APPAREIL HÉLICOÏDAL EXACT

Tracé de l’ épure [Pl. 76).

28. Considérons une arche biaise en plein cintre, entièrement construite en pierre de taille.

Le plan horizontal est le plan des naissances; le plan vertical est perpendiculaire à l’axe du cylindre de révolution formant l’intrados [fig. 2 et 3). Pour faire l’épure, il est nécessaire de considérer un cylindre d’extrados de même axe que l’intrados. Les parallèles aa, et bb{ sont les génératrices des naissances de l’intrados; les parallèles ddx et ce, à bb{, celles de l’extrados; de et d{e{ les traces horizontales des plans parallèles de tête. Les demi-circonférences con-

( 1 ) Faisons remarquer que l’on doit employer l’arc de cercle pour les arches biaises établies au-dessus des routes; car, si ces voûtes étaient en plein cintre, leur ouverture devant être large, leur montée deviendrait trop haute.

(2) M. E. Méry, dans son Mémoire sur l'équilibre des voûtes en berceau ( Annales des Ponts et Chaussées, 1840), a démontré que cette surface est plus rapprochée de l’intrados que de l’extrados aux reins, et plus éloignée à la clef et aux naissances.

(3) J. de la Gournerie a trouvé qu’il fallait diminuer d’un cinquième la tangente de l’angle intradossal naturel. Un ingénieur anglais, Fox, arrive à diminuer d’un quart la tangente de l’angle intradossal naturel, en établissant les hélices directrices sur un cylindre moyen entre l’intrados et l’extrados. Mais les deux dispositions précédentes n’ont pas été adoptées, et l’on a continué à faire l’épure par la méthode de Watson Buck, qui est celle que nous avons expliquée.

AIIGIIKS BIAISES HKI.ICOIDAI.ES.

centriques o'c'b' et d' g' d sont les projections verticales de l’intrados et de l’extrados.

29. On construit sur le plan horizontal le développement de l’intrados à partir de ee{ ( fi g . 4); la perpendiculaire B', A', menée à ee , de a, égale la demi-circonférence a'c'b'; bb , se place en B'B) sur eet, et aaK se place selon la parallèle A' A', hee,. On divise les cordes B' A' et B) A', des sinusoïdes B' C'A' et B’ G', A', en un même nombre impair de parties égales. On a vu (art. 8) comment on obtient l’angle intradossal rectifié B', B'/3, et les parallèles à B'/3 comprises entre les sinusoïdes ou limitées aux droites B' B, et A' A',.

30. On construit sur le plan horizontal le développement de l’extrados à partir de la génératrice dds {fig. 5); la perpendiculaire E'2E'(, menée à dd{ de e,, égale la demi-circonférence d' g’e’; la transformée de ee,,e' est la parallèle E'E) à ddt. On mène les cordes d E' et</,E) des sinusoïdes r/G'E' et d{ G)E). Voici comment on trouve, sur ce développement, les droites correspondant aux hélices d’intersection de l’extrados par les hélicoïdes droits formant les lits.

On démontre aisément que, les hélices sur l’intrados étant équidistantes, les hélices sur l’extrados le sont aussi ; sur les développements, les droites transformées de ces hélices sont équidistantes; par suite, une droite coupant ces transformées est divisée en parties égales, aussi bien sur le développement de l’extrados que sur celui de l’intrados.

Remarquons qu’il ne faut pas que toute la corde </E' soit divisée en autant de parties égales que la corde B' A'. En effet, les surfaces de lit qui passeraient par a, a' et par b, b' couperaient l’ellipse de tête de l’extrados en des points situés au-dessus du plan des naissances; c’est donc la portion d’ellipse comprise entre lesdeux points obtenus qui doit être divisée en autant de parties que la corde B' A'. Pour trouver ces deux points, on détermine d’abord en cfB'e l’angle extradossal rectifié (art. 20). La parallèle ah à a' d' , menée par a dans le plan des naissances, est la génératrice en a, a' du lit passant par a, a'; cette parallèle rencontre l’extrados en h sur ddt . La droite AI', qui fait avec ddt un angle égal à (>B'e, est la transformée de l’hélice intersection de l’extrados et du lit : I' est sur la sinusoïde d G'E' et J' sur la corde r/E'. La génératrice en b, b1 du lit passant par b , b ' donne de même H', sur E'E) : 1) est sur la sinusoïde r/G'E' et J) sur la corde d' E'.

A présent, divisant la portion de corde JJ) en autant de parties égales que la corde B' A', menant des parallèles à Y h par les points de division, arrêtant ces parallèles aux sinusoïdes ou aux droites ddK et E'E), on a les transformées des hélices sections de l’extrados par les lits.

Dans les chantiers, après avoir obtenu le point J', on trouve les points analogues J), J), J'3, en prenant les distances E'J) , d, J) et E) J'3 égales à dY . On divise les droites J'J) et J) J) en autant de parties égales que la corde B' A', et l’on joint, par des droites parallèles à AJ', les points de division correspondants.

51. On mène sur le développement de l’intrados des perpendiculaires équidistantes aux transformées des hélices de lit; ce sont les transformées des hé-

De la G. — Arches biaises. 3

AKCIIKS BIAISES IIEI.ICOIOALES.

lices de joint (art. 22) : on les interrompt de deux en deux, de sorte que les joints soient en découpe. Ces hélices sont appelées hélices discontinues de l’intrados. Mais pi es des tètes et des naissances, on ne s’astreint pas à la loi de l’équidistance; la division en voussoirs est effectuée de manière que la découpe entre deux voussoirs voisins soit, suffisante, et que les voussoirs aient des dimensions convenables.

