TC
priétés connues de l’hélice donnent
(3) tang m=p par suite, d’après la formule (i), on a
(4) — = Atangfl.
1 7. Cas de l’appareil en arc de cercle. — Lorsque la section droite de l’intrados est un arc de cercle a'c'b' (Pl. 75, fig. 2), de centre 0', les constructions sont faites comme dans le cas du plein cintre. Ainsi, on obtient le foyer f en prenant sur la tangente en b' la distance b'f égale à b2 [32, et en menant la parallèle j'.f au rayon o'b' jusqu’à sa rencontre avec c'o' .
Désignant par 2 c l’ouverture a' b’; par k la montée o\c' , qui est ordinairement comprise entre ~ et } de l’ouverture; par r le rayon o' a! de l’arc; par 21 l’angle a! o'b' , on a les formules suivantes :
c2 = k(nr — k ), c — rsinr, p = r cot (9 tangm,
. bb2 ccol6 sinrcot^
tan^ = w = — = — —
18. Tracé des sinusoïdes. — Sur les épures faites dans les chantiers, les points d’une sinusoïde transformée d’une ellipse de tête sont déterminés par le calcul.
ARCHES RI AISES HÉLICOÏDALES
Soif. G' (PL 75, fig. 2) la transformée d’un point g, g' de l’arc de tête. La droite G'G2 coupe la corde b C' en 7 : by est l’abscisse et G'y est l’ordonnée du point G'.
En désignant par w l’angle variable b'o' g , on a successivement
, ê2G'.( arc b'
x — by = - — 6 ■
COS p. COS p
rco
COSp’
G'G'2 = g g 2 = og2 cot# = g'n cot # = rsin(t — w)cot#;
C ' b2 ”''2 arec' b’ arc c’ b’
nt C'G'2// arc c' g’ 7 ,c arc c g' , ,, .a
y G, = 7^7 ~bb2= - j~job2cotd = - rr,o.b cote?,
* 2 I / />» ^ aro.n' hr * uvo r' h' '
yG ' = — - — rsinTCot# = — — “sinreot#;
' 2 ri 7
y = rcot# j^sin(r — w) — s‘ntJ*
On obtient x et y au moyen des formules (-5) et (G), en donnant des valeurs successives à la variable indépendante œ. Dans le cas de l’appareil en plein cintre, on remplacer paraît dans la formule (6). On a vu (art. 15 etl7) comment on trouve l’angle p., dont on a besoin pour calculer x.
19. Angles et foyers secondaires. — On nomme secondaires les angles et les foyers relatifs à des cylindres de révolution, nommés cylindres secondaires, de même axe que l’intrados; appelons r, le rayon o' e' ( Pl. 75, fig. 1) de l’un d’eux. Comme un cylindre secondaire coupe le lit suivant une hélice de même pas que l’hélice directrice, h ne change pas. Soient m, l’angle rectifié relatif à un cylindre secondaire ; p, son angle naturel ; p , la distance o f\, ou OF,, pour le foyer secondaire.
Les formules précédemment trouvées donnent
(1 bis)
p, = r, cot# tangm,,
(2 bis )
tangp, = - cot#,
(3 bis)
tangm, = jy
(4 bis)
— — h lang#.
Pi &
On voit que l’angle naturel est le même quel que soit le rayon du cylindre.
ARCHES BIAISES HÉLICOÏDALES
tandis que l’angle rectifié augmente de l’intrados à l’extrados, et devient droit pour l’un des cylindres secondaires.
20. Construction d'un angle rectifié, secondaire ( Pl. 75, fig. i). — Des formules (5) et (5 bis), on tire
langmj r,
tangm
Par suite, pour construire l’angle rectifié m,, correspondant à un cylindre secondaire de rayon r,, égal à o'e’, connaissant l’angle intradossal rectifié b, b fi, ou m, on inscrit à l’angle b, b fi une droite dfi perpendiculaire à bb,, et égale à une fraction quelconque de r (ici, §fi = ±r); on porte sur $fi la longueur de égale à la même fraction de r, : l’angle cherché m, égale b,bt.
21. Construction d’un foyer secondaire [Pl. 75, fig. i). — La génératrice de naissance e’,ee, d’un cylindre secondaire de rayon de', ou r,, et l’angle secondaire rectifié b,bz de ce cylindre étant connus, on mène la parallèle ez2 à be, jusqu’à sa rencontre avec oC\ et l’on porte sur c'o' la distance o’f égale à e2z2 : le point f[ sur le plan vertical, ou F, dans l’espace, est le foyer relatif au cylindre de rayon r,.
