DÉCOMPOSITIOII D*UNE FORCE ER TBC»S C01IP06AHTB

Dans la décomposition d'une force en deux composantes, la possllnlité de la décomposition est liée à la condition que les directions des trois forces passent par un même point. Dans la décomposition d*une force en trois composantes, ces forces ne se coupent plus nécessairement en un même point. Si les trois composantes forcent un triangle, une force quelconque située dans le plan du triangle pourra toujours être décomposée suivant les trois directions des côtés.

La théorie des firameworics (*) oilire un exemple de cette décomposition. Nous supposons, dans la /?;. 111, la section d'une construction,

Fif. m.

dans laquelle les forces extérieures sont équilibrées par les compressions ou les tensions de trois éléments de la construction, et nous cherchons à déterminer les forces qui agissent suivant les directions de ces trois éléments, en supposant connue la résultante P des forces extérieures à la section considérée, résultante qui est donnée, construite ou calculée d*une manière quelconque. Dans ce but :

On décompose la résultante P, au point d'intersection de cette résultante avec l'un des trois éléments de la construction, en deux composantes dirigées l'une suivant la direction de ces éléments et Tautre suivant la ligne qui joint ce point d'intersection au point de rencontre des

(*) Les systèmes rigides formés de barres, dont l'enfiemble forme une sorte de réseau triangulaire que les Allemands désignent sous le nom de fachvœrk, et les Anglais sous le nom de fi'ameivork, n*ont pas de désignation précise en français. Suivant Texemple donné par M. Maurice Lévy dans sa Sintiffue gntphique, nous avons adopté la dénomination anglaise.

DÉCOMPOSlTioN D*IINE FORCE EN TROIS COMPOSANTES.

deux autres éléments. Puis on décompose cette dernière force suivant la direction des deux derniers éléments et on obtient les forces qui agissent sur chacun d'eux.

Cette règle est générale et s'applique à la décomposition d'une force quelconque en trois composantes, qui doivent agir suivant trois lignes données situées dans un même plan contenant la force. Sur la fig. 111, ces décompositions sont indiquées ; dans cette figure et dans les figures suivantes, Q désigne la tension dans l'élément tendu, R la compression dans l'élément comprimé, et S la force qui agit suivant la contrefiche. La force qui agit suivant la ligne qui joint le point où P rencontre Q au point d'intersection RS, a été désignée par Q,. Si l'on considère la/f^. 111 comme un polygone funiculaire, ce polygone se réduit à la ligne poinlillée Q,,àrunedes extrémités de laquelle agissent les forces P et Q, et à Vautre extrémité de laquelle agissent les forces R et S. La fig. 112 représente le polygone des forces correspondant. En Q partant du pôle 0, on a porté sur une verticale la force donnée P, et à l'extrémité de P la direction [p de Q; la grandeur de Q est déterminée par la diagonale menée du point 0 parallèlement au côté Q, du polygone funiculaire. Les deux derniers côtés du polygone des forces, ou les forces S et R, sont parallèles aux éléments correspondants de la construction, et sont par suite entièrement déterminés.

On arrive naturellement au môme résultat si l'on entreprend la décomposition de P au point d'intersection PR (fig. 111), et si, dans le po- ?ig. 113. lygone des forces (fig. 113), on mène par le pôle 0 une

parallèle à R, et par l'extrémité de P une parallèle à R. 11 en résulte que les diagonales R^ dans les fig. 111 et 112 sont parallèles. Géométriquement, il en résulte aussi que, dans les quadrilatères dont les sommets sont les extrémités des deux diagonales Qj et R,, deux côtés opposés sont respectivement parallèles dans les deux figures.