52. Les hélico'ides droits formant les joints coupent l’extrados selon des hélices, dont on obtient comme il suit un point de leurs transformées rectilignes.

Soit K'L'MN' ( fig . 4) le développement de la douelle d’un voussoir. Au point M de l’intrados correspond sur l’extrados un point R [fig- 5), qui se projette horizontalement sur la perpendiculaire Wm menée de M' à eet, car cette perpendiculaire est la projection horizontale de la normale en M à l’intrados. Le développement de l’extrados ayant lieu à partir de la parallèle ddK i\ee,, la transformée R' du point R est sur la perpendiculaire mR' à ddK. Le point R', étantaussi sur la droite R'S' de l’extrados correspondant à la droite M'N' de l’intrados, est l’intersection de R'S' et de mR'. Donc R' est l’intersection de R'S' et de la perpendiculaire M'R' à ddK . Par suite, on obtient aisément les droites transformées des hélices discontinues de l’intrados, après avoir déterminé deux de leurs points.

55. Remarque. — Quand l’arche biaise est en arc de cercle ( PL 75, fig. 2), la génératrice en a, a! de la surface hélicoïde du lit a pour projection horizontale la parallèle ah à XY, pour projection verticale la normale a! K à l’arc a'c' b' au point a'; les projections du point où elle rencontre l’extrados sont A' et h. Sur le développement de l’extrados, à partir de la projection horizontale ddt de sa génératrice de naissance, le point h, h' se place en un point H' sur ah, tel que la distance d2 H' soit égale à l’arc d'h'. On mène par le point H' une droite HT faisant avec dd{ l’angle extradossal rectifié iïbz. Et l’on continue l’épure comme dans le cas de l’arche biaise en plein cintre.

54. On trouve la vraie grandeur des demi-ellipses des têtes, a l’intrados et à l’extrados, en les projetant sur un plan parallèle aux têtes (PI. 76, fig. 6). Les lits coupent les courbes de tête en des points dont on obtient aisément les projections horizontales, car on a ces points sur les développements; ainsi, la perpendiculaire U' a à bbt donne u sur a, b, ; d’où l’on a m' sur a'c' A'. La projection auxiliaire de u, u' est u"; utu" égale u0u'. On peut aussi obtenir a" en remarquant que l’arc d’ellipse c\u" égale l’arc de sinusoïde Cj U'.

On sait trouver les foyers /"et f \ (art. 15 et 21). On mène les droites qui joignent les foyers aux points de division correspondants des demi-ellipses aj c( b\ et d\g\é\. On a les projections auxiliaires de deux points de chacune des coupes de lit, et des tangentes à ces courbes en ces deux points : cela suffit pour construire leurs projections en vraie grandeur.

55. Pour obtenir les projections d’un point M d’une hélice d’intrados, soit de lit, soit de joint, on considère la transformée M' de M; la génératrice passant

ARCHES BIAISES HÉLICOÏDALES

par M a pour transformée la parallèle M'M2 l\ee,; en prenant sur a'c'b' l’arc b' m' égal à la droite on a la projection verticale m' de M; sa projection hori¬

zontale m est sur la ligne de rappel m'm et sur la perpendiculaire M' m à eeK.

On a les projections q' et q d’un point Q d’une hélice d’extrados, en menant la projection verticale o'I' de la normale en l, V à l’intrados : q' est l’intersection de ol' et de l’arc d' g é , et // de L7 et de la ligne de rappel issue de q' .

D’après les constructions précédentes, on obtient les projections klmnpqrs et k’I'm'n'p'q'r's' d’un voussoir quelconque.

Toutes les hélices des arêtes de douelle ont même pas : lorsque l’on connaît la branche de sinusoïde c«5 ( fig . 3) correspondant à un quart de pas de l’une d’elles, on construit la cerce de cette branche. Pour tracer avec cette cerce un arc de sinusoïde, il faut ses deux points qui sont sur les projections horizontales des têtes et son point d’inflexion ou ses points de contact avec les génératrices de naissances de l’intrados. On opère d’une manière analogue pour obtenir les sinusoïdes projections horizontales des hélices discontinues.

Les projections des hélices intradossales sur un plan parallèle aux têtes ne sont pas dessinées par les appareil leurs ; elles sont souvent tracées sur les dessins [fig. 6) : les projections m et m! d’un point de ces hélices étant connues, on obtient sa projection m" en menant la ligne de rappel mmK et en prenant m{m" égale à m0m' . On dessine rapidement ces projections de toutes les hélices de lit et de joint, au moyen de cerces construites après avoir obtenu l’une d’elles (* ).

Sur les dessins, on représente aussi la coupe {fig. 7) faite dans une arche biaise par un plan vertical passant par son axe, en supposant enlevée la partie située en avant du plan sécant; la projection m'" d’un point m, m' s’obtient comme m". Les cerces sont celles qui ont servi pour la projection horizontale.

5G. D’après les constructions précédentes, tous les voussoirs courants ne diffèrent que par la longueur; il suffit donc d’expliquer la taille d’un voussoir de clef.

