DES COURBES A PLUSIEURS CENTRES (N
979. [PL Jo.) On appelle anse de panier on courbe à trois centres , une
ligne formée avec trois arcs de cercle AM, MBm, raD, qui sont tangents deux à deux, et dont les centres doivent être placés sur les axes OA et OB assignés par la question, afin que la tangente soit verticale à la naissance A ou D, et horizontale à la clef. Dès lors, en posant
OA — a, OB == b, CA = r, C'B — B-
le triangle COC' fournira, entre les inconnues B et r , la relation unique
(.) (R r)* = (R J)» + (a - r)°, ou R = ?■’ ^frr)°r’
laquelle permet de prendre à volonté un des rayons, et fournirait une infinité de solutions, si l’on ne s’imposait pas quelque autre condition propre à donner au cintre une forme gracieuse et plus continue.
980. Première méthode. Ordinairement on veut que l’arc AM de la naissance soit de 6o°; et par suite le triangle isocèle CC'c devient équilatéral, ce qui rend aussi l’arc MBm de 6o°. Alors, si l’on pose
OC — x, d’où r = a — x et R = a x,
l’équation ( i ) deviendra
(2) d’où x — a^b + v/3.
On verra bien pourquoi nous rejetons ici la valeur négative de x; et quant à la valeur (2), elle peut se construire comme il suit. On prendra OF = a — b et OG = \ OF : on décrira sur GF, comme diamètre, une demi-circonférence qui coupera l’axe vertical au point H; et la corde GH étant reportée de G en C, donnera OC pour la valeur de x. Alors on formera sur AC un triangle équilatéral AMC, dont le côté MC prolongé ira déterminer le centre C' et le rayon C'M de l’arc de la clef.
981 . Remarque. Quelques auteurs ont donné une règle plus courte, mais qui est simplement une approximation , bonne pour des cintres de très-petites dimensions ou pour des moulures d’architecture; c’est d’ajouter à la distance OF = a — b le tiers de cette longueur, parce que Oc égale à peu près f [a — b). En effet, on a
\/3 = = f à 0,06 près;
donc x=a (1 -t- \/3) — [a — b),
valeur qui sera trop petite d’environ o,o3 de la différence {a — b.)
2e Procédé. On construit sur OA le triangle équilatéral OAG et du point 0 comme
NOIES
centre, avec OR comme rayon, on décrit l’arc de cercle B&. Par le point m où la g droite B b vient rencontrer AG, on mène mC parallèle à OG. Cette
dernière droite rencontre les axes OA et OB aux points C ctC' qui sont les centres cherchés.
En effet on a
Mais
* = OC = Gm = G6 x
G b = a — b, sin 45° = \[\, sin 75° = sin (3o° -+- 45°) = | s]\ + \!\ X sjj ;
donc
^fi+fixfi
fi
= (a-b)[l±Æj
ce qui vérifie la construction.
982. Deuxième méthode. Si l’on veut que îc rapport des rayons R et rapproche le plus possible de l’unité, ou bien soir minimum, on tirera de l’équation ( 1 ),
■ lur
r ~ 2 (br — r3)
puis, en égalant à zéro la différentielle de cette expression, on aura
ar- — (a2 -t- &a) r -+- \ b (a* b2) = o,
formule qui, combinée avec l’équation ( 1 ), conduira aux valeurs suivantes
da* -\-b 7
n s/a’-tb7
-hb7 — (a-
Nous avons négligé l’une des valeurs r, parce qu’elle aurait donné r > b, et par suite R < a, de sorte qu’alors les deux cercles 11e se raccorderaient qu’au delà de la clef, ce qui ne saurait convenir à une voûte; et d’ailleurs la forme, quoique compliquée en apparence, sous laquelle nous avons écrit les valeurs (3) et (4), permet de les construire graphiquement d’une manière très-simple. (P/. 34, fig. 11.) En effet, après avoir tiré la corde AB, on en retranchera la quantité BE égale à la différence a — b-, puis, sur le milieu F du reste AE, on élèvera une perpendiculaire FCC' qui déterminera les rentres C et C' des deux arcs AM et MB. Cette construction se justifie en observant d abord que
sja* -H b 7 — (a — b)
