LIVRE IV. — COUPE DES PIERRES

672. Courbe limite. Au lieu d’employer à posteriori la vérification du n° 067, laquelle peut conduire à la nécessité de changer les données primitives, on aurait pu chercher, dès le commencement du n° 665, une limite au-dessus de laquelle il serait certain que le vantail tournerait librement sous la voûte. A cet effet, imaginons la surface de révolution qui serait décrite autour de la verticale (CL, C') par le cercle de feuillure (CY, C'Y') (PL l\o,Jîg. 1), lequel surpasse toujours un peu le vantail, et coupons cette surface par divers plans qui soient normaux à ce cercle de feuillure, tels que MOO'. La trace verticale MO de ce plan rencontre les divers parallèles aux points a, S, 7, qui étant projetés horizontalement en a', ê', 7', donneront la projection M'a' S' 7' de la section faite par ce plan dans le tore; puis, du point (M, M') nous mènerons à cette courbe la tangente (M'P\ MP) qui va percer le plan de tête E'F' au point (P, P'). De même, le plan normal NOO' produira la section N'd*' à laquelle nous tirerons la tangente (N'Q', NQ) qui ira percer le plan de tète en(Q, Q'); mais auparavant cette tangente aura rencontré la face d’ébrasement C'E' au point (R, R'). Quand on sera parvenu au plan normal TOO' qui touche le tore en T, la section S' U 'T' n’offrira plue d’inflexion qui permette de lui mener une tangente issue du pointS; alors on se contentera de tirer la sécante S' U' qui passe par le point U' où cette section rencontrait la face d’ébrasement C'E'; et même nous aurions pu en faire autant pour la section N'(?' qui allait percer la face d’ébrasement avant le point de contact de la tangente N'Q'. En continuant ainsi, nous obtiendrons les courbes CURs et YPe suivant lesquelles la face d’ébrasement et celle de tête sont coupées par la surface gauche qui a pour génératrices (MP, M'P'), (NR, N'R'),...; or, comme ces génératrices ont été rendues tangentes et supérieures au tore décrit par le cercle de feuillure, et que les autres, comme (SU, S'U'), ne vont pas couper ce tore avant la face d’ébrasement, il s’ensuit d’une manière certaine que le vantail pourra librement achever sa course au-dessous de cette surface gauche. Donc le contour CRsPY présente une limite inférieure qui ne doit pas être dépassée par la

naissance de trois points A, E, F, de cet arc. Avec deux règles de bois réunies fixement par une traverse, on compose un angle égal à EAF [fig. 3, PI, 3g); puis, en Taisant glisser cet angle de manière que sescôtés s’appuient constamment sur deux clous fixés en E et F, le sommet A qu’on a eu soin de garnir d’un,e pointe en dessous, décrira une courbe qui sera évidemment l’arc de cercle demandé.

On peut aussi construire cet arc par points, de la manière suivante. Après avoir tiré les droites EAet FA (fig. 4), on décrit avec des rayons égaux El et FI', deux arcs de cercle; sur le premier, à partir du point a et tant au-dessous qu’au-dessus, on marque des divisions arbitraires a6, ay, 7$,..., qui peuvent être prises égales entre elles, et on les reporte en sens contraire sur le second cercle, à partir du point a'; c'est-à-dire que l’on prend a'6'— a6, ci'fi = uy, 7 '§'= 7 S,.... Alors, les droites E6 et F6', E7 et F7', E$ et F£',... iront se couper deux à deux en des points B, C, D, qui appartiendront à l’arc de cercle EAF , car, dans tous les triangles ainsi formés sur la base EF, la somme des angles adjacents à cette base est la même que dans le triangle EAF, et conséquemment l’angle au sommet est toujours égal à EAF.

S’il était besoin, comme dans l’épure actuelle, de mener une tangente au point A de l’arc EAF (fig. 3 ) dont on ne connaît pas le centre, on prendrait deux portions égales AF et AD; puis, en décrivant avec un même rayon deux arcs de cercle ayant pour centres F et D, ces tires se couperaient au point R qui détermine le rayon RA et par suite la tangente en A. Si c’est à l’extrémité F qu’il faut mener la tangente, on construira le triangle AR'F égal à DRA, et le côté R' F suffira pour tracer la tangente qui lui est perpendiculaire.