On ne conserve pas les portions d’hélice qui forment les arêtes d’un voussoir de clef, parce que, si l’on fait avec soin l’épure d’une arche biaise hélicoïdale ayant les dimensions habituelles (2), on observe que la sinusoïde projection d’une hélice de lit se confond avec la tangente en son point d’inflexion v {fig. 3) à une assez grande distance de part et d’autre de v. Cette tangente fait avec la projection horizontale cc, de la génératrice de clef CC, un angle égal à l’angle intradossal rectifié

Les points v et w étant les projections horizontales des points d’intersection de CC, et de deux hélices de lit consécutives, on prend sur la sinusoïde intradossale de lit qui passe par e, à partir de v, deux longueurs égales e/c, et e/, ; on construit les arêtes de joint/:,/!, et /, m, ; les points /c,, /, , m{, nt peuvent être considérés

(*) Voir l’art. G6.

(2) Ces dimensions sont : 7'" à iom pour l’ouverture do la section droite; 3o° à 70° pour l’angle du biais; im, 20 à im,5o pour la longueur d’un voussoir.

AltClIES BIAISES HELICOÏDALES.

comme étant situés sur les tangentes en v et en w aux sinusoïdes de lit. Sur la fig. 8, établie d’après les fig. 2 et 3, les sinusoïdes sont remplacées par leurs tangentes, et les points Æ,, /, , m{, par k, l, m, n sur ces tangentes; on considère les droites kn et hn comme étant les projections horizontales des arêtes des joints à l’intrados.

Chacun des points e ettvétant la projection horizontale d’une génératrice verticale de lit, les projections horizontales des hélices extradossales correspondantes passent par cet w, et peuvent aussi être remplacées par leurs tangentes en v et en w, qui font avec vw des angles égaux à l’angle exlradossal rectifié oB'e [fig. 4).

Les normales menées à l’intrados par les points projetés en k, l, m, n[fig. 8) sont quatre arêtes du voussoir; les projections horizontales de ces droites sont perpendiculaires à vw, et limitées à leurs intersections p, q, /■, s avec les tangentes aux sinusoïdes extradossales de lit. Les droites/^ et qr peuvent être considérées comme étant les projections horizontales des portions d’hélice discontinues de l’extrados.

En résumé, la projection horizontale d’un voussoir de clef est klmnpqrs; les projections verticales de ses sommets sont données par des lignes de rappel.

Taille par équarrissement ( PL 76) (,).

57. Taille d'un voussoir de clej. — Pour tailler un voussoir de clef, en suivant la méthode par équarrissement, on choisit un parallélépipède rectangle équarri capable du voussoir, le plus petit possible dans la pratique, ayant quatre faces verticales 1.2, 2.3, 3.4, 1.4 {fig- ct deux horizontales i'.3' et 5'. 7'. On dessine sur chaque face verticale les intersections de ces faces avec les cylindres d’intrados et d’extrados. Pour cela, on rabat ces quatre faces sur le plan horizontal de la hase 1 3' : ainsi la face 1. 2 est rabattue en 1.2. 6". 5". Le plan projetant horizontalement la génératrice passant par/:, k' coupe la face 3.4 selon une droite dont le rabattement est la perpendiculaire k, k" à 3.4; le point où cette génératrice perce la face 3-4 se rabat sur k{ k", en un point k" tel que la distance k,k" égale k0k'. L’intersection de l’intrados et de la face 3.4 est rabattue selon la courbe k"n"; celle de l’extrados, selon la courbe p" s". On a soin de déterminer les intersections des faces du parallélépipède et des génératrices de l’intrados et de l’extrados rencontrant une même génératrice d’un lit. On construit les cerces des courbes pour les tracer sur les faces du parallélépipède capable équarri; comme on a, pour chaque cylindre, des points correspondant à une même génératrice, on peut le tailler à la règle.

La fig. 9 est une perspective cavalière destinée à donner une idée plus nette des opérations de la taille.

( 1 ) La méthode de taille par équarrissement est généralement suivie en France. En Angleterre, on adopte la méthode directe que nous exposons plus loin (art. 42 à 48).

ARCHES BIAISES HÉLICOÏDALES

Sur les cylindres taillés, on trace comme il suit les hélices directrices des lits «/

( fig. 8 et 9). Soit l’hélice projetée en kl. On a son point K sur le cylindre d’intrados, en prenant à partir du point k" de la directrice de ce cylindre et sur la génératrice passant par k" une distance Æ"K égale à k{ k. On trouve de même un second point L de cette hélice. Alors on applique sur l’intrados une règle passant par K et par L, et l’on y trace l’hélice projetée en kl. On trouve de même sur le cylindre les points P et Q et l’hélice projetée en pq. On marque sur les deux hélices correspondantes d’intrados et d’extrados d’autres points, tels que 9 et 10, situés deux à deux sur une mêfne génératrice du lit considéré. Après avoir opéré comme il précède pour le second lit et pour les joints, on taille ces surfaces à la règle (‘ ).

58. Taille d'un voussoir de tête. — Pour obtenir un voussoir de tête, on taille d’abord l’intrados, l’extrados, les deux lits et le joint opposé à la tète. Puis on applique respectivement sur l’intrados et sur l’extrados du voussoir des panneaux flexibles égaux aux développements des portions d’intrados et d’extrados de ce voussoir, et l’on y dessine les courbes de tête. Ces courbes déterminent le plan de tête, que l’on taille alors aisément.

On peut aussi, après avoir dessiné sur l’intrados la courbe de tête du voussoir, tracer sur les lits les tangentes aux coupes de lits, au moyen des biveaux égaux aux angles formés par les tangentes aux arêtes de douelle et aux coupes de lit (art. 25); le plan de tête, déterminé par la courbe de tête et les tangentes tracées, est taillé à la règle. On vérifie la taille avec le panneau de tète (2).

