DECOMPOSITION 0 ONE FORCE EN TROIS COMPOSANTES

deux autres éléments. Puis on décompose cette dernière force suivant la direction des deux derniers éléments et on obtient les forces qui agissent sur chacun d'eux.

Cette règle est générale et s'applique à la décomposition d'une force quelconque en trois composantes, qui doivent agir suivant trois lignes données situées dans un même plan contenant la force. Sur la fig. 414, ces décompositions sont indiquées ; dans cette figure et dans les figures suivantes, Q désigne la tension dans l'élément tendu, R la compression dans l'élément comprimé, et S la force qui agit suivant la contreficbe. La force qui agit suivant la ligne qui joint le point où P rencontre Q au point d'intersection RS, a été désignée par Q|. Si l'on considère la/î^. 414 comme un polygone funiculaire, ce polygone se réduit à la ligne pointillée Qjfàl'unedes extrémités de laquelle agissent les forces P et Q, et à l'autre extrémité de laquelle agissent les forces R et S. La fig. 442 représente le polygone des forces correspondant. En 0 partant du pôle 0, on a porté sur une verticale la force donnée P, et à l'extrémité de P la direction iP de Q; la grandeur de Q est déterminée par la diagonale menée du point 0 parallèlement au côté Q, du polygone funiculaire. Les deux derniers côtés du polygone des forces, ou les forces S et R, sont parallèles aux éléments correspondants de la construction, et sont par suite entièrement déterminés.

On arrive naturellement au même résultat si l'on entreprend la décomposition de P au point d'intersection PR (fig. 111), et si, dans le porig. 113. lygone des forces (fig, 113), on mène par le pôle 0 une

parallèle à R, et par l'extrémité de P une parallèle à R. 11 en résulte que les diagonales R^ dans les fig. 111 et 112 sont parallèles. Géométriquement, il en résulte aussi que, dans les quadrilatères dont les sommets sont les extrémités des deux diagonales Q, et R,, deux côtés opposés sont respectivement parallèles dans les deux

figures.

En changeant l'ordre de composition des forces et en entreprenant la première décomposition au point d'intersection SP [fig. 111), on obtient Fig. 114. aussi les dispositions des fig. 113 et 114 pour le poly-

gone des forces. On a le choix entre ces trois dispositions (fig. 111, 113 et 114) du plan des forces. Nous choisissons d'habitude la disposition de la fig. 412, quand toutes les forces, et par suite aussi les tensions et les pressions Q et R dans les longerons, sont à dé-

lenainer. Cepeadant, quand les forres snnt déjà donoées par une anta'ti construcUon el qu'il suffit de détermioer la force S qui agit suivant Is contre-fiche, nous choisissons les dispositions des /Si/. 14-3 el H*. D'hsbitude, nous pouvons, dans de pareils cas, laisser de cùlé les forces R et Q el limiter le polygone des forces au triangle PSS,.

Dan^ la décomposition d'une force en deux conipusantes, le polygone des forces est toujours semblable au polygone funiculaire, c'est-Jt-dire à la figure que dcui des éléments donnés de la constnicUon forment avec la force qu'elles doivent équilibrer, car ces poK^oncs se réduisent k des triangles qui ont leurs côtés parallèles. Pour les quadrilatères, il n'en e&l plus nécessairement ainsi, comme le montre la comparaison de la fi^. Itl Hv«c les ligures suivantes: dans la /ig. III , par exemple, l'ange RS est aigu; daus la fig. 112 il est obtus, et ainsi de suite. L.» fliïei'sité des deux Qgures peut être mise en éndence, dune façon plus Kilt- II.'- nette encore, en dessinant,

entre deux eûtes opposés Q et H {/if/. HS) reliés par un troisième c6té S, deux figures semblables, l'une au polygone funiculaire delà /ig. lil (celle de gauche 1, et l'autre au polygone des J'orces de la fiff. \^î (celle de droite). On peut montrer de la même manière la relation îles ^^.113 et 114 avec la /î^ 111.

Pour que le polygone funiculaire et le polygone des forces soient Fig. n«. semblables, il faut que deux côtés

H ^ opposés du polygone des forces

- ! soientparallèles. La/f^.llôdonne f\ un exemple de cette similitude

^ pour le cas de longerons paral-

~5 ïl" lèles, et la fig. 117 pour le cas où

l'une des barres qui réunit les deux longerons, S par exemple, est

parallèle à la force P. Il résulte également de ces figures que, dans le

Fig. UT. polygone fumiculaire, c'est-à-dire

dans la figure qui représente la

construction et sur laquelle on a

•-^ 9* ' "nRi ,!^' aussi indiqué la force, les forces

qui agissent suivant les éléments

parallèles de la construcUon sont

dans le rapport inverse de leurs

longueurs, et que celles qui agis-

DÉCOMPOSITION MBt FOACIft £11 TE9iS COMPOSANTES. iSI

t les parties ofaiiqoes sont dans le rapport direct de leurs

D CB vfisuite que :

