StJliFACES D*A1BB MAXIMA POUR UH PâRlifÀTHB DOHHÂ

Le problème «livuii se présente souvent ettkydiaRiliqiierwiiitraâè un proâl d*aire donnée de manière que le rà^Mirl de l*aife «i périmètre mouillé, c*est4<dire le rayon du proil, soit «m matiamm* In généml^ on connaît Tinclinaison ou la direction des côtés du pdygone«

Ce problème est traité dans toutes les géométries, mais en suppoiant connues les longueurs des côtés au lieu de leur! directions^ et oik dé-^ montre que tous les sommets du profil doivent se trouver sur un demicercle; par contre, on n'y traite pas le cas où les directions des côtés sont données. Steiner a complètement démontré dans le Journal de Crelk, vol. XXIV, que, pour ce cas réciproque, les côtés du polygone dolvmit être tangents à un demi-cercle dont le centre serait situé sur la surface de l'eau; mais, comme il est difficile de comprendre sa démonstration sans avoir étudié les trente et une pages qui la précèdent et que les théorèmes sur lesquels il s'appuie paraissent peu connus, nous allons essayer de donner une démonstration directe de sa proposition.

Soit ijtg. 65) A,B,BjAj un profil quelconque, trois côtés représentant

fïlS, 65.

BiBl^i

la section du canal, et le 4% le niveau de l'eau, ces différents côtés étant respectivement parallèles aux directions données. Recherchons si nous ne pouvons pas, en r».onservant les directions des côtés et le même périmètre, construire un autre profil de surface plus grande.

Rabattons les côtés AjB, en CBj sur la base de manière que CC représente le périmètre mouillé. Menons par B, les parallèles BjD, aux lignes GA,, et joignons CD,. Les deux quadrilatères AjBjBjAj et GDjD,C seront équivalents d'après la théorie des réductions de surface, et leur surface sera égale à celle du triangle COC, moins celle du triangle D,OD,.

DÉTERMINATION DE L'aIRE D'uNE SURFACE LIMITÉE PAR DES COURBES. i03

24. DÉTERMINATION, PAR L^ADDITION D^ORDONNÉES, DE L^AIRE d'une surface LIMITÉE PAR DES COURBES QUELCONQUES.

La méthode que nous allons exposer est très simple et d'un usage très fréquent dans la pratique, pour déterminer, par exemple, le profil d'une rivière. Elle consiste à additionner les longueurs d'une série d'ordonnées équidistantes et à multiplier cette somme par leur écartement constant b. Dans cette opération, chaque ordonnée est mesurée ou supposée mesurée au milieu de l'écartement b. Nous allons chercher l'erreur que Ton commet en appliquant cette méthode.

L'aire ainsi obtenue est égale à celle du polygone circonscrit à la courbe au moyen des tangentes menées par les extrémités des ordonnées hji^ .,. h^^^h^ {fig. 64) en admettant que les ordonnées soient assez

Fig. 64.

rapprochées pour que deux tangentes successives se coupent sur l'ordonnée intermédiaire. Ce polygone circonscrit est équivalent au polygone terminé par le contour KDEF..., comme il est facile de le voir. Sa surface est plus grande que celle du profil limité par la courbe. La surface du polygone inscrit dans la courbe, AMN... est, au contraire, plus petite, et elle est égale à celle du polygone terminée par le contour ABCDBP... La différence entre l'aire du polygone circonscrit et celle du polygone inscrit est, par suite, égale à la somme des aires des

deux petits rectangles distingués par des hachures aux deux extrémités du

profil ou à - b{h^ — h^ + K — *•)•

Si les ordonnées sont assez rapprochées pour que les arcs de courbe situés entre elles puissent être considérés comme des arcs de parabole, chaque arc partagera le triangle formé par la corde et les tangentes à

DU CALCUL GIUPHIQUS.

Soit (fig. 66) BB un côté d'un polygone qui n'est pas tangent à la circonférence inscrite dans les deux côtés extérieurs, de manière que le centre, de cette circonférence soit situé sur la surface de l'eau AA : on

Fig. 66.

pourra augmenter, comme nous venons de le montrer, la surface du quadrilatère ABBA formé par BB, par l'horizontale de la surface de l'eau et par les deux côtés extrêmes tangents à la circonférence, tout en conservant le même périmètre et la même direction des côtés. Si maintenant on retranche du quadrilatère ainsi augmenté les deux surfaces ombrées près des sommets B, chacune de ces surfaces étant la partie comprise entre les côtés AB et BB et les côtés intermédiaires du polygone primitif, on formera un nouveau polygone de même périmètre que l'ancien, mais dont la surface aura été augmentée de la différence des deux quadrilatères. Cette augmentation de surface n'étant pas possible lorsque tous les côtés du polygone sont tangents à la circonférence, on peut dire que :

La direction des côtés d'un polygone étant fixe, le rapport de la surface au

périmètre mouillé ( — j est maximum quand le polygone est circonsci*it à une

circonférence.

Lorsque^ comme c^est le cas pour les profils de canaux^ la longueur de

l* horizontale correspondante au niveau de Veau n'entre pas dans le périmètre

F mouillé^ le rapport — est maximum lorsque les autres côtés sont circonscrits à

une circonférence dont le centre se trouve sur cette horizontale.

Lorsque le profil transversal d'un canal se compose d'une horizontale correspondante h la ligne d'eau, d'une autre horizontale correspondante au fond du lit (fig, 67), et de deux talus, la somme des longueurs de ces

F talus est égale à la largeur du canal à la ligne d'eau, lorsque — est maximum, .j, li,..;

En effet, l'angle AOB est égal à a à cause du parajlé^m^M^ç^ côtés .^ et BB, et le triangle BAO est par suite isoc^)f;,.d'jqii,jA6irr 4^ffillj?n)i;?^T