En changeant l'ordre de composition des forces et en entreprenant la première décomposition au point d'intersection SP [fig. 111), on obtient

aussi les dispositions des fig. 113 et 114 pour le polygone des forces. On a le choix entre ces trois dispositions (fig. 111, 113 et 114) du plan des forces. Nous choisissons d'habitude la disposition de la fig. 112, quand toutes les forces, et par suite aussi les tensions et les pressions Q et R dans les longerons, sont à dé-

contre-fiche, nous choisissons les dispositions des fig. tttîtiM.

et iti liifui lut tcMBCWHiiifiwHnhla ai pnlyp» ftwirjÉliim,

Mim tiiePi^i twi «al lewidAés piiiiifetit, Jagr Iw i^siiililii w, il «^«iliiidiMÉQMitînMMat ainsi, mmmmlmwamU^ la «iMfttniM» ^ la|%. lÉI anee Im Agvfea Mmnies; 4iM la |%. itl« fuir «asMi^ia, faîil^ AS «gl^igii^ daw la /ff • iU il «t cMm^ «I iknl de s«ftii. lia 4ÎPWiti^4l«i éma, figuras peut etcia «taa en éwhmca» CiuMi A^iMijriQB

Kf^w. natta «ittoore, w4i»mant,

«nlifia Ampc ^tés oip^aés Q et m ^ i«) reUés |Ér «^ Iroi- J aièana oMé 6, 4war tgoies wmihliMan, l^ne au polfgone IkuiloBteive delà /^. 111 (celle 4Bf aMeha), elfantM a» petf* ff^ottades foicea 4a la jf^ iiS (celle de droite). On peut montrer de la même manière la relation des >^.4I3 et 114 «recla /?9. 111.

Pour que le polygone funiculaire et le polygone des forces soient

Fig. lift. semblables, il faut que doux côtés

B. R j opposés du polygone des forces

Xk,'-^y^ '^^. -' ! soient parallèles. La fig. llGdonne

[emple de cette similitude cas de longerons parallèles, et la /î^. 117 pour le cas où

'' "^^ .-- -' N fj un exei ^ '^'.j pour le

Tune des barres qui réunit les deux longerons, S par exemple, est parallèle à la force P. Il résulte également de ces figures que, dans le

Kg. in. polygone fumiculaire, c'est-à-dire

dans la figure qui représente la construction et sur laquelle on a aussi indiqué la force, les forces qui agissent suivant les éléments parallèles de la construction sont dans le rapport inverse de leurs longueurs, et que celles qui agis-

DiCOMIH)SITION MBft F0ACI8 JW fRdifi COMPOSANTES. ISI

t let puties obUqnes «oai dans le rapport direct de leurs

n en vésulte que :

Dmm k €a$ de hmgmrmê jMVti/fôfes, la force qui mit mivtuU urne amire^ Me, eUàlm vémliânte éa força mgtstatU en deàorg 4e oUte comire-fiche^ la itiifuew 4e ceUe<i eêt i la kmgmeur du êepueml mterceplé sut la de dm fomee par leê kmfet*(ms fmraUèiei.

On peut encore s'exprimer plus simplement, et dire : la campeêanêe œrîicale de la force agissant suivant la contre-fiche est égale à la somme des forces qui agissent en dehors de cette contre- fiche. Mais celte proposition n'est vraie dans ces termes que pour des frameworks ayant des longerons horizontaux; lorsque les longerons sont inclinés, la deuxième composante ne doit pas être prise horizontale, mais parallèle aux longerons. S'il existe dans le Framework des pièces verticales établissant la fiiison entre les longerons, oooime par exemple les poinçons dans les ponts du système Howe ou les montants dans divers systèmes de ponts métalliques, ces pièces n'auront à résister qu'à la somme des forces extérieures.

Si ces contre-fiches ou ces poinçons sont tous parallèles, les forces qui agissent suivant ces pièces sont proportionnelles à P et changent dans le même rapport.

La détermination des forces qui agissent sur les divers éléments d'un framework, telle que nous venons de l'exposer, est applicable tant que P tombe dans l'étendue de la feuille de dessin. Si P tombe en dehors de la feuille, on peut déterminer Q et R en divisant le moment de P par rapport aux points RS et QS par le bras de levier de chacune des forces Q et R par rapport aux mêmes points. P étant en effet la résultante de QRS, le moment de P par rapport à un point quelconque du plan est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point. Si Ton choisit ce point à l'interseclion de leurs composantes, le moment de celles-ci sera égal à 0, et par suite le moment de P par rapport à ce point d'intersection sera égal à celui de la 3* CGay^osante.

