DÉCOMPOSITION D^UNE FORCE EN DEUX COMPOSANTES

dans la pratique ; lorsque les deux directions suivant lesquelles une force doit être décomposée sont données, le cas est tellement simple que nous n'avons pas besoin de le traiter.

Dans la pratique, il arrive fréquemment que Ton connaît la résultante et deux points par lesquels les composantes doivent passer. Supposons, par exemple, qu'on ait à déterminer les réactions des appuis d'une poutre chargée d'un nombre quelconque de forces. Dans ce cas, les composantes doivent passer par deux points déterminés A' et B' {fig, 109); dans celte figure, R est supposée la résultante des forces 1, 2, 3, 4. Si cette résultante R est donnée, on ne peut plus choisir arbitrairement que la direction d'une des deux réactions A et B ; cette direction peut résulter de certaines conditions des appuis : par exemple, quand l'un des deux appuis ne peut réagir que dans une direction déterminée ; c'est ce qui arrive quand une extrémité de la poutre repose sur des rouleaux; la réaction de l'appui correspondant est alors verticale.

Le point d'intersection de cette composante avec la résultante R détermine la direction de l'autre composante ; deux parallèles menées dans le polygone des forces par les extrémités de R (fig. 110) donnent les grandeurs de ces composantes.

Fig. 109. Fig. 110.

;'*\rni ->»■

Z^lé^

Si l'on change les directions de A et de B, on obtient dans le polygone funiculaire (,%. 109) deux faisceaux perspectifs; dans le polygone des forces [fig. 110), les faisceaux A et^B sont aussi perspectifs, parce qu'ils ont le rayon R commun.

I/axe perspectif est parallèle à la ïigne A'B qoi relie les detn appais, car lorsqrue, dans le polygone funiculaire {/ig. 109), les denx forces A el B coïncident avec celle lif^ne, les rayons A el B dans le polygone des forces (fiff. 110] lui sont aussi parallèles. La position de retaxe dans le polrgonc des forées peut, parsuite.ètredéterminée au moyen d'un couple qoelconqne de rayons qni ne coïncident pas. Du reste, (h> peut aussi déterminer directement le point d'intersection de cet are arec R {/ig. liO); car si l'on désigne par a et // tes serments suivant lesqnels R conpe la ligne A' B' [fy. lOH) qui rencontre les deux forces A et B, et par A, et B, les hauteurs de ces deux forées par rapport à cette ligne A'B' Ififf. 110), on aura d'après ce qni a été dit an numéro précédent :

aA, = 6B,, ce qui détermine A, et fi,.

Si l'on choisit, pour déterminer l'axe perspectif (/îj/. 110), le point d'intersection des cAlés extrêmes du polygone funiculaire IJig. 109), qui est uu point de It, il devient inutile de tracer K dans le polygone funiculaire; il suffit de joindre les points A' el B' à ce point d'intersecUou, et de mener sur la fig. ilO des rayons parallèles & ces deux rayons, ce qui donne un point de l'axe cherché. La construction est indiquée sur les deux figures. Enfin, nous ferons remarquer que la ligne Afi qui ferme le Contour du polygone fumiculaire {fig. 109) est parallèle au rayon 0 (AB) ifi0. HO).

Quelquefois, trois forces qui doivent être en équilibre passent par les sommets d'un triangle. Dans ce cas, si on décompose chaque force en deux composantes suivant les directions des eûtes correspondants, les deux composantes dirigées suivant le mSme cAté du triangle devront être égales et de sens contraires. Car si l'on considère le triangle comme un polygone funiculaire fermé, qui réunit les trois forces, chaque composante représente la tension dans le cftté correspondant du polygone.

La taétliods analytique la plus commode pour décomposer une force en deus composantes conaiste à écrire les équations d'équilibre de trois forças; l'une quelconque de cellSB-cl peut alors ^trc considérée comme étant égale et directement opposée à 1b résultante des deux autres. Si les trois farces agissent suivant les lignes a,, o,. o,, il faudra déterminer trois coefflcienta a,, i,, Oj tels que □,a, -t- ofy + n^ ^ 0. Ces coefllciants déterminés, les Torcea correspondantes A. seront proportionnelles à iic,, e. étant le coefflcient qui ramène a, à la force normale. Pour que l'équation ci-desaus puisse être satisfaite, il faut que les trois lignes de direction se coupent au même point.

