TRANSFORMATION DE LA SURFACE d'uNE SECTION DE VOUTE
Soit à réduire à la base 26 la surface de voûte dessinée PI. III^. On rectifie les deux arcs qui limitent la section de voûte considérée suivant les tangentes AB et 23 menées par leurs extrémités, et Ton obtient ainsi la surface du secteur extérieur OAB et celle du secteur intériear 132. La surface cherchée sera égale à OAB moins la somme des trois triangles 132, OAi et OIG, c'est-à-dire moins la fig. OA32iCO. En retranchant les parties communes, il nous restera le polygone ABOGi23A. Les parties qui restent à Tintérieur du triangle OAB ont été ombrées et leur contour doit être décrit dans le sens positif; les parties qui restent en dehors de ce triangle, et qui sont encore à retrancher, sont pointillées et doivent être décrites en sens contraire. On réduit cette surface à un quadrilatère d'après les méthodes connues. La plus simple consiste à réduire la ligne brisée Gi23A à la ligne G|à (voir n* 17, p. 83) d'une manière analogue à ce qui a été fait sur la P1.1II,; on obtiendra ainsi le quadrilatère étoile ABOCj dont la surface sera exprimée par le produit des deux lignes 26 et f.
La figure se simplifie un peu quand on considère la moitié de la sec'^ tion entière de la voûte. On ramène, comme précédemment, la surface de la demi-voûte à celle de la figure ABG0321A (PI. III,), qui a autant de côtés que celui de la PI. III,. Gela fait, si on réduit le contour Ai230 à la ligne AG| par un procédé analogue à celui qui a été suivi pour la fig. 51, p. 83, on obtiendra le quadrilatère ABGG,, équivalent à la demivoûte, et dont la surface sera représentée par le produit des deux lignes jiet/*.
V\%. «0. Très souvent, dans les cas que nous venons d'examiner,
les arcs de cei^cle sont donnés par leur corde et leur flèche, et on se propose, au moyen de ces deux quantités, de calculer la longueur de Tare et les surfaces- du secteur et du segment.
Soient (fig^ 60) f la flèche, / la demi-ouverture, a le demi-angle au centre. Nous calculerons d'abord a au moyen de la formule :
ëi nous aurons ensuite
-'=frî'(è-'}
Ifi t>tr i^Jttjûil. muMIttl'ii
■îVé^^l-U'
lA ftttrfhcé; oè tàppoti m iiMlé à mteiiif. Lorsque la flèeli6 eët le ^ de
là cùtûë, Vérfètit est fUm j^étitè QUè j4g de Ift ftii4kcè.
Pour préciser davantage, noUi ftttpposefMK tMteslés iKi^llâëft t^daites ft mtêhÊM de (r,(M m à une double hàiè ûèÙ^fii; Hdtei adtilettikind en outre que rapproximation avec laquelle on pent mesurer les hauteurs
soit derrrrrde Centimètre; dans ce cas, l'erreur commise sera moindre luO
que0"',(j00001.
Si donc on pose :
on aura, pour différentes v^êurs de /*,
5 mill.
3/=»^/* ^ Ofii
66,7 mîll.
f = ir=0.5.
'-lr+'^=oM
4 13,6 mill.
Angle au centre = 150' 8 86* 26' 45* 14' 26* 23' 1 1* 25',
En dessinant ces segments, on obtient la fig, 63, pour laquelle on com-
.vu\vui\f.\ït\'i\ /; 0(1
iu>'i\\r<'h)\ l'Hnmo'> (in'I ')ifjj
Z^STn
met une erreur d'un milïiHï^tre carré lorsqu'on détermine la surface des segment^/99t)ir))QU|pliimti)f^b4aeiparite»^ide^laiifaauteur. Dans les con-*
structions gpuf^hiqqes ordi|ï]^ires|on chercherai à obtiBiiir des segments
ressembljant àuj^i Jrçlî^diêrili^rs^^Oi^S'-W sèramen fixé
dans la mémoire les formes de ces segments, il sera aisé, en se laissant
raissent semblables**aux segments de la figure.
TRANSFORMATION DES SURFACES LIMITÉES PAR UNE COURBE QUELCONQUE. 40i
- de la flèche, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à celle d'un triangle
ayant la corde comme base, et - /"comme hauteur (/" étant la flèche du
segment mesurée normalement à la base).
Si Ton a un grand nombre de ces transformations à faire, le moyen le
plus simple pour multiplier f par - consistera dans l'emploi d'un com-
pas de réduction.
On partagera la ligne courbe limitant la surface en parties assez petites pour que chacune d'elles puisse être considérée comme un arc de parabole, et on transformera en triangles les segments de parabole {fig, 62)
„, „ de manière que le sommet de cha-
Fig. «2. ^
que nouveau triangle ainsi obtenu se trouve sur le prolongement de la base du triangle précédent. On obtient ainsi un polygone équivalent à \i figure donnée et ayant autant de côtés qu'il y a de seg ments. La fig, 62 indique la manière de procéder; la construction a été faite en allant de A vers B.
11 ne reste plus alors qu'à transformer ce polygone par les méthodes connues.