Si Ton désigne, pour exprimer cette relation d'une manière générale, par ^s (ooos écrivons b au lieu de/), parce que nous réservons la lettre p pour désigner les charges réparties sur l'unité de longueur) les perpendiculaires abaissées d'un point quelconque sur ces quatre forces l'égalité des moments conduit à la relation :

P6 = Qy-f Rr-|-S«.

Si le point par rapport auquel on détermine le moment est le point

iM coMMemoN. dbs fo«:is«.

per^^endieiilaipes abaissées du point doniié^ sur tes dtoectîoi» et» forets isolées. Les moments sont natureUementpositift on négatif^, smVairt que lee forces toadeat à toucaer dans le sens positif ou dans le sejoâ^ négiUif autour dm poi&t ft|B.

Si Ton compose mahitenant la Force à rinflni 9t avee bt force finie B; qui piasfs» par le poûit fixe, la grandeur de la résuUaute sera toufaors B, et sa distance r au point fixe deviendra :

fSt lJLa ^ SA

Les opérations algébriques exprimées par cette formule s'effectuent trèssimplemenlt loisque le nombre des forces k composer excède 2, au moyen du polygone* funieulaire) d'après ce qui a é4é dit au n* 43, p» 138* Nous reviendrons ptos loin sur ce sujet, dans un chapitre consacré spécialement aux forces parallèles, et, pour le moment, nous nous bornerons à énoncer encore quelques théorèmes généraux.

Si 9% et R sont égaux à 0, le système est en équilibre ; si 9t est seul égal à 0, il faut que r = 0, et le point fixe est sur la résultante R; si enfin R est seul égal à 0, le système se réduit à une force à Tinfini, absolument comme dans réquilibre en général.

LoBsque les forées sont parallèles, toutes les pecpendiculair^ menées dn point fixe sur les forces coïncident. Si Ton coupe les forces par une ligne oblique quelconque, les segments sont proportionnels aux perpendiculaires, et les équations d'équilibre indiquées plus haut seront encore applicables à ces segments, car dans tous les termes de ces équations les distances normales n'entrent qu'au V" degré. Gomme d'ailleurs ces propositions sont vraies pour une direction quelconque des forces parallèles, il en résulte que, si l'on fait tourner ces forces autour de leurs points d'application situés en ligne droite, leur résultante tournera aussi autour d'un point fixe de cette droite. Cette proposition v que nous démontrons ici en supposant les points d'application en ligne droite, peut être généralisée et s'étendre au cas où les points d'application sont dans un plan, et môme au cas où ils sont situés d'une façon quelconque dans l'espace, ainsi que nous le verrons dans le chapitre suivant.

Le point autour duquel tourne la résultante s'appelle centre des forces parallèles. Dans la considération du centre, on fait complètement abstraction de la direction des forces parallèles, et on suppose les grandeurs de ces forces comme concentrées^ ou on considère ces points d'application comme chargés de poids proportionnels à la grandeur des forces, et l'on peut alors, au moyen de ces points et de leurs poids, déterminer le centre^ qui prend le nom de centre de gravité.

COMFOSITION DES POTCES âTIC VktWE BCS FORCES A L'iNFINI. tS3

On eataid par maicat des points ainsi chargés le produit des forces qui agissent sur «n potni on poids, par leur distance, mesurée suivant une direction ^vekonqiie, à une ligne déterminée, quand ces forces agissent dans mi mtaie plan, et à un plan quand elles agissent dans Tespace.

Si tmt campe par Mme ligne droite un nombre quekonqme de forces situées dmm »• mène pkm^ et qme Ton suppose les peints d'intersection ckargés de poids prèportiûmmeb aux hauteurs (^ des forces par rapport à cette ligne droite^ Im réoulianie des forées damnées passera par k centre de gravité des points fmppUeation ainsi chargés^ et la hauteur de cette résultante sera égale à ht somme des hauteurs des différentes forces données.