59. On reproche à la méthode de taille par équarrissement, bien qu’elle soit la plus exacte, d’exiger que le parallélépipède capable soit équarri avec soin et que l’épure soit faite pour chaque voussoir différent; enfin, d’être coûteuse, parce qu’il faut tailler l’extrados, ce qui est inutile.

Coussinets et crémaillère [PL 76).

40. Chaque voussoir des pieds-droits, appelé coussinet, est, au-dessus du plan des naissances, continué par un corps analogue à un prisme triangulaire, dont les surfaces intérieures et extérieures appartiennent aux cylindres d’intrados et d’extrados, dont les deux faces inclinées appartiennent aux hélicoides de joint et de lit. L’ensemble des coussinets est nommé crémaillère, à cause de sa forme.

44. Taille d'un coussinet. — Un coussinet intérieur est représenté par ses projections T et T' [fig. 2 et 3) et par sa perspective ( fig . 10). On le taille rapide-

0) On peut aussi tracer les hélices en se servant de panneaux flexibles égaux aux développements des parties do l’intrados et de l’extrados du voussoir; mais ce moyen est peu employé.

(2) En général, la taille des parements de tôle n’est faite qu’en partie avant la pose : on dit que l’on taille en gras; la taille des parements est achevée après le décintragc • cetto opération se nomme ravalement.

ARCHES BIAISES HELICOÏDALES.

ment de la manière suivante. Après avoir choisi un bloc de pierre capable, on taille une face plane sur laquelle on dessine le rectangle 1.2. 3. 4; puis on taille la face antérieure 1.2.12.1 1, et la face postérieure 4-3.i3.j4, ces deux faces étant perpendiculaires à la première et distantes entre elles de la longueur 1.4 {fig. 3). Au moyen du panneau 1.2.6.10.9.5 {fi g- 2), on trace sur la face antérieure {fig. 10) les droites i.5 et 2.6, et les arcs 5.i5 et 6.16, directeurs des cylindres d’intrados et d’extrados. O11 opère de même sur la face postérieure. Ensuite on taille, à la règle, les faces 1.4.8.17.15.5 et 2.3.7.18.16.6. Enfin, au moyen des panneaux de développement 5.8.9 {fig. 4) et 6.7.10 ( fig . 5), on trace sur les surfaces cylindriques [fig. 10) les arcs 5.9, 8.9, 6.10, 7.10, en ayant soin de rapporter quelques points de repère pour guider la taille, à la règle, du joint bélicoïde 5.6.10.9 et du lit hélicoïde 7.8.9.10.

Les deux coussinets de la tête antérieure sont représentés par leurs projections [fig. 2 et 3) et par leurs perspectives {fig. 1 1 et 1 2); on les taille d’une manière analogue à la précédente.

Remarque. — Du côté de l’angle aigu de la culée, il part de la naissance de la courbe de tête une hélice d’intrados, tandis qu’il n’en part pas du côté de l’angle obtus. Par suite, sur la tête, il existe une coupe à la naissance seulement du côté de l’angle aigu. Les appareilleurs remédient à ce défaut de symétrie en traçant au ciseau un faux joint du côté de l’angle obtus.

Taille directe {Pl. 76).

42. La méthode directe pour tailler un voussoir de clef consiste à obtenir d’abord un lit, à passer de ce lit à la douelle et de la douelle au second lit. On ne taille l’extrados que grossièrement.

Pour faciliter la taille, on remplace les bél icoïdes droits formant les lits par des paraboloïdes hyperboliques. Soit un arc Æ, /,, k\l't {fig. 2 et 3), dont le milieu est e, e', d’une hélice située sur le cylindre de révolution formant l’intrados d’une arche biaise. On sait qu’un lit est engendré par une droite de front s’appuyant sur l’hélice et sur l’axe du cylindre. Considérons un paraboloïde hyperbolique engendré par une droite de front s’appuyant sur la corde /c,lt, k\l\ de l’hélice et sur l’axe du cylindre. Ces deux surfaces ont trois génératrices communes passant respectivement par k{, k\ ; v, v' . Comme au point e, e',

où l’hélice et sa corde sont le plus éloignées, les deux surfaces ont une génératrice commune, on peut, comme l’a proposé Watson Buck, substituer le paraboloïde à l’hélicoïde.

43. Règles gauches. — Cherchons à établir un système de panneaux donnant la position dans l’espace de deux génératrices du paraboloïde substitué à l’hélicoïde droit. Pour cela, soit X, Y, {fig. 8) un plan parallèle à une face verticale du parallélépipède capable, supposé équarri pour faciliter les explications. Les deux génératrices kp, k'p' et lq, l q' du lit sont projetées sur le plan vertical X, Y, en

Alternas iu .visi'js iii:i,i<oii>am<;s.

k" p" et en l"q"; k, k" égale knk' , etc. On a dans l’espace un trapèze rectangle dont la vraie grandeur k"p" P" K" est obtenue par rabattement autour de k!'p" ; k" K" et p"V" égalent les distances de k et de p à la droite 1.4. On obtient de même le trapèze l"q"Q"L". Alors on construit un panneau en bois ( fig . i3) ayant la forme du quadrilatère k" l" q"p", et, le long des droites k"p" et l"q", on mène perpendiculairement à ce panneau deux autres panneaux reliés par des traverses, respectivement égaux aux trapèzes k"p" P" K" et l"q" Q"L" : on nomme règles gauches le système ainsi obtenu. Les arêtes supérieures KP et LQ représentent deux directrices du paraboloïde.

