TBANSFORMATION DK LA SURFACE d'uNE SECTION DE VOUTE

Soit à réduire à la base 26 la surface de voûte dessinée PI. III,.

On rectifie les deux arcs qui limitent la section de voûte considérée suivant les tangentes AB et 23 menées par leurs extrémités, et Ton obtient ainsi la surface du secteur extérieur OAB et celle du secteur intérieur 132. La surface cherchée sera égale à OAB moins la somme des trois triangles 132, OAl et OIG, c'est-à-dire moins la fig. OA321GO. En retranchant les parties communes, il nous restera le polygone ABOGi23A. Les parties qui restent à Tintérieur du triangle OAB ont été ombrées et leur contour doit être décrit dans le sens positif; les parties qui restent en dehors de ce triangle, et qui sont encore à retrancher, sont pointillées et doivent être décrites en sens contraire. On réduit cette surface à un quadrilatère d'après les méthodes connues. La plus simple consiste à réduire la ligne brisée G123A à la ligne G|à (voir n* 17, p. 83) d'une manière analogue à ce qui a été fait sur la P1.1II,; on obtiendra ainsi le quadrilatère étoile ABOGj dont la surface sera exprimée par le produit des deux lignes 26 et f.

La figure se simplifie un peu quand on considère la moitié de la sec» tion entière de la voûte. On ramène, comme précédemment, la surface de la demi-voûte à celle de la figure ABG0321A (PI. III,), qui a autant de côtés que celui de la PL III,. Gela fait, si on réduit le contour A1230 à la ligne AG, par un procédé analogue à celui qui a été suivi pour la fig, 51, p. 83, on obtiendra le quadrilatère ABGG,, équivalent à la demivoûte, et dont la surface sera représentée par le produit des deux lignes

l'ig. so. Très souvent, dans les cas que nous venons d*examiner,

les arcs de cercle sont donnés par leur corde et leur flèche^ et on se propose, au moyen de ces deux quantités, de calculer la longueur de Tare et les surface» du secteur et du segment.

Soient [fi§, 60) / la flèche, / la demi-ouverture, a le demi-angle au centre. Nous calculerons d'abord a au moyen de la formule :

et nous aurons ensuite

100 DU GALGOL GlUraïQQI; ' ' ' /

Ëzprimoiifl, au moyen de ces quantité, la demi-loiigaear ê de Vare, la surface du demiHE»etear Sf« et celle du demi-segment S». Nous aurons

Lorsque le rapport j=t est très petit, il est commode de déyélopper tontes ces formules en s6ries ; on aura :

81 le rayon et la corde soclNkiUids, on calculera f au moyen de la formule :

91 Pon veut exprimer }a flèqlie A du demi-arc au moyen de f et de r, on aura :

On voit que lorsque - est très petite on peut prendre pour la flèche du demi-arc

le 2 dd coilo de Parc complet. (Test sur cette propriété que reposent certaines

règles pratiques employées par les charpentiers, règles qui, dans beaucoup de cas, sont très commodes, par exemple, pour déterminer des points d'un cercle situés entre d'autres points donnés de ce cercle.