Quant à la grandeur que. l'on peut donner aux arcs successifs pour qu'ils pliissent être considérés comme des arcs de parabole, on ne peut à cet égard rien dire de précis tant qu'on ne connaît pas"^la navire (le la courbe à transformer. Nous nous bornerons à déterniiner 1 errliur que l'on commet lorsqu'on
applique cette méthoçi^^^ à un ^^^^^^^ lorl, u..-., , ..■„ lorn
La surface d un segment de icercle exprimée au moyen de la flèche /
eèdte toicenyiâilmi^oainnkeiihiWiriridanriei fihAléPÔiiJi^ééâdéftti^i'^'-^-'^^
|(^ lî ::|>.-)M/WT^Mii'il' -'4?ii;liyfY«:: ^l<'ll-.!!'ll'
8l4'««coii«dfirë'C^ sëgfllèht èfèittiâë '^àfêMiiA>6'^J^'\%^^
erreur
plus petite que - //"- ( Ç j ou plus petite que f |-. j multiplié par
ses deux extrémités en deux parties, telles que la surface de Tune soit double de celle de Tautre.
La différence entre Taire du polygone circonscrit et celle dé la courbe est donc égale au tiers de celle des deux polygones circonscrit et inscrit. On aura donc pour l'expression de la surface
Dans la plupart des cas, on pourra négliger la correction que nous venons de trouver; mais, si Ton en tient compte, cette formule due à Poncelet (voir Parmentier, Nouvelles antèales de mathématiques^ oct. 1855) est plus exacte que Tancienne formule de Simpson, ainsi que nous allons le montrer par la comparaison des deux méthodes.
Simpson ne suppose aucune relation entre les divers trapèzes paraboliques. La surface comprise entre deux ordonnées quelconques et la corde
de Tare parabolique étant de - (A., + Ki^^ ^^ ^^^^^ ^^ segment de para-
bole étant ^ (A,^, ^ '^'^jA, Simpson obtient comme surface de la
tranche :
En faisant la somme de toutes ces tranches, la première et la dernière ordonnée h^ et A, n'interviennent qu'une fois, tandis que chacune des ordonnées d'indice pair se répétera deux fois, une fois pour la tranche qui la précède, une deuxième fois pour celle qui la suit. Les ordonnées impaires consenent leur coefficient 4, et la formule de sommation devient
F=^{Ao + i/*i+2A,+ 4A,4-... + 4A, + A,)A.
Si Ton veut comparer cette formule à la précédente, il faut supposer un profil spécial. Lorsque ce profil est réellement terminé par un arc de parabole, les deux formules donnent le même résultat, qui est alors parfaitement exact.
Supposons que toutes les ordonnées paires soient de même longueur, ainsi que les ordonnées impaires, ces dernières étant plus grandes que les premières d'une certaine quantité constante ; la formule de Simpson correspondra alors à une série de tranches terminées en bas par des arcs qui se rejoignent à angle aigu sur les ordonnées paires, et qui sont arrondis sur les ordonnées impaires.
DÉTERMINATION DE L'aIRE D'UNK SURFACE LIMITÉE PAR DES COURBES. i05
La formule de Parmentier, au contraire, donne une surface qui est terminée par des arcs de paraboles qui se raccordent entre eux, pour les ordonnées paires, aussi bien que pour les ordonnées impaires, et qui ondulent entre les extrémités des ordonnées; et c'est bien là le cas le plus fréquent dans la pratique. Ainsi, toutes les fois que la courbe ne présentera pas réellement des angles rentrants, la formule du Simpson donnera des résultats moins exacts que celle de Parmentier. L'erreur commise serait encore bien plus grande si les angles rentrants correspondaient aux ordonnées impaires; car alors les ordonnées paires auraient pour coefficient 4, et la formule deviendrait :
L'erreur serait :
valeur qui n'est plus négligeable.
Ces dernières observations subsistent encore quand les ordonnées ne sont plus alternativement plus grandes ou plus petites, mais sont tantôt au-dessus, tantôt au-dessous d'un arc de parabole d'une assez grande longueur. La formule de Simpson donne toujours, comme limites de la surface, des arcs de parabole en nombre moitié moins grand que celui des ordonnées, et qui formeront des angles aux ordonnées paires, tandis que la formule de Parmentier donne autant de paraboles que d'ordonnées, ot toutes ces paraboles ont une tangente commune entre deux ordonnées successives. Par suite, le périmètre qui en résulte se rapproche beaucoup plus de la forme d'un sol ondulé ou de celle d'une ligne courbe obtenue en joignant ensemble une série de points isolés, que le périmètre correspondant à la formule de Simpson.
En outre, il n'y a absolument aucune raison pour supposer dans ces formules que les ordonnées impaires doivent avoir deux fois plus d'importance que les ordonnées paires.
Si Ton voulait doubler une fois les ordonnées paires, et une autre fois les ordonnées impaires, puis prendre la moyenne des deux résultats, on aurait un résultat plus exact, mais on retomberait sur la formule de Parmentier qui est, par suite, préférable.
Ml GALCOL GlUPttiaitfi-