Pour tailler un lit au moyen des règles gauches, on creuse sur l’une des faces du parallélépipède capable, qui peut ne pas être équarri, deux sillons, nommés passées, dans lesquels les arêtes supérieures KP et LQ des règles gauches puissent s’appliquer. On a ainsi sur la pierre deux directrices KP etLQdu paraboloïde; on les divise en un même nombre de parties égales : les droites qui joignent les points de division correspondants sont des génératrices du second système du paraboloïde. On peut donc tailler le lit, non seulement entre les directrices, mais encore au delà.

44. L’arc d’intersection du lit parabolique et de l’intrados, qui remplace l’arc d’hélice arête de douelle, diffère peu de l’arc d’ellipse intersection du cylindre par le plan projetant horizontalement la tangente en v, v' à l’hélice {fig- 8); enfin, cet arc d’ellipse diffère peu de l’arc de cercle qui passe par le point v, v' et par deux points k, k' et 1,1' , situés à égale distance de e, v' sur la tangente. On construit une cerce flexible de cet arc de cercle, obtenu en k'"v'"l" sur un plan vertical parallèle -a kl; k2k'" égale k0k’, etc. Ensuite 011 applique cette cerce sur le lit taillé, en faisant passer l’arc par les extrémités K et L des directrices du paraboloïde, et l’on trace sur cette surface une courbe KVL, qui représente l’arc d’hélice arête de douelle.

45. Panneau monté. — Pour passer de ce lit à la douelle, on se sert d’un appareil dont nous allons montrer l’emploi et indiquer la construction.

Supposons d’abord qu’un lit et la douelle sont taillés. Soient {fig. i4) KL l’arc d’hélice intersection du lit et de l’intrados; KP et LQ deux génératrices du lit; LT et KT l’arc de section droite et la génératrice de l’intrados passant par L et par K. Regardant les lignes précédentes comme formant un système invariable, faisons glisser la portion d’hélice KL sur l’arc indéfini de cette hélice : la droite KT et l’arc LT restent sur l’intrados; les droites KP et LQ continuent à être normales à cette surface et à s’appliquer sur le lit.

L’appareil obtenu en construisant en bois ou en fer la représentation du système précédent de lignes est appelé panneau monté. Soit à former le panneau monté qui correspond à la portion de douelle projetée horizontalement en kit {fig. 8). On découpe d’abord deux biveaux égaux ayant chacun ses deux branches à angle droit {fig. 2) : une branche a la direction rectiligne l[q\, l’autre a la courbure de l’arc l\k{ ; elle est un peu plus longue que cet arc. Sur le rec-

AHCIIIiS HIAISIS llll.irolDAMS.

tangle Itkt, ( fig . 8) et perpendiculairement à son plan, on dispose ces deux biveaux de manière que les cerces de section droite correspondent à leurs projections It et kti ; ensuite on les assemble avec deux règles dirigées selon Jet et It, . Une cerce flexible, égale à l’arc de cercle k"'v"'l'", est assemblée perpendiculairement au plan du rectangle selon sa diagonale kl. La fig. i5 représente le panneau obtenu. Le prisme qui forme la branche rectiligne du biveau PKT, doit être entaillé, pour que l’arête KP puisse s’appliquer sur le lit.

On place le panneau monté de manière que les génératrices LQ et KP soient appliquées contre le lit taillé. Sur la partie de la pierre où la douelle doit être creusée, on trace des droites suivant LT etKT; on enlève le panneau monté, et l’on creuse des passées où l’on puisse loger l’arc LT et la génératrice KT, ces passées étant assez profondes pour que l’arc KL coïncide avec l’arête de douelle déjà tracée (art. 44), et que les génératrices LQ et KP coïncident avec le lit.

L’arc d’hélice KL et l’arc de section droite LT permettent de tailler une portion du cylindre d’intrados, après avoir rapporté sur ces arcs leurs points d’intersection avec des génératrices du cylindre. Ensuite, à l’aide d’une cerce ayant la courbure de la section droite de l’intrados, et en l’appuyant sur la portion de cylindre obtenue, on creuse de nouvelles passées permettant d’achever la taille de ce cylindre. Alors on limite l’intrados au moyen du panneau flexible de la douelle K^L^M', N', {fig- 4) du voussoir, construit d’après son développement.

Le même panneau monté sert à tailler le second lit : on applique sur la douelle la partie du panneau qui lui correspond; on établit dans la face de la pierre opposée au premier lit des passées où l’on puisse loger les génératrices de la surface du lit; on a ainsi deux directrices pour tailler le second lit, comme il a été expliqué à l’art. 45.

46. Un joint est une surface gauche différant peu d’un plan dans l’étendue d’un voussoir; comme les pressions ne se transmettent guère parles joints, on peut les tailler en les assimilant à des plans. A l’aide du panneau monté, on trace les génératrices extrêmes du lit, et l’on a des droites qui déterminent le plan de joint.

47. Pour tailler les parements des voussoirs de tête, on emploie le second procédé indiqué à l’art. 58.

48. Cette méthode directe de taille paraît peu exacte, si l’on remarque que l’on déduit au moyen de panneaux compliqués une surface d’une autre surface déjà obtenue au moyen d’une première. Elle permet cependant d’établir les arches biaises hélicoïdales dans de bonnes conditions de solidité, et, malgré les critiques auxquelles elle a donné lieu, beaucoup d’ingénieurs la recommandent. En effet, la méthode par équarrissement, si l’on taillait exactement toutes les faces, serait incontestablement supérieure à la méthode directe; mais, comme le plus souvent on apporte peu d’exactitude dans l’emploi de la méthode par équarrissement, afin de diminuer le prix de la main-d’œuvre, on arrive à construire par cette méthode des arches biaises offrant moins de solidité que telles que l’on élève en employant la méthode directe.