Voici une autre construction d’un foyer secondaire. Supposons que le point f\ soit la projection verticale du foyer relatif au cylindre de rayon o'c', ou rt. Menons les droites fa' et f\d'\ puis, aux points a' et d' , les perpendiculaires a! s et d's, à ces droites. Les points s et s, étant les intersections de o'c' et de ces perpendiculaires, on a
o's = — = h tang$; P
o's, = y = Atangtf;
donc s et s, coïncident. Par suite, en menant à fa! la perpendiculaire a’ s coupant o'c' en s, et à sd' la perpendiculaire d'f coupant o'c' en f, on obtient le foyer secondaire f.
22. Angles et foyers des coupes de joint. — Les voussoirs d’une même assise sont limités par des surfaces dont chacune a pour génératrices des normales à l’intrados, et pour directrice une trajectoire orthogonale aux hélices formant les arêtes de douelle; ces surfaces, appelées joints, sont donc des hélicoïdes droits. Les transformées de ces trajectoires orthogonales sont des perpendiculaires aux transformées rectilignes des arêtes de douelle.
Le théorème du foyer est applicable aux tangentes aux courbes d’intersection, nommées coupes de joint, d’un plan de tête et des surfaces de joint. L’angle intradossal rectifié correspondant à ces hélices est complémentaire de l’angle m. La distance sur o'c' [Pl. 75, fig. i), entre le point o' et le foyer /'2 relatifs à ces hélices, est égale à la distance b2t obtenue sur o C' en menant en b la perpendiculaire bt à b fi. La longueur b2t étant en sens inverse de b2fi2, la distance o'f doit être prise en sens inverse de o' f. La droite g'f est la tangente en g’ à la projection verticale de la coupe de joint. On reconnaît immédiatement que f est
ARCHES BIAISES HELICOÏDALES.
au-dessus de c', et par suite que le loyer de l’espace F2, qui est à une distance de O égale à o'f, se trouve en dehors de l’ellipse de tête.
23 ( Pl. 75, fig. i). Projetons la figure située dans un plan de tête sur un plan parallèle à ce plan. Les demi-axes de la demi-ellipse de tète sont o"a" et o" c" ; ses foyers sont projetés en 9" et en 9" . De l’égalité
fi2b2.b2t = bb2 =ob —ob2,
on tire
o"f. o" f2 = oV' - ÔV = .
Par suite la circonférence de diamètre f"f\ passe par les foyers 9" et <p" de la projection verticale de l’ellipse de tête (*).
Au point G la tangente GJ à l’hélice de lit est perpendiculaire à la tangente à l’hélice de joint et à la normale à l’intrados; ces deux dernières droites déterminent le plan tangent en G à la surface de joint ; donc la projection sur le plan de tète de la tangente GJ à l’hélice de lit est perpendiculaire à la trace GF2 du plan tangent au joint, et par suite la projection verticale de la tangente à l’hélice de lit est la perpendiculaire g" j" à g"f\ .
24. Éléments du tiiêdre d’un voussoir de tête (PL 75, fig. ï). — Au sommet G d’un voussoir de tête, il y a trois arêtes courbes : l’ellipse de tête, l’arête de douelle, la coupe de lit. Les tangentes en G à ces courbes sont GK, GJ, GF. Quand le plan vertical est perpendiculaire à l’axe de l’intrados les projections, verticales de ces tangentes sont g k' , g' /' sur g'k' , g f . Lorsque le plan vertical est parallèle au plan de tête, ces tangentes se projettent verticalement selon g" k",
25. Angle d’une coupe de lit et de l’arête de douelle correspondante (PL 75, fig. r). — L’angle FGJ, formé par les tangentes GF et GJ en G à la coupe de lit et à l’arête de douelle, est situé dans le plan tangent en G au lit. L’intersection de ce plan et du plan de front oC' est f’j' , oj (art. 11). Rabattons le plan tangent sur le plan de front autour de la droite de front projetée en f'f. Le point g, «•'esta une distance du point j,f égale à l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont un côté égale g'j' et dont l’autre égale la distance gg2 de g, g' au plan de front. Comme g'j' égale G'2J' et que gg2 égale G'G2, l’hypoténuse cherchée égale G'J'. Il faut donc prendre la distance j' g" sur f g> égale à G'J', pour obtenir le rabattement g"' de g, g. Le point projeté en /'de la tangente à la coupe de lit étant sur l’axe de rotation, son rabattement est/'. Par suite le rabattement de la tangente projetée sur f'gf est /'/"/"'. D’autre part, la tangente GJ, projetée sur g'j', étant située dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation,
(’) Cette propriété des quatre loyers a été démontrée par M. Félix Lucas dans le XXXVIIIe cahier du Journal de l’Ecole Polytechnique.
