CHAPITRE II. — MÉTHODE DES POINTS DE FUITE

pour l'œil. En effet, nous sommes beaucoup plus sensibles à un défaut de direction qu’à une erreur sur la longueur d’une droite; et si deux arêtes d’un polyèdre, que nous sentons devoir converger dans un certain sens, convergent en sens contraire ou sont parallèles, ce défaut ne manquera pas de frapper désagréablement l’œil le moins exercé. Il est donc plus avantageux d’employer, toutes les fois que cela est praticable, la trace T' et le point de fuite F qui déterminent sûrement la direction même de la perspective cherchée A'B'.

271. [Fig. 8.) Des droites horizontales situées hors du géomélral. Une telle droite sera définie en donnant sa projection AB sur ce plan, et sa hauteur h au-dessus de ce même plan; et comme elle sera nécessairement parallèle à sa projection AB, on mènera encore par l’œil rabattu en O' sur la verticale du tableau, une droite O' F parallèle à AB. etF sera ainsi (n°265) le point de fuite de la droite proposée. Ensuite, on prolongera AB jusqu’en T, qui sera seulement la projection de la trace de la droite proposée ; mais cette trace devant être évidemment sur la verticale T, et à une hauteur h, on prendra sur le tableau la verticale T' T" = h , et T" F sera la perspective de la droite originale qui était projetée sur AB.

272. Maintenant, pour trouver la perspective d’un point particulier de cette droite, tel que celui qui est projeté en A ou en B, il suffira de tracer sur le tableau la ligne de terre X"Y"à la hauteur h au-dessus de la base X'Y', et de répéter sur cette ligne de terre toutes les opérations que nous avons effectuées précédemment sur XY, par rapport aux points A et B du géométral; car tout ce qui a été dit de ce plan aux nos 265, 266, 270, demeure vrai pour tout autre plan horizontal, avec le soin de changer la ligne de terre. Ainsi, par exemple, on concevra par le point de la droite projeté en A, une horizontale inclinée à 45° sur le tableau, laquelle étant projetée sur AC, viendra percer le tableau au point (C, C"); et comme son point de fuite est encore en D (n° 261), sa perspective sera C"D, qui coupera T"F au point A", perspective du point projeté en A. De même, par le point de la droite originale qui est projeté en B, on concevra la corde horizontale projetée sur BL, et dont la trace sera ici (L, L"), tandis que son point de fuite sera toujours en 0" (n° 269) : ainsi cette corde aura pour perspective L"0" qui coupera T" F en B", perspective du point projeté en B.

275. (Fig. 8.) Mais ces constructions se simplifieront, si l’on a eu déjà besoin de construire la perspective A'B' de la droite AB située sur le géométral même, comme dans le cas où il s’agirait des côtés correspondants sur les bases inférieure et supérieure d’un prisme vertical; car alors, les points inférieurs A' et B' étant déjà connus sur le tableau, il suffirait d’élever les verticales A'A 'etB'B" qui, en coupant T" F, détermineraient les perspectives A" et B" des sommets supérieurs. Gela est fondé sur ce que les arêtes verticales du prisme étant des droites parallèles au tableau, elles doivent rester verticales en perspective (n°256), et conséquemmentelles sont représentées sur ce tableau par les droites A' A" etB'B".

274. On voit ici que ces arêtes verticales qui ont la même hauteur absolue/?, n’ont pas la même grandeur en perspective; elles diminuent à mesure qu’elles s’é-

92 LIVRE II. — PERSPECTIVE LINEAIRE

loignent derrière le tableau, et les deux droites T' F et T"F forment une échelle de dégradation qui peut servir à trouver, pour toutes les verticales égales à T' T" = h, quelles grandeurs elles doivent avoir en perspective, à raison du plan de front dans lequel elles sont situées : on appelle ainsi tout plan parallèle au tableau.

{Fig. 8.) Par exemple, soit une verticale égale à A, et projetée en Msur le géométral. Après avoir construit la perspective M' du point M, par un des moyens précédents, jetire l’horizontale M' N'. qui représente bien sur le tableau (n° 256) la trace MN du plan de front où est située la verticale M. Ensuite, si l’on imagine que cette dernière droite soit transportée parallèlement jusqu’en N, elle se trouvera alors comprise entre les deux horizontales projetées sur AB, et qui ont pour perspectives T' F et T"F; donc N' N" sera la perspective de la verticale A projetée en N, et c’est aussi la grandeur qu’il faut donner à la perspective WW de la verticale A projetée en M. Cette conséquence est fondée sur ce que ces deux verticales de même longueur étant situées dans le même plan de front, leurs perspectives N' N" et M'M" doivent être égales, comme nous allons le démontrer en généralisant ce théorème de la manière suivante.

275. {Pl. \ 8, fig. /j.) Lorsque deux droites AB et CD, égales en longueur, sont situées dans un même plan de front LMN, leurs perspectives A' B' et C'D' sont égales entre elles, quelle que soit la direction des lignes originales. En effet, puisque le plan LMN est parallèle au tableau YXY, ce dernier plan coupera les triangles OAB et CCD formés par les rayons visuels, suivant des droites A'B' et C'D' respectivement parallèles aux bases; ainsi le rapport de AB avec sa perspective A'B' égalera le rapport des rayons visuels OA et O' A', ou bien celui des perpendiculaires OP et OP' abaissées de l’œil sur les deux plans : donc on aura