DE DÉBLAI ET DE REMBLAI

Les profils en travers des routes et des chemins de fer sont en général des quadrilatères, dont trois côtés ont toujours une direction et une position constantes, et dont le 4* côté, qui est la ligne du terrain naturel, varie en position et en direction pour chaque profil.

Comme le calcul de ces profils se présente très fréquemment dans la pratique, on a calculé à Tavance les surfaces de déblai et de remblai pour difTcrentes positions et directions de la ligne du terrain naturel, et on a mis les résultats sous forme de table. On a aussi construit des tableaux graphiques qui fournissent immédiatement les surfaces des profils en les mesurant suivant les horizontales qui correspondent aux données du terrain naturel. Nous allons expliquer la construction de ces tableaux graphiques. Nous ne considérerons, comme il est d'usage, que le demi-profil ABCD (fig. 52) et nous le transformerons en le con-

Fig. 52.

sidérant comme la ditfcrenco des triangles OCD et OBA. (^ette niélhodc a l'avantage de permettre d'appliquer le tableau graphique à tous les protiU de même talus, car il suftît de retrancher, au moyen d'une parallèle à OD^, le triangle OBA qui est situé au-dessus du profil et qui est constant pour chaque espèce de profil. Nous allons d'abord réduire le» triangles OCD, OG,D|» OC,D, (G,D,, C,D, sont parallèles) à une môme base 0D = 2A, de manière que les sommets des triangles réduits soient Mlués sur les horizontales passant par D, Dj , D,, etc,

Projetons en E, E, , E,, par des verticales, les différents points CG,G, correspondant aux pieds des talus sur une horizontale passant par Textrémité D de la base de réduction. Les triangles donnés OGD, OG,D,, etc. seront équivalents aux triangles OED, OE,D, , OEjD,,etces derniers, aux triangles OED, ODS,, ODS, (les lignes D,E,, D,E,, D,S,, D,S, ne sont pas tracées sur la figure) obtenus en projetant du point 0 les points EEjEj sur les horizontales menées par D, D,, D,. Les lignes DE, D,S, , DjS^, représenteront alors les surfaces des différents triangles donnés. Pour obtenir leurs valeurs , il suffira de multiplier ces lignes par la baseiOD.

Si Ton joint tous les points S ainsi obtenus au moyen d'une courbe dont nous étudierons plus loin la nature, cette courbe permettra de déterminer la surface de tous les profils de même talus et correspondants à la même inclinaison du terrain naturel.

Les points E, S, , S, peuvent être considérés comme résultant de Tintersection du faisceau 0(DE,E,...oo) avec le faisceau de rayons parallèles cr>(ODD,D,.. .00). Ces deux faisceaux, étant projectifs à la même ponctuelle OGG,G,...co. le lieu du point S sera une courbe du 2* degré.

En considérant le rayon commun Ooo comme appartenant au faisceau 0, son conjugué dans le faisceau parallèle co sera la droite à Tinfini coco^; par suite la courbe est tangente à cette dernière droite au point oc, et c'est une parabole dont le rayon Ooo est un diamètre.

Le rayon commun Ooo, considéré comme faisant partie du faisceau parallèle, a pour conjugué, dans le faisceau 0, la droite OD, qui est par conséquent aussi tangente à la courbe au point 0. Enfin cette tangente, étiint perpendiculaire à la direction de son conjugué Ooo, qui est un diamètre, est la tangente au sommet, et O^o est l'axe de la parabole.

La parabole est donc complètement déterminée et peut se construire facilement pour chaque inclinaison du talus du profil et du terrain naturel.

La parabole varie quand on fait varier Tune ou l'autre de ces inclinaisons: si on la construit pour une série d'inclinaisons différentes du lorrain naturel, on pourra, par une interpolation, déterminer la surface du profil pour une inclinaison quelconque en mesurant cette surface sur l'horizontale qui correspond à la cote sur l'axe.

