3 4 5. Le sommet 1 a été ainsi éliminé et le nouveau polygone a un sommet de moins que le polygone donné. Nous pourrons de môme éliminer le sommet 2, en menant 2,3, parallèlement à 03; en opérant ainsi, on pourra réduire un polygone d'un nombre quelconque de côtés à un quadrilatère tel que 03, 4 5, que Ton réduira enfin à la base 26 par les méthodes exposées an n* 16, page 81 .

Dans cette construction, le sommet 0 est resté fixe, et chaque nouveau côté des polygones successifs est venu passer par ce sommet; on pourrait, au lieu de conserver ainsi un sommet du polygone primitif, «onserver un côté de ce polygone.

La construction est indiquée (PI. 111,) pour un profil en travers de chemin de fer.

Noas avons mené

11 parallèlement à 20

Nous obtenons ainsi la ligne droite AD qui intercepte à gauche ci à droite des surfaces équivalentes. Cette construction n'a pas besoin d'explication et il suffit d'en indiquer la marche. La partie supérieure du profil peut de môme être réduite à une droite BG , et nous aurons ainsi transformé la figure en un quadrilatère ABGD qui, réduit à la base 2^, nous donnera la longueur /"représentant la surface du profil.

Cette méthode est la plus simple pour des profils en travers de forme quelconque. Avec un peu d'habitude, on peut faire la transformation d'une façon presque mécanique en portant la pointe du compas ou du crayon en 1,2, 3, 4, , etc., sans avoir même besoin de numéroter ou de tracer les lignes de construction. Plaçant, par exemple, une équerre en 3, 3, on la fixe avec le crayon au point 3, , et faisant tourner l'équerre autour de ce point en même temps que la règle sur laquelle elle devra glisser plus tard, on l'amène sur le point 5, puis on fait glisser l'équerre sur la règle jusqu'au point 4, ce qui détermine le point 4,, et ainsi de suite. Cette construction, toute méganique, est absolument indépendante de la forme du contour de la figure à transformer et il est indifférent que ce contour se dirige à droite ou à gauche. Or, les constructions qui peuvent se faire sans qu'il soit nécessaire de se préoccuper de la position respective des diverses lignes de la figure, sont tout à fait générales; aussi la méthode que nous venons d'indiquer peut s'appliquer aux polygones étoiles, ainsi qu'aux polygones dont certains côtés se coupent, et elle donne la surface exacte de ces polygones en tenant compte des signes.

Si l'on répète en effet les constructions précédentes sur un profil contenant à la fois du déblai et du remblai (PI. III3), on voit que les parties en déblai se retranchent d'elles-mêmes des parties en remblai et le profil transformé ABGD est égal à la différence des deux surfaces.

Pour reconnaître les signes des différentes surfaces composant une môme figure, on n'a qu'à parcourir d'une façon continue le contour de la figure, et à remarquer le sens suivant lequel on décrit le contour de chaque surface partielle; les surfaces décrites dans des sens différents ont des signes contraires.

On voit par exemple que le sens suivant lequel on décrit le contour de la surface en remblai 34ABGO est inverse de celui qu'on obtient en suivant le contour de la surface de déblai GO 1234, ainsi que l'indiquent les floches placées à l'intérieur des deux surfaces. Enfin, le sens suivant lequel on parcourt le profil transformé ABGD donne le signe du résultat. Si, par exemple, il y avait eu plus de déblai que de remblai, et que par suite AD fût venu en AD, , les surfaces ABGD, A et GO 1231 auraient été de môme signe.

PARABOLE 1K>CII LA DÉTERMINATION DES SURFACES DE DÉBLAI ET DE REMBLAI. 8*H