Dmm te a» de hm/Êtom fÊrallM»^ la f^rce qui êgii tmivQtU iMie emUre'^ âeàe^ eUàlm vémlfânfe ém fmrt» afù$tt»U en dehors de eeiie cotUre-fichej fa imiijMWw de cette^i ett Ha Umgueur du »egmemt ùUereepté sur la de ia fanée par les kmfer<ms faraUèks,

On peut encore s*exprimer plus simplement, et dire : Ja cmapêeanie verticale de la force agissant suivant la contre-fiche est égale à la somme des forces qui agissent en dehors de cette contre-fiche. Mais cette proposition n'est vraie dans ces termes que pour des frameworks ayant des longerons horizontaux; lorsque les longerons sont inclinés, la deuxième composante ne doit pas être prise horizontale, mais parallèle aux longerons. S'il existe dans le Framework des pièces verticales établissant la iîaison entre les longerons, oonme par exemple les poinçons dans les ponts du système Howe ou les montants dans divers systèmes de ponts métalliques, ces pièces n'auront à résister qu'à la somme des forces extérieures.

Si ces contre-fiches ou ces poinçons sont tous parallèles, les forces qui agissent suivant œs pièces sont proportionnelles à P et changent dans le même rapport.

La détermination des forces qui agissent sur les divers éléments d'un framework, telle que nous venons de l'exposer, est applicable tant que P tombe dans l'étendue de la feuille de dessm. Si P tombe en dehors de la feuille, on peut déterminer Q et R en divisant le moment de P par rapport aux points RS et QS par le bras de levier de chacune des forces Q et R par rapport aux mêmes points. P étant en effet la résultante de QRS, le moment de P par rapport à un point quelconque du plan est égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point. Si l'on choisit ce point à rinlersection de leurs composantes, le moment de celles-ci sera égal à 0, et par suite le moment de P par rapport à ce point d'intersection sera égal à celui de la 3' coflBtposaaie.

Si Ton désigne, pour exprimer cette relation d'une manière générale, par bqrs (nous écrivons b au lieu de/>, parce que nous réser^'ons la lettre p poor désigner les charges réparties sur l'unité de longueur) les perpendîculaires abaissées d'un point quelconque sur ces quatre forces l'égalité des moments conduit à la relation :

P6 = Qy + Rr+S«.

Si le point par rapport auquel on détermine le moment est le point

IM COUI>nSITtON DES FDIICES.

de rencontre de deux forces, les perpendiculaire^ abaissées de ce poïnl sur ces deux forces soûl nulles, et la relation d'égalité des mouvements se réduit à deux termes. Pour éviter toute ambiguïté, nous afiecterons I;i perpendiculaire qui intervient dans chaque terme d'un indice qui sera la lettre représentant la force contenue dans l'autre terme. Ainsi, si 6, est la perpendiculaire abaissée du point de rencontre des forces H et S sur la direction de la force P, et q^ celle qui est abaissée des mêmes points sur Q, ou a:

De la mArne manière,

P*, = Qî*-

Dans la fig. 118, ooui aTons tracé toutes les peqmidicuUiNs possi-

bles. On voit qu'il y en a douze ; elles sont trois par trois perpendiculaires £1 chacune des quatre lignes PQRS, et en outre elles se coupent, trois par trois, au point de rencontre de chacun des quatre triangles que l'on peut former avec les quatre directions des forces. Toutes les perpendiculaires qui sont normales à une même direction sont désignées par la même lettre, et toutes celles qui se coupent au point de rencontre des hauteurs d'un môme triangle portent le même indice.

Dans le tracé des polygones funiculaires, il convient de remplacer les indices par les numéros des points de rencontre des barres du framevvork. points que l'on appelle des nœuds.

DÉGOaiPOSITlON DES FORCES EN TROIS COMPOSANTES. 193

Les perpendiculaires peuvent ôtre soit mesurées sur Tépure, soit calculées, et elles permettent, étant donnée une des quatre forces, par exemple B, de déterminer les trois autres.

Si on élimine P dans les trois équations ci-dessus, on obtient trois autres équations entre les trois forces Q, R, S.

C'est de cette manière que M* le professeur Ritter, de Hanovre, a établi sa théorie pour le calcul des fermes et des ponts métalliques.

Sans examiner si cette méthode conduit plus rapidement au but que la décomposition directe de P et la construction graphique des composantes, on peut dire qu'elle montre d'une façon très claire dans quelle direction chacune des trois forces Q, R, S agit. A chaque sommet du triangle formé par ces forces [fig. 111, p. 188), on a indiqué par une flèche dans quel sens la force P tourne autour de ce sommet, et il est clair que la composante opposée à ce sommet doit tourner autour de lui dans le môme sens, ce qui détermine si la barre correspondante du système est tendue ou comprimée.