ARCHES BIAISES HÉLICOÏDALES

Modifications à apporter aux vous soirs de tête (PL 76).

49. Examinons d’abord l’extrados. Lorsque la voûte est établie, on construit des petits murs pour prolonger le plan de tète et contenir les remblais qui forment la voie supérieure; ils limitent les culées et les tympans, si plusieurs arches se suivent. A l’angle aigu de la culée, les pierres des murs s’appuient sur des faces de voussoirs faisant des angles obtus avec la tête; elles tendent donc à tomber en avant du remblai. A l’angle obtus de la culée, les faces des voussoirs faisant des angles aigus avec la tête, les pierres des murs exercent sur les voussoirs une poussée au vide. Il faut donc entailler les voussoirs de tète de manière qu’ils présentent une surface normale à la tête.

On détermine comme il suit les épaisseurs qu’il faut donner aux voussoirs, pour que tes panneaux de tête puissent y être appliqués après la modification. Les courbes de tête à l’intrados et à l’extrados sont ab, a'b' et de, d' e' ( fig . 2 et 3) On mène, à une distance égale à l’entaille, la parallèle d2e2 à ab, et de d et e des perpendiculaires à d2e2. On considère la portion comprise entre les plans verticaux de et d2e2 d’un cylindre ayant pour directrice la courbe de, d'e , et pour génératrice une perpendiculaire dd2 à son plan : ce cylindre limite la voûte dans l’épaisseur du mur. La projection verticale de la courbe projetée en d2e2 est la demi-circonférence d'.2 e'.,, égale à d' e . Le voussoir &, &! , situé à l’angle obtus de la culée, est taillé comme si la courbe de tête à l’extrados était la courbe projetée en 5.6, d’après la seconde méthode indiquée à l’article 58; le voussoir 0, 0', situé à l’angle aigu, est taillé d’après l’une des deux méthodes de l’article 58 ; on enlève la pierre sur une longueur égale à dd2, en prenant la courbe 3.4 pour directrice d’un cylindre ayant ses génératrices perpendiculaires au plan de tête. Sur l’épure, on indique seulement la surépaisseur, qui a ordinairement om, 5o, et l’on en tient compte dans les chantiers pour construire les panneaux et tailler les voussoirs.

Lorsque les voussoirs sont appareillés en gradins sur la tête, c’est encore sur le voussoir complètement taillé que l’on abat les deux faces normales à la tête et entre elles.

Si l’on ne fait pas subir aux voussoirs les modifications précédentes, les poussées occasionnent des renversements de mur du côté de l’angle aigu de la culée, et des lézardes dans la voûte du côté de l’angle obtus.

50. Examinons à présent l’intrados. On ne modifie pas les voussoirs de tête dont l’angle est obtus; mais, comme l’angle aigu est exposé à éclater après le décintrement, on le fait disparaître en abattant l’arête à l’aide du ciseau, de manière à obtenir sur la tête et sur l’intrados des courbes continues qui limitent une voussure diminuant de la naissance à la clef.

51. La voussure conique suivante, dite en bouche de cloche, a été proposée par Watson Buck. Soient «a, et bbK (fig. 3 et 6) les génératrices de naissance à l’in-

De la G. — Arches liaises. 4

AIICIIES BIAISES HÉLICOÏDALES.

trados; les projections de la courbe de tête sont la droite a, et l’ellipse axb\ en vraie grandeur. Un plan vertical a.2b.2, parallèle au plan a , 6,, coupe l’intrados selon une ellipse égale à d\ b\ , et projetée en vraie grandeur en a2 b"2. La perpendiculaire menée en a2 à a2b2 coupe bbt en /. Considérons le point t comme le sommet d’un cône ayant l’ellipsea2&2, a2 b'.2 pour directrice, et substituons la surface de ce cône à celle de l’arche entre les plans verticaux a, b{ et a2b2. Il en résulte que l’angle aigu en at, d\ est supprimé, et que la voussure disparaît en bt , b\ , car pour ce point les génératrices du cône et du cylindre d’intrados se confondent. La section du cône par le plan «,/>,, qui est une ellipse semblable à a.2b2, d'2b'2, forme la courbe de tête. Les intersections des lits et de l’intrados conique sont des courbes peu prononcées que l’on assimile à des droites.

Pour obtenir la voussure, on taille d’abord complètement le voussoir, puis on y trace les intersections du cône avec le plan de tête et avec l’intrados cylindrique, en se servant de panneaux; enfin, on taille en gras (art. 58, note).

Pose des vous soirs.

52. Afin que les voussoirs puissent être exactement posés, il est nécessaire de tracer sur les couchis en bois des cintres de la voûte les hélices arêtes de douelle. Pour cela, on applique de longues règles flexibles sur le cylindre des couchis, en les faisant passer par les deux points extrêmes de chaque hélice, et l’on trace ces courbes au crayon entre les deux têtes. Pour les mieux déterminer, on marque leurs points extrêmes et leurs points situés sur plusieurs sections de l’intrados, parallèles aux têtes.

appaheil hélicoïdal simplifié.

Tracé de V épure [PL 75).

55. Lorsque les têtes seules d’une arche biaise doivent être en pierre de taille, et que l’intérieur est construit en moellons piqués, les voussoirs en pierre ont surtout pour but d’empêcher que les arêtes des têtes ne se dégradent; l’expérience prouve que l’on peut alors modifier le tracé exact de l’épure, ce qui a conduit à X appareil hélicoïdal simplifié. Cette disposition est surtout employée lorsque la section droite de l’arche biaise hélicoïdale est un arc de cercle.

