CHAPITRE V. — MÉTHODE GENERALE DE PERSPECTIVE

de (B, B'), les sections vont prendre des formes analogues à celles des fig. 4, 5, 6, et le rayon visuel y occupera les positions indiquées par les droites i , -a, 3 (*). Le point de section a va donc en se rapprochant de plus en plus de M, et il y aura une position 4 où ces deux points étant confondus, le rayon visuel aura un» contact du second ordre avec la section, en la touchant dans son point d’inflexion. Or je dis que cette circonstance arrivera précisément au point (B, B') ; car nous avons démontré au n" 450 que, dans ce point singulier, le rayon visuel avait un contact du second ordre avec la surface de révolution, et conséquemment avec la section verticale correspondante. 11 est donc prouvé par là que la branche d’intersection GaB se réunit avec la ligne de contact AMB, précisément au point (B, B').

469. Lorsque le point de contact du rayon visuel sera parvenu entre (B, B') et (E, E'), les rayons visuels prendront les positions 5, 6, 7, dans lesquelles le point M est entre les deux points de section, ce qui rendra M invisible pour le spectateur placé en (0, 0'), et justifie la manière dont nous avons ponctué les arcs A2B2 et B2D2E2 sur la perspective de la /Y. 25. Il est bon d’observer ici que, dans la position 6 où le point M est arrivé en (D, D') sur le tore, le rayon visuel 11e sera plus en général tangent à la section verticale OD, parce que le plan de cette section se confondant alors avec le plan tangent du tore en (D, I)'), on ne peut plus rien conclure de précis sur leur intersection, qui doit être ordinairement la tangente de la courbe d’intersection.

470. Quand le point M approche de E, le point de section § se rapproche aussi de M, et il y aura une position 8 analogue à 4> pour laquelle les points § et M étant réunis, le rayon visuel aura un contact du second ordre avec la section. Cette circonstance arrivera précisément au point (E, E'), d’après ce que nous avons démontré au n° 450; conséquemment la branche d’intersection QëRE ira passer précisément par le point E.

471. Enfin, quand le point de contact du rayon visuel aura dépassé le point (E, E'), les rayons visuels prendront les positions successives 9, 10, 11, dans lesquelles le point M se trouvera au delà des deux points de section a et §, double cause qui rendra M invisible pour le spectateur placé en (0, 0'); et cela justifie le mode de ponctuation employé pour l’arc E2 F2 e2 sur la perspective de la PL 25.

472. (PI. 23, fig. 1 .) D’après cette discussion, si l’on réunit par un trait continu la série des points analogues à a, obtenus dans les divers plans verticaux tels que OM; puis, par un autre trait continu, la série des points analogues à ê, en observant d’ailleurs que le même plan vertical OMM2 contient deux rayons visuels dont l’un (OM, O'M') perce le tore en a et (S, tandis que l’autre (0M2, 0'M'2) traverse cette surface en a2 et ê2, on trouvera que le cône des rayons visuels, circonscrit à

(* ) Nous devons prévenir le lecteur que nous avons altéré beaucoup la direction des rayons visuels dans les fig . 4, 5, 6, afin de n’ètre pas obligé de construire plusieurs sections de formes analogues, mais inégales; car leurs dimensions varient avec la position du plan vertical OM. D’ailleurs nous avons voulu rendre plus sensible la distinction entre les points de section et les points de contact; mais cela n’influe aucunement sur les conséquences que nous en avons tirées.

Stéréotomie Leroy.

I 5/j LIVRE II. — PERSPECTIVE LINEAIRE.

la nappe intérieure du tore, coupe cette surface suivant les deux courbes

(GaBHa2KA6G, GVB'H'K') et (QêREê2PcrQ, Q'ê'R'E'P').

Afin de mieux faire apercevoir la forme singulière de ce cône circonscrit, nous avons construit sa trace horizontale STVUe/, laquelle offre quatre points de rebroussement, comme cela était déjà arrivé pour la perspective de la Pl. 25.

475. Pour tracer avec exactitude les courbes précédentes, il est utile de savoir trouver leurs tangentes, surtout dans les points de rebroussement. Pour le point T le plan tangent du cône étant le même qu’au point (B, B') où cette surface touche le tore, il suffira de chercher la trace horizontale <pT du plan tangent à cette surface de révolution dans le point (B, B'), et cette droite çpT sera aussi la trace du plan tangent au cône tout le long de la génératrice (OBT, O'B'T); par conséquent, ce sera la tangente au point T de la courbe STVU.

Quant au point (R, R') de la courbe d’intersection, la tangente s’obtiendra en combinant le plan tangent du tore au point (R, R'), lequel a pour trace <j >0, avec le plan tangent du cône le long de la génératrice (OR, O' R'); or nous venons de voir que ce dernier plan avait pour trace la droite T<p qui est rencontrée par ^0 au point 6; donc (0R, 0' R') est la tangente à la courbe d’intersection.

Pour le point (H, H') on agira d’une manière semblable, en combinant le plan tangent du tore (H, H') avec le plan tangent du cône le long de la génératrice (OHE, O'H'E'); or ce dernier coïncide avec le plan tangent du tore dans le point (E, E'), et par conséquent il est facile de trouver sa trace horizontale par la méthode ordinaire. Observons que cette dernière trace sera la tangente au point de rebroussement Y de la courbe STVU.

474. Quant à la courbe de contact (ABDE. . . , A'B'D' . ), sa tangente en un

point quelconque ne pourrait plus s’obtenir par la combinaison des plans tangents du tore et du cône circonscrit, puisque ceux-ci coïncident pour tous les points de tette ligne de contact; mais on pourrait y parvenir en s’appuyant sur la relation citée au n° 448, entre la génératrice du cône et la tangente à la courbe de contact; et pour cela il faudrait construire l’hyperboloïde osculateur du tore, dans le point considéré, comme nous l’avons fait au n° 449.

La même ressource pourrait être employée à trouver la tangente de la ligne de contact de deux surfaces quelconques, pourvu qu’une d’entre elles fût développable; car le théorème du n° 448 est encore vrai dans ce cas général (G. D. , n° 758).

475. La fig. 2 (PL 23) présente aussi les lignes de contact et les lignes d’intersection d’un tore avec un cône circonscrit à la nappe intérieure, mais dans le cas où le rayon visuel (OA, O' A') est assez incliné pour ne pas rencontrer la partie la plus éloignée du tore, de sorte que la vue plonge dans l’intérieur du noyau vide. Alors la trace horizontale du cône est une courbe STVUe/S dont les deux branches supérieure et inférieure se croisent aux points w et n; et les deux branches d’intersection BaG, RëQ, de la fig. i , viennent ici se réunir en une seule branche RQB sur la fig. 2. Semblablement les deux branches DëaP et HaaK de la Jig. i se réu-