BC' = BF
BO
qui sont bien les valeurs de r et R dans les formules ( 3 ) et ( 4 ) •
Cette construction élégante est indiquée dans le Traité de la construction des ponts par Gauthey, vol. I, page 248; seulement, les valeurs des rayons R et r y sont écrites sous une forme qui 11e s’adapte pas immédiatement à la solution graphique
NOTES
que l’on cite. C’est là, sans doute, ce qui a fait dire à M. Audoy, dans son excellent
Mémoire sur la poussée des voûtes, inséréau n° !\ d u Mémorial du Génie, quelesformules
de Gauthey étaient fausses; cependant elles sont exactes, et il suffit de multiplier le
numérateur et le dénominateur par un certain facteur, pour les rendre identiques
avec les nôtres qui sont celles de M. Audoy. Mais ce dernier a eu raison de faire
observer que la solution précédente ne rend pas les rayons aussi peu différents qu’il
est possible, et nous allons rapporter la solution qu’il donne de ce cas.
985. Troisième méthode. Si l’on voulait que la différence des rayons R et /"fût un
minimum, on tirerait de l’équation (1)
-p, a? + b1 — 2 ar
R — r — - TT - 1 - r,
et en égalant à zéro la différentielle de cette expression, on trouverait
r1 — ihr + hé — — - — ,
équation qui, combinée avec la formule (1), conduit à
(5) r—h — \ [a — b) \fï,
Nous rejetons celle des valeurs de r qui donnerait r > R, parce qu’alors les deux cercles ne se raccordaient qu’au delà de la clef; et pour construire les expressions (5) et (6), on prendra OE = OF = (a — b), on tirera EF dont la moitié El devra être portée de E en C et de F en C\ ce qui fournira les deux centres et les rayons CA et C'CM.
984. Mais, dans la fig. >2 , PL 34, le cintre est trop pointu vers la naissance, parce que l’arc AM n’est que de /t5°, tandis que dans la fig. 1 1 le point de raccordement M est plus élevé ; et il l’est encore davantage dans la fig 10 où l’arc AM = 6o°, et où les rayons R et r sont plus grands. Aussi, presque toujours on emploie la première solution {fig- 10), surtout pour les arches des ponts qui exigent que la voûte ait une grande capacité intérieure; et c’est ce motif qui fait souvent préférer l’anse de panier à l’ellipse dont les demi-axes seraient OA et OB, parce que cette dernière courbe serait généralement en dedans du cintre AMB. En effet, si l’on compare les rayons de courbure de l’ellipse en A et B avec les valeurs des rayons r et R données par la formule (2), savoir :
on vérifiera aisément que l’on a
p < r et p' < R, tant que — > jî
or, quand le surbaissement est au-dessous de on emploie plus de trois centres.
985. [Pi. 34, fig. i3.) Anse de panier à 5 centres. Lorsque la hauteur sous clef OB est moindre que le tiers de l’ouverture AOD, on emploie cinq centres, afin de rendre moins sensible le changement de courbure aux points de raccordement. Soient C, C', C", les trois centres du demi-cintre situé à gauche, centres dont le premier doit toujours être sur le diamètre horizontal AO et le dernier sur la verticale
NOTES
BO: posons d’ailleurs
CA = CL = r, C'L = C'M = r', C"M = C"B = R.
La question resterait encore indéterminée, même après avoir choisi arbitrairement les rayons extrêmes AC et BC", ce qui fixe les centres C et C"; car, pour trouver le rayon intermédiaire et son centre, on n’aurait que les deux relations
CC' - r' - r, C"C = R - r' entre trois inconnues; ou bien, l’équation unique
CC' -4- C'C" = R - r
entre les deux distances variables CC' et C'C", ce qui montre que le centre C' pourra se construire comme chaque point d’une ellipse dont les foyers seraient C et C", et dont le grand axe égalerait B — r. Seulement, il faudrait que les données R et r satisfissent à la condition
CC' h- C'C" > CC"
ou (R — r)2 > [a — r)* -4- (R — L>)-;
et puis, on ne devrait admettre, pour la position du centre C', que les points de l’ellipse qui seraient situés dans l’intérieur du triangle COC".