54. Les génératrices parallèles des naissances du cylindre d’intrados sontaa, et bb , (i fig . 3); la trace horizontale de l’un des plans verticaux parallèles de tête

ARCHES BIAISES HECICOIDACES.

est ab. La perpendiculaire ab" à 66, ( fig . 4) est la trace horizontale d’une section droite de l’intrados. La projection de cette section sur son plan vertical est l’arc de cercle ac"b", de centre o", de rayon o" a.

On développe l’intrados sur le plan horizontal, à partir de 66, {fig. 5). L’arc ac"b" a pour transformée la perpendiculaire b" A' à 66, ; la droite 6" A' égale l’arc ac" b". L’arc d’ellipse de la tète antérieure a pour transformée la sinusoïde 6C'A'. Alors on obtient, comme il a été expliqué (art. S et 15), les transformées des arêtes de douelle [fig. 5) et le foyer f" sur c" o" ( fig . 4)» On trace aussi les sinusoïdes projections horizontales des arêtes de douelle [fig. 3) (').

55. Soit {fig. 6) un second plan vertical de projection parallèle au plan de tête ab. L’arc d’ellipse de tête se projette sur ce plan en vraie grandeur, selon a’c'b’-, on en obtient un point m! en prenant m0 m'égale àm'm". Le foyer/ est obtenu en prenant sur c'c0 la distance c' fi égale à c"f" .

Pour marquer sur l’arc d’ellipse a'c'b' les points correspondant aux points de division de la sinusoïde 6C'A\ on porte successivement des cordes très petites de la sinusoïde sur l’arc d’ellipse : on a ainsi le point m'; ou bien, de M', on déduit d’abord m et m" : on a alors aisément m'. La droite m'fi est la projection verticale de la tangente à la coupe de lit passant par m, m' .

56. La longueur d’un voussoir de tête est limitée par un plan parallèle au plan de tête; on prend deux plans limites inégalement distants de chaque tête pour que les voussoirs soient en découpe. Ces plans déterminent sur l’intrados des arcs identiques à ceux de tête, ayant pour transformées des sinusoïdes identiques à 6C'A'; pour la tête antérieure, les traces horizontales de ces plans sont ij et kl. Les ellipses se projettent en vraie grandeur sur le second plan vertical; leurs transformées sont j\ et /K'.

Sur le développement, les transformées des arêtes de douelle coupent les sinusoïdes yT et /K' en des points que l’on rapporte sur les projections verticales des arcs d’ellipses correspondants; ainsi de P' on déduit/? et/?'.

57. On remplace les hélicoïdes droits, qui devraient former les lits, par des plans dont chacun est déterminé par la tangente à la coupe de lit au point oïi le lit rencontre l’arc de tête, et par la corde de la portion de l’arête de douelle comprise entre le plan de tête et un plan tel que kl. Un lit plan ainsi déterminé diffère peu du plan tangent correspondant, car il passe par une droite de ce plan et par une droite qui s’écarte peu de la tangente à l'arête de douelle. Alors l’arc d’hélice MP est remplacé par un arc d’ellipse MP, qui coupe l’ellipse IJ en un point que l’on considère comme étant le point où l’arc d’hélice MP coupe l’ellipse IJ.

58. Considérons le voussoir dont la douelle a pour développement le quadrilatère M'P'Q'N' {fig. 5), et pour projections rnpqn et rn' p' q' n' {fig. 3 et 6). Les lits étant des plans, les courbes mp, m' p' et nq, nq' sont des arcs d’ellipse. Ces lits

C) Toutes les courbes identiques de l’épure de l’appareil simplifiée sont tracées au moyen de cerces.

Alternes IIIAISES HÉLICOÏDALES.

coupent le plan vertical kl selon des droites qui passent par les points projetés en v' et en q' , qui sont respectivement parallèles aux droites projetées en J ' 'ni et en f'n', et dont les projections verticales sont les parallèles p't' et q'u' à f'ni et fri .

La face supérieure de chaque voussoir est parallèle au plan des naissances; sur l’épure, on a terminé cette face à ses sections avec le plan de lit de droite, et avec un plan vertical passant par l’horizontale que détermine le plan de lit de gauche et la face supérieure du voussoir précédent. Par suite, les projections verticales des faces antérieure et postérieure de tête du voussoir considéré sont m'r'v' s' ri et p' t'w'u'q'.

Éléments nécessaires à la taille d’un voussoir [Pl. 75).

59. Les polygones m'r'v's'n' et p't'w'u'q' [fig-é>) sont les vraies grandeurs de la face de tête et de la face opposée; le quadrilatère suwv ( fig . 3) est la vraie grandeur de la face supérieure horizontale : on peut donc construire les panneaux de ces trois faces.

t>0. Pour obtenir la vraie grandeur du lit projeté en m'p't' r' , on détermine sa trace horizontale yiï, et on le rabat autour de cette trace ( fig . 3 et 6). Le point r, r se rabat en r'" sur une perpendiculaire menée de r à ycî; yr'" égale yV; on a de même les rabattements ni" , p'", f des autres sommets du lit. Les côtés rectilignes sont rabattus en ni" r'" , r'"f, t'"p'".