Si, en effet, on décompose chaque force A, au point où elle coupe la ligne droite, en deux composantes dirigées Tune suivant cette figne, i^antre suiranf mie ligne passant par un point quelconque à Tin fini, c*esi-à-dire parallèle à une direction arbitraire, ces dernières compo> santés seront proportionnelles aux hauteurs des forces par rapport à la ligne droite. La résultante de toutes ces forces parallèles est, par suite, proporlàonnelle à SH et passe par le centre de gravité des points d Intersection chargés de poids H ; par suite, la résultante, qui provient de la composition de SH avec la somme de toutes les forces agissant suivant la ligne droite, passe également par ce point. Quant à la hauteur de cette dernière résultante par rapport à la ligne droite, on voit facilement qu'elle est précisément égale à la somme des hauteurs des différentes forces.

Appliquons ce que nous venons de dire à la composition de deux forces ou à réquilibre de trois forces parallèles, dont chacune peut être considérée comme égale à la résultante des deux autres prise en sens contraire. L*expression de cet équilibre est :

A. + A, + A3 = 0, Ajûj + Ajûj-f A^a^^O,

d'où Ton déduit, par élimination d'un des trois A, les deux égalités

(*) On appelle hauteur d^une force par rapporta une droite qmi U rencontre U distance de l'extrémité de la force à la droite, lorsque Torigi ne delà force est située sur cette droite; la hauteur d^une force par rapport à un plan se définit d'aae manière «nalogiie.

1M r:i> H POSITION un:» forcss. ^

perpmdi cul aires abaissées du point donné sur les directions d«$ fof«e$ isolées. Les moments sont naturellement positifs ou négatift, suivant que les totces tendent à tourner dans le sens posiLir ou dans le sens nég^UT ftntour du point Sse.

Si l'on compose maintenant ta force h l'infini 3t avec la fbrre fiuie B (|Ui pas.se par le point llze, la grandeur de la résultaatti sera toujours B, et sa dislance r au point fixe deviendra :

Les opérations algébriques exprimées par cette formule s'eWectuent très simplement lorsque lo nombre des forces 1 composer excède 2. au moyen du poly^ne funiculaire, d'après ce qui a été dil au n' A2, p. 158. Nous reviendrons phis loin sur ce sujet, dans un chapitre consacré spécialement ;iii\ fn]'(.e> i»acal]tlcs,ot, pour le moment, nous nous bornerons à énoncer encore quelques théorèmes généraux.

Si % et R sont égaux à 0, le système est en équilibre ; si 91 est wul égal & 0, il tint que r = 0, et le point fixe est sur la réBnltantci R; si Mtfin R est seul égal k 0, le système se ridait i une force i l'iofloi, absolument I iiwiiii iihli i:4^ibre M séairat

l»D84M<liBBlaDM0 «onftpandlttot^ «BSltelaB |m9flBtfciriaiB»BMBi« dfcptiat iM'MU'hn.fOTga» ootandoat Si 1*M ttmp»ltm.^rae»9Ut^m»^ ligne obliqiM qnelconqoB, les sagmMtts sont propoiiiomet» aB> pcrpendiculaiFes, ^ les équations d'équilibre indiquées pla»lLa«l seront encors appUcables à cas segments, car daos tous les termes de nea équations les dislances normales a'snlrent qu'au 1" degré. Gomme d'ailleurs ces proposilioQs sont vraies pour une direction quelconque âw forces- paral*lèles, il en résulte que, si l'on fait tourner ces forces Mitour dfl leurs points d'application sïtaéa an. ligne droite, leur résultante tournera aussi aotour d'un ^otfixede celle droite. Cette propositiOnv qve nouidémontrona ici «n supposant les points d'application en ligne droite, peut ttre gfoéralisée et s'étendre au cas oil les points d'application sont dans on plan, et même au cas où ils sont situés d'une fa.çon queleonqoa dans l'espace, aimi «pie noua le verrons dans te chapitre suivant.