986. Mais, pour faire cesser cette indétermination et donner au cintre une forme gracieuse, l’usage est d’adopter les conventions suivantes, sans choisir arbitrairement aucun des trois rayons.
On veut : i° que OC" = 3. OC, ou R — 6 =3 (a — r);
a° Que le point E où le rayon LCC' va couper le diamètre vertical, soit au milieu de OC", c’est-à-dire que OE = |OC";
3° Que le point D où le rayon MC' C" va couper le diamètre' horizontal, soit au tiers de OC, c’est-a-dire que CD = | CO.
Alors, si l’on exprime ces trois conditions en fonction de R, r, r', on pourra en déduire une équation du second degré en R, laquelle déterminera ce rayon et par suite les autres retr; mais comme cette équation est trop compliquée pour que l’usage en soit commode, on y substitue le procédé suivant.
987. Après avoir choisi a volonté un rayon Ay, on prend Oy"= 3.0y, et l’on joint le point y avec le milieu s de Oy", ce qui déterminerait le premier arc Al. Ensuite, on prend yâ = |Oy; et la droite ày" va couper ys en un point y' qui est le centre d’un second arc Xp, avec lequel se raccorderait l’arc pë que l’on tracerait du rayon y "p; mais par là, on obtiendrait un cintre dont la hauteur Oê ne serait pas celle qui est assignée par la question. Toutefois, comme le polygone Oyy'y'est évidemment semblable au polygone inconnu OCC'C", si l’on pose
OC = x, OC" =~ y, CC' -4- C' C" = z,
Oy — p, Oy" = q, yy' -+- y' y" = 5 ,
on aura les relations du premier degré,
Stéréotomie Leroy.
NOTES
d’où, en éliminant z, on déduit
p -+- q — s’ ^ p -+- q — s 1 valeurs faciles a calculer, ou à construire graphiquement, puisque les lignes p, q, s, sont connues par l’essai qui a été fait. Il est même à remarquer qu’ici q = ‘5p; mais nous avons voulu écrire les formules (7) sous une forme qui s’appliquât à tout autre rapport que l’on établirait entre OC et OC", quoique celui de 1 à 3 paraisse le plus convenable à adopter toujours.
988. (PL 1 4.) On peut étendre la méthode précédente à un cintre com¬
posé d’un nombre quelconque 2 n -+- 1 d’arcs de cercles, pourvu qu’après avoir pris OCv égale toujours â 3. OC, on partage l’intervalle OCv en n parties égales, et l’intervalle CO en n parties qui soient comme les nombres, 1, 2, 3,..., n. Ainsi, pour les arches du pont de Neuilly qui ont 3g mètres d’ouverture, et qui sont surbaissées au quart, on a pris n = 5; et après avoir choisi le rayon AC arbitrairement et OCv = 3 .OC, on a divisé OCv en 5 parties égales, et OC en 5 parties telles que
CD' : D'D" : D' D" : D "D "" : D""0 : : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 ; puis, en joignant C avec E', D' avec E", D" avec E'",..., on a formé le polygone CC'C"C"'C""CV dont les sommets sont les centres des 6 arcs qui composent le demicintre.
Mais, comme par là on arrive à une hauteur OB qui n’est pas toujours celle que l’on veut obtenir, on regardera le polygone précédent comme un essai; puis, en appelant x et y les vraies distances OC et OCT qui conviennent au cintre dont la hauteur sera b, on obtiendra encore des relations analogues à celles du n° 987, et finalement les deux valeurs
(») æ=jp=rt’ •r = 3'r’
dans lesquelles s représente la somme des côtés du polygone CC' C"C"'C""CV, qui a servi à la construction préparatoire.