On le sait à priori pour les deux longerons ; mais, pour savoir si une contre-fiche est tendue ou comprimée, il faut toujours avoir égard au sens suivant lequel P tourne autour du point QR. Si, par exemple, P, représentait, dans la fig. 111, la résultante des forces extérieures à la seclion considérée, cette résultante agirait, par rapport au point QR, dans une direction opposée à celle de P; S agirait par suite aussi dans un sens opposé, et la contre-fiche serait soumise à une tension au lieu d'une compression.

1^ contre-fiche serait également tendue si elle était dirigée suivant l'autre diagonale du trapèze formé par les longerons et par la tige précédente et la tige suivante, comme l'indiquent les flèches de la fig, 119.

Tant que la position relative de P par rapport au point QR ne change pas, les tiges qui relient les deux longerons sont alteiiiativement tendues et comprimées.

Si la direction de P passe par ce point, la contre-fiche correspondante n'est ni tendue ni comprimée.

Enfin si P passe de l'autre côté du point QR, en P, (fig. 111), il y a, comme nous venons de le voir, interversion dans l'ordre de succession des tiges alternativement tendues et comprimées.

Dans les framev^'orks à longerons parallèles, le point QR est à l'infini; par suite, la force P a, par rapport à ce point, toujours la position indiquée par la fig. 119, et, comme nous le ferons encore ressortir plus tard, toutes les tiges qui vont en descendant (à partir d'une extrémité) sont tendues.

Dans les cbarpenjtes anglaises, c'est le contraire qui a lieu ; la résultante P

181 CnUPOSITION DES FORCES.

est toujours eu deçà du point Qll, parce que les longerons se coupent au delà de l'appui. La résultante a par suitu toujours la position indiquée par P dans la fig. iH ; elle tourne dans un sens opposé à ctilui qu'elle avait dans le cas d'un framework à longerons parallèles, et les tiges descendantes sont soumises à des compressions.

Dans les Frameworks formés difTéremment, on ne peut nen dire do précis sur le sens des elTorts qui agissent dans les tiges reliant les longerons.

Si les deux longerons Q et R sont parallèles, q^ devient égal à r,el égal à la distance normale des deux longerons. Les forces sont, dans ce cas, égales aux moments de la force P par rapport aux extrémités de la contre-Bchc, divisés par la hauteur constante de la construction.

Dans le cas de longerons non parallèles, si S est parallèle à P, b, et s, sont proportinnnels aux distances du point d'intersection Qll à I' et à S. Par suite, pour déduire S de P, on n'aura qu'à porter P sur la direction de S, et on joindra ensuite les extrémités de la longueur ainsi portée au point yB, ou plus généralement à un point quelconque situé sur une parallèle menée par QR à la direction commune à P et S. Le segment intercepté sur P représentera S. Ceci résulte d'ailleurs de ce que P et S soDten raison inverse des longueurs des cfttés correspondants du polygone funiculaire, ainsi que nous l'avons vu page 191.

Pour décomposer analytique in eut une force i^uivant les directions de trois droites données, nous nous appuierons sur la proposition suivante de la géométrie analytique : l'équation ai d'une droite quelcontiue dans le plan peut ^tre représentée au moyen des équations a,, a,, Oi de trois auvea droites données ne passant pas par le même point, de telle sorte que l'on ait: A.n, =A|i, +Atai+ A^j; Ai, A„ A^ otA( étant les déterminants dea coellloients des équations ni, a,, n^ et Oy Pour traduire cette proposition dans la statique, nous n'avons qu'à considérer les coefficients A, . A,, A,, A| comme des forces, et nous dirons: tau foret qxtelconque peut éhx décompotie suivant Iroù directions lituées dam le même plan et ne se coupant pat au ntéme

Les formules prennent une fbrme parfaitement symétrique si no s mons les

conditions d'équilibre des quatre forces, Bavoir :

CENTRE HES forces FARALLÈLES.

Ai«t Ajûj Aga, A4<7i

AiC,

1 + fl!ï! 4- IIO 4-

A^Cj

On en déduit immédiatement les rapports des grandeurs des quatre forces Al A, A, A4

«IÛ8Û4

CjCA

C\CiPk

CiC,C4

<^lCî<^8

Ces équations permettent, étant données une des forces et les quatre lig;nes d'application de déterminer les grandeurs des trois autres forces.

Si on substitue successivement dans les trois équations précédentes les coordonnées des sommets du triangle formé par les forces Q, K, S, on obtient les trois équations

de la page 192, qui nous ont send de point de départ, car n est autre chose que

la perpendiculaire abaissée du sommet considéré sur la ligne ai.

COMPOSITION DES FtlTlCES.