Le point autour duquel tourne la résultante s'appelle centre dds forças parallàles. Dans la considération du centre, on fait oomplètsment abstraction de la direction des foroes parallèles^ et on supposa tes grandeurs de oes foroes oomme concentrées, ou on considère cw points d'appUcatiôn comme chargés de poids proportionnels à la grandeur des foroes, et l'on peut alors, au moyen de ces points et da leurs peida, détenniner ie wntrei qui' prend le nom de centre de-gravité.

COMPOSITION DES ffOKGCS ATIC hkXWK VCS FORCES A L INFINI. 183

On entend par nmwft des points ainsi chargés le produit des forces qui agissent sur vn poîni on poids, par leur distance, mesurée suîrant eue direction ^pneleonqne, à une ligne déterminée, quand ces forces agissent dans on mtaie plan, et à un plan quand elles agissent dans l'espace.

Si fen coupe par W9e ti§ne droite un nombre quektmqve de forces situées dans mm wiéne plan, et que Vom suppose les points d'intersection chargés de pwds priportiommeb mac hauteurs (*) des forces par rapport à cette ligne droite^ bs résultasUe des forées données passera par le centre de gravité des points ^appUeatkm ainsi chargés^ et b hauteur de cette résultante sera égale à la somme des hauteurs des différentes forces données.

Si, en effet, on décompose chaque force A, au point où elle coupe la ligne droite, en deux composantes dirigées Tune suivant cette figne, Tautre suiranf une ligne passant par un point quelconque à Tinfini, c'esi-à-dire parallèle à une direction arbitraire, ces dernières composantes seront proportionnelles aux hauteurs des forces par rapport à la ligne droite. La résultante de toutes ces forces parallèles est, par suite, proporCaonneile à ^ et passe par le centre de gravité des points d Intersection chargés de poids H ; par suite, la résultante, qui provient de la composition de SH avec la somme de toutes les forces agissant suivant la ligne droite, passe également par ce point. Quant à la hauteur de cette dernière résultante par rapport h la ligne droite, on voit facilement qu'elle est précisément égale h la somme des hauteurs des différentes forces.

Appliquons ce que nous venons de dire à la composition de deux forces ou à l'équilibre de trois forces parallèles, dont chacune peut être considérée comme égale à la résultante des deux autres prise en sens contraire. L'expression de cet équilibre est :

A,a,-f Ajaj + Aja^^O,

d'où Ton déduit, par élimination d'un des trois A, les deux ^alités

Am Am /Vg

a, — fl, a^ — a, a^ — a,

(*) On appelle hauteur d'une force par rapport à une droite qui la rencontre la distance de Textrémité de la force à la droite, lorsque Torigine de la force est année sur cette droite; la hauteur d^nne force par rapport à un plan se définit d'aae manière analogve.

I8i COHI-IISITION DES l'Iltr.EH.

Dans ces égalités, les a représenlcnt les dUlances k une droite quelconque des points d'inlersection A avec une ligne droite.

Comme il n'y a que trois forces, il est nécessaire que deux d'entre elles aient le même signe et que la 3' ait un signe opposé, el celto dernière force doit être égale à la somme des deux autres.

La même proposition est applicable aus moments; si en particulier on égale un des trois a kO, les deux autres ont des signes opposés, ce qui veut dire que deux des forces tournent en sens opposé autour d'un point de la 3*. 11 résulte de là que le point d'application de la plus grande des trois forces est toujours compris entre les points d'application des deux autres, qui agissent en sens contraire de la 1".

Chacune des trois forces est proportionnelle à la dislance des deux autres.

Si l'une des trois forces est considérée comme la résultante, changée de signe, des deux autres, elle est située entre ces deux forces, quand celles-ci ont le même sens, et au delà de la plus grande de ces deux forces si elles sont de sens contraires.

Les démonstrations analytiques de ces propositions ne diifËrent pas de celles que nous avons données plus haut; il suffît de considérer les a comme les équations normales des directions des forces, équations qui ne didîrent que par le terme constant.

A proprement parler, nous devrions encore traiter ici de la compositions des forces dans le plan h l'infini; mais comme les opérations qui s'y rapportent doivent s'exécuter dans l'espace, nous nous en occuperons dans le chapitre suivant, en même temps que de la composition des forces dans l'espace.