Il reste à trouver le rabattement de l’arc d’ellipse projeté en ni p' (art. 57). On le remplace par un arc de cercle qui en diffère peu, et que l’on obtient de la manière suivante. L’arc d’ellipse peut être considéré comme se confondant avec l’arc d’hélice qu’il remplace, car la projection de l’hélice sur un plan parallèle à l’axe du cylindre est une sinusoïde dont la portion correspondant à la longueur d’une pierre peut être regardée comme droite. De plus, l’arc d’ellipse, ne devant pas avoir une grande longueur, peut être remplacé par l’arc de cercle qui passe par ses deux points extrêmes et son point milieu. On doit regarder l’arc d’ellipse comme étant le même pour tous les plans de lit, parce que les hélices, ayant même pas, sont identiques; donc tous les arcs d’ellipse doivent être remplacés par un arc de cercle de rayon constant. On obtient ainsi le rayon de cet arc.

Dans l’espace la génératrice de l’intrados passant par un point projeté en £ sur cct et la tangente en ce point à l’hélice arête de douelle sont horizontales; leurs projections zc et zO font entre elles un angle égal à l’angle intradossal rectifié b, b fi. On prend sur la droite zQ, à partir de e, deux longueurs zQ et eX, assez petites pour que les points 0 etX puissent être considérés comme situés sur la projection horizontale de l’hélice. Les trois points de l’arc d’ellipse déterminé par le plan vertical de trace 61, projetés horizontalement en z, Q, X, se projettent sur le plan de

AKCIIES BIAISES llll.l<OII>AI,ES.

section droite en c",6",\"; donc leurs rabattements autour de 6X sont em, 0'", V"; té" ésrale c'c", etc. On trace l’arc de cercle é"%"'\'" dont on construit une cerce assez grande pour tous les voussoirs.

Au moyen de cette cerce, on trace la courbe ml" p'" sur le rabattement du lit projeté en m'p'i' r', et l’on construit le panneau de ce lit.

On obtient de même le rabattement et le panneau du lit plan projeté en n'q'u's'.

61. Pour obtenir l’angle dièdre d’un lit plan et du plan de tête, on suppose que le plan vertical de projection est le plan de tête ab et que, avant de le rabattre, on l’a déplacé parallèlement à lui-même de manière que la ligne de terre ab devienne a' b'. La construction de l’angle du lit plan projeté m'p't'r' et du plan de tête n’est autre que celle de l’angle d’un plan avec le plan vertical de projection. Les traces du lit sont yiï et y' ml ; celles d’un plan perpendiculaire à y'rré sont les perpendiculaires a'p' à y' ml et g' g à ab; sur le plan vertical, le point g', g se rabat au point g'", tel que g' g"' égale g0g. L’angle cherché égale l’angle aigu g'ç'g'". On construit le biveau de cet angle.

On opère de même pour le lit plan projeté en n'q' u' s'.

Taille directe ( Pl. 75).

62. Taille d’un voussoir de tête ( fig . 3 et 6). — Sur une face plane d’un bloc de pierre capable, on trace les limites du lit plan projeté en m'p't'r . On détermine le plan de la tête au moyen du biveau de l’angle a'pV", et les contours de cette tête au moyen de son panneau; on passe de la tête au lit plan projeté en q'ns'u', en se servant du biveau de l’angle de ces deux faces. Après avoir tracé les contours de ce lit, au moyen de son panneau, on a les directrices servant à tailler la face parallèle au plan de tète, la face supérieure horizontale et la facette verticale. Pour tailler la douclle cylindrique, on détermine d’abord sur l’épure les points d’intersection des courbes qui la limitent et de quelques génératrices horizontales; on marque sur la pierre les points de repère obtenus, qui deux à deux déterminent des génératrices de la douelle; la taille est faite en gras ( art. 38, note) et achevée après le décintrement.

Coussinets et crémaillère [Pl. 75).

63. Comme dans l’appareil exact, il existe dans l’appareil simplifié deux lignes de coussinets, formant deux crémaillères . Les coussinets sont en pierre de taille et appartiennent à la fois aux pieds-droits et à la voûte.

Nous avons dessiné les deux projections des deux coussinets de la tête antérieure [fig. 3 et 6) et leurs perspectives [fig. 8 et 9). Le lit d’un coussinet de tête est le plan déterminé par la corde de l’arc d’hélice correspondant au coussinet et par la droite qui serait la tangente à la coupe de lit dans l’appareil exact;

AKCIIES BIAISES HELICOÏDALES .

sur l’épure ( fig . 3 et 6), sont ind iquées les constructions qui donnent les intersections du lit et des faces planes verticales et horizontales du coussinet de gauche.

Un coussinet courant est représenté par sa projection horizontale ( fig . 3), par sa projection [fig. 7) sur un plan vertical parallèle à la ligne de naissance aat et par sa perspective {fig. 10). Le lit et le joint d’un coussinet courant sont des hélicoïdes droits déterminés comme dans l’appareil exact; la construction de leurs intersections avec les faces verticales est indiquée {fig. 3 et 4)-

La taille des coussinets ne présente pas de difficulté particulière.

64. Les voussoirs sont modifiés comme nous l’avons expliqué aux articles 41 et 50.

Pose des moellons piqués.

05. L’espace compris entre les deux têtes en pierre de taille est recouvert par une voûte formée de moellons piqués, taillés en forme de troncs de pyramide à bases parallèles, disposés de manière que leurs lignes d’assises sur l’intrados soient des hélices ayant pour transformées des parallèles à&| 3 {fig. 5). Ordinairement deux rangées de moellons correspondent à chaque voussoir de tête. On a vu comment ces hélices sont tracées sur les çouchis (art. 52).