En changeant le talus du profil, la parabole change aussi. Mais les variations provenant des changements de l'inclinaison du talus sont tout à fait de môme nature que celles qui proviennent des changements dans l'inclinaison du terrain naturel, et les surfaces des profils OGD, OC,D et OGjD (/?/y. 53) sont équivalentes lorsque la différence x— 2, entre la tangente de l'inclinaison du talus et la tangente de l'inclinaison du

PARABOLE POUR LA DÉTERMINATION DES SURFACES DE DÉBLAI ET DE REMBLAI. 87

terrain naturel, reste constante. Par suite, au lieu de prendre comme p. 53 indices des paraboles, les inclinaisons du ta-

lus et du terrain naturel, il est bien préférable d*adopter comme indice la différence des tangentes de ces inclinaisons. On obtient ainsi un tableau graphique qui peut servir, quelles que soient les inclinaisons du talus et du terrain naturel, ainsi que la cote sur Taxe.

La différence t — a étant prise comme indice pourla construction du tableau, il convient de la faire varier suivant une progres- ' sion arithmétique. Cette disposition est non sealement très commode pour lire directement les surfaces sur le tableau sans construction préliminaire, mais encore* elle facilite beaucoup la constraction du tableau graphique, car tous les rayons du faisceau 0 \fg. 52, p. 85) seront alors divisés en parties égales par les diverses paraboles.

Soit, en effet (PI. III J, un rayon quelconque OC coupant en C Thorizontale DG menée par l'extrémité D de la base de réduction 2^=0D; soit arc tangxF angle de OC avec l'horizontale, le point C sera un point de la parabole correspondant à une différence t des tangentes, c'est-àdire dont l'indice est t, car DC représente, sans réduction, la surface du triangle ODC, qui a la base OD voulue. Faisons maintenant varier de o la différence x des tangentes, en prenant tangDiCD = 5; la surface du triangle CCD devra être lue sur la parabole de x — o, et nous obtiendrons un point de cette parabole en menant la parallèle C,D,, de façon à transformer le triangle OCD^ en un autre triangle OC^D, dont la hauteur soit égale à la base de réduction CD, et dont la base CjDj sera par suite la mesure du triangle OCD,. Mais comme le point C, se trouve, par constraction, sur le rayon OC et sur l'horizontale correspondant au point D du terrain naturel, ce point C^ est le point de la parabole x — o situé sur le rayon OC. Par suite les formes OD,D et OC,C sont semblables et, lorque les variations DD, , DjD,, etc., des différences des tangentes sont constantes, les segments CCj, CjC,... interceptés par les différentes paraboles sur le rayon OC seront aussi constants. Pour déterminer les points où d'autres rayons OB, OE rencontrent les mêmes paraboles, on cherche les intersections H et K de ces rayons et de l'horizontale menée par le point de rencontre C de l'une quelconque de ces paraboles avec le rayon OC; on projette H et K parallèlement à la tangente commune OD sur le rayon OC, en G et I, puis on projette ces points G et I hori-

zontalement (c'est-à-dire parallèlement au diamètre commun) sur 0(HK) et Ton obtient les points cherchés B et E.

La démonstration de cette construction se fait comme précédemment, en remarquant que les faisceaux oo(OGCIoOj) et O(DHCDoo) sont tous deux projectifs avec la ponctuelle OGCïco, .

On voit par cette construction que les ponctuelles OBjB,B, OC,C,C, OE^E^Ë, déterminées avec les rayons du faisceau 0 parles différentes paraboles, sont semblables. Cette propriété résulte d'ailleurs d'une façon immédiate de ce que le point 0 est le centre de similitude des paraboles, qui so^t semblablement placées. 11 résulte aussi de cette dernière considération qu'un rayon quelconque du faisceau 0 coupe toutes les paraboles sous le même angle, et, comme les segments interceptés sont égaux, nous aurons sur toute la longueur du rayon la môme figure.

Si la variation de la différence des tangentes allait en diminuant (au lieu d'être constante) en-passant de la verticale à l'horizontale, il faudrait diminuer, d'après les mêmes lois, les segments interceptés sur un même rayon. Le long d'un rayon, la différence des valeurs x — a augmentera de 0,01 h 0,02, par exemple, puis à 0,05 et à 0,10.