Si on écrit complètameat las équations a, = oix + i^ -f- c>, catte dtmiàra cfnditHD peut 9'exprimar par le déterminant :

DéCOMPOSITIO» Of*«19B FORCE BK TR9I8 COMPOSANTES. fST

En désignant par des lettres grecques les neuf déterminants mineurs^ on pourra prendre, povr 1« etsÉBoienti fpd annntont la sonone des trois équations a, soit les déterminants mineurs o^, 04, a,, soit Pi, p,, f^ soit enfin yi, fit Ts*

Les forces seront, par suite, déterminées par les équations

A^:e^fft=:A,:flr^,:=:A«:«J^

et Ton Toit que Vune d*elles suffit pour déterminer les deux autres. Les équations peuvent emcore être mises sous la forme suivante :

CMUB6 7j^o>' : Uit n'est antre ohose que le sinus de Pangie t4^ on voit que nous retombons sur la condition qui neiis a servi de point de départ pour la. composition des forces.

Pour ramener au cas précédent le cas où on donne la résultante et un point de chacune des composantes, il suffit de déterminer une expression générale pour l'équation des deux composantes. Soit / l'équation de la ligne qui joint les deux points <ftniaéa A et B (Jig. 109) et r Téquation de la résultante; les équations des parallèlee^ à r menées par les points donnés seront respectivement r^a et r + 6, où a et b représentent les distances constantes comprises entre ces deux parallèles et la résultante R. Les équations des lignes de direction des forces A et B pourront dès lors être représentées par •

— <^ + ('• — û) ff\ /+(;• + b) ak.

Il est clair que ces deux lignes se coupent toujours sur r, quel que soit X, car la somme de leurs équations est rÇa ■\- b)\, où a, 6 et X sont des constantes.

Soient ei et er les coefficients qui ramènent à la forme normale les équations / et r; écrivons complètement les équations des composantes, et calculons les coefficients fa et e^. Nous trouverons en faisant

eiCr COS ûA = — aCr C08 ùfl = ttlbr + «r^ — {(HW -f ^ràl)»^

tfa = + V ^i — 2b\eter cmah'\- 6«X»e»r

^4 =+ V ««1 — Zaketer cos^ + a*\*e^ Les tofrces seraient données par les relations

A lem^h : e6 = R: (<i-t-A)X^; caren aura tmi^ours dans ce cas

5 r = ^ [- /+ (r - a) 6X] + - [/ +(r+ b)aX\.

er Ca Cb

n aaim commode de ae servir de ces formules lorsque les équations des lignes aemat données réellement. Dans oertaina cas^oependant, il seni^ns simpie de Ittre on calcul trigottosnétrique sur les fig» 109 et 110; cela dépend des donnéea. Dams tOBs les css, oe sont les méthodes graphiques qui fournissent les procédés lespkia pratiques.

N TKOIS COMPOSAS! ES

Dans la liécompoaiLion d'une force en deux composantes, la possibilité (le la décomposition est liée.'i ta condition que les directions des trois lorces passent par un même point. Dans la décomposition d'une force en trois composantes, ces forces ne se coupent plus nécessairement en nn même point. Si les trois composantes forment un triangle, une force quelconque située dans le plan du triangle pourra toujours être décomposée suivant les trois directions des côtés.

La théorie des fraraeworks (*) offre un exemple de cette décomposition. Nous supposons, dans la fig. Hi, la section d'une construction.

dans laquelle les forces extérieures sont équilibrées par les compressions ou les tensions de trois éléments de la construction, et nous cherchons à déterminer les forces qui agissent suivant les directions de ces trois éléments, en supposant connue la résultante P des forces extérieures à la section considérée, résultante qui est donnée, construite ou calculée d'une manière quelconque. Dans ce but :

On décompose la résultante P, au point d'intersection de cette résultante avec l'un des trois éléments de la construction, en deux composantes dirigées l'une suivant la direction de ces éléments et l'autre suivant la ligne qui joint ce point d'intersection au point de rencontre des

(') LessystâmoB rigides formés de barreB, dont l'ensemble fornie une sorte de rteean tri&ngulaire que les AllemaaJs désignent sous le □om de fachtaerk, et les Anglais aous le nom de fiwiiework, n'ont psa ds désignation précise en français. Suivant l'exemple donné par U- Maurice Lévy dans ta Slnliiiir gitiphiquf, nous avons adopté la dénomination anglaise.