ARCHES BIAISES HÉLICOÏDALES. I 5
se rabat, sur #'/' selon Il résulte des explications précédentes que l’angle FGJ est rabattu en
On peut obtenir autrement le point g'". La parallèle g'"v, menée à g'o' par#"', coupe c'o' en v. On a
vf g",j' G'J' b p,
é = Vr = gît- = W
or
f — b 2 fis ;
donc
vf = b(i2.
Le point e a par suite une position fixe, quelle que soit la position du point G sur l’ellipse de tête. Il s’ensuit que, pour obtenir les rabattements tels que#'" de tous les points tels que G, on prendra f'v égale à bfi2; on mènera à o'#' par e la parallèle vg" : elle coupera la tangente g'j' au point cherché #'" (*).
26. Points (V équilibre ( PL 75, jig. i). — Désignons par <p l’angle dièdre selon GF, formé par le plan de tête et par le plan tangent en G au lit. Lorsque g'j" coïncide avec #"/", le plan tangent au lit est perpendiculaire au plan de tête. Or, g"j" est perpendiculaire à g" fl (art. 23); donc les points de l’ellipse de tête pour lesquels l’angle cp est droit, étant ceux pour lesquels l’angle f'gffl est droit, ont pour projections verticales les points d’intersection u" et u\ de la demi-ellipse cC'c"b" et de la circonférence de diamètre /"/". Les points de l’espace U et U, se nomment points d' équilibre, parce qu’en ces points la poussée au vide est nulle, comme dans l’appareil orthogonal.
La circonférence de diamètre FF2 passant par les foyers de l’ellipse de tête (art. 23), la droite UF est normale, et la droite UF2 est tangente à cette ellipse. D’où il résulte que les projections des points d’équilibre sur une section droite de l’intrados sont les points u' et u\ , intersections du cercle de diamètre f2o' et du demi-cercle de section droite.
27. De la poussée au vide. — J. de la Gournerie a étudié la poussée au vide dans le cas des arches biaises hélicoïdales ( Annales des Ponts et Chaussées, i85i), et a trouvé que cette force, qui est nulle aux points d’équilibre, est plus grande aux naissances qu’à la clef. D’où il résulte que les arches biaises en petits matériaux doivent être consolidées près des naissances par des armatures en fer, principalement quand elles sont en plein cintre et quand l’obliquité approche de 4o°; et que des armatures sont aussi quelquefois utiles vers la clef.
Pour remédier à la poussée au vide, un premier moyen, regardé comme étant le meilleur, consiste à remplacer le plein cintre par l’arc de cercle, surtout quand l’ouverture de l’arche est très grande, car on supprime ainsi la partie la
(*) Cette construction, beaucoup plus simple que celle que donne Watson Buck, est due à J de la Gournerie ( Annales dés Ponts et Chaussées, 1 85 1).
ARCHES BIAISES HÉLICOÏDALES
plus défectueuse de la voûte en plein cintre ('). Un second moyen consiste à abaisser les points d’équilibre, car l’on diminue ainsi la portion de la voûte où la poussée au vide est le plus désavantageuse. J. de la Gournerie a démontré qu’en réduisant l’angle intradossal naturel, on abaisse les points d’équilibre.
Cette réduction a pour effet de remplacer la normalité des transformées des lignes d’assises aux cordes des sinusoïdes pour l’intrados par celle des transformées des lignes d’assises aux cordes des sinusoïdes pour un cylindre d’un rayon supérieur (art. 19). Or les résultantes des pressions sur les lits ont leurs points d’application sur une surface située entre l’intrados et l’extrados (2); il est donc avantageux de réduire l’angle intradossal naturel de manière que, pour un cylindre situé entre l’intrados et l’extrados, les transformées des lignes d’assises soient normales aux cordes des sinusoïdes, et que par suite les lits s'approchent le plus possible d’être normaux en ces lignes aux résultantes des pressions (3).
