CHAPITRE IV. — TOUT» SPH&UQOBS BT'BW SPnfaotOB

elKpses est identique avec la méridienne AB ; la seconde coïncide avec le cercle B'C'iy, et la troisième s'en déduira aisément.

709. (Fig. 2.) Seconde méthode pour les joints de lit. Lorsque les deux axes OA et OB de l'ellipse de naissance sont très-inégaux, le cône que nous avons employé au n° 70b et dont la génératrice est seulement normale au point (P, F) de la section verticale OP, se trouverait encore assez oblique par rapport aux sections extrêmes OA et OB. Dans ce cas , il vaut mieux former le joint passant par l'arête de douelle (EG, E'G') avec trois ou plusieurs surfaces coniques différentes, qui se succéderont tour à tour depuis E jusqu'en G. Ainsi, après avoir construit, comme au n° 704, les trois tangentes Z'E', Z'P a , Z'G 2 , on leur mènera des perpendiculaires par les points E', P, , G, ; et ces perpendiculaires iront couper l'axe (O'Z', 0) en des points 0', S', , S",, qui seront les sommets de trois cônes dont le premier servira depuis E jusqu'en L et en I : le second depuis P jusqu'en L et R : et le troisième de G en R et p. Mais comme les joints montants sont à recouvrement dans deux assises consécutives, il arrivera dès lors que chaque voussoir de la première assise offrira, dans son joint supérieur, un ressaut produit par le brusque passage d'un cône à un autre, ainsi qu'on le voit indiqué dans lajfy. 6 tracée en perspective. Il en arrivera autant pour les joints supérieurs de la seconde assise qui seront en contact avec les joints inférieurs de la troisième; et dès lors les voussoirs présenteront beaucoup d'angles rentrants, ce qui est toujours un inconvénient, attendu que les ouvriers les exécutent avec moins de facilité et surtout moins de précision; mais on accepte ici ce désavantage, afin d'éviter le défaut bien plus grave de parties trop aiguës où la pierre offrirait peu de résistance à la pression mutuelle des voussoirs.

710. Troisième méthode pour les joints de lit. Le cône que nous avons employé au n° 704 n'est pas véritablement normal à la surface d'intrados, même dans le point (P, F) où sa génératrice a été choisie perpendiculaire à la tangente de la section verticale OP; car il faudrait en outre que cette génératrice fût perpendiculaire à la tangente de la section horizontale (EPG, E'G'). Si donc la voûte offre assez d'importance pour que Ton s'attache à remplir complètement cette condition , voici comme il faudra opérer.

Après avoir pris sur l'arête de douelle (Ge, G' s*) (PI. fi, fig- 7) «n point quelconque (it , ir') , on construira la normale de l'ellipsoïde en ce point; or, cette droite devant être perpendiculaire à la tangente horizontale , elle se projettera suivant la normale ttÇ de l'ellipse G tu; et sa projection verticale sera le rayon OV 7 attendu que dans toute surface de révolution , la normale va couper l'axe qui est ici projeté au point 0\ Ensuite, il faudra chercher le point (e, 7 ) où cette normale va percer l'ellipsoïde d'extrados, lequel est aussi de révolution , mais autour d'un axe différent (OX , ©') , et a pour méridienne une ellipse dont les axes Orf

et.Qa sont pcopartionûels avec OB et OA. Pour obtenir ce point (8, G'), je çois par la normale (nÇ, n'O') un plan perpendiculaire au plan vertical de projection : ce plan sécant OV6' coupera l'extrados suivant une ellipse dont le centre (&>, a/) s'obtient en abaissant la perpendiculaire o'o>', et dont un des axes est (a>'6', o>6); mais cette ellipse est semblable à la section qui serait faite par le plan parallèle o' V, et qui aurait pour axes o'V et Oa ; donc, si l'on tire la corde Va, et qu'on lui mène la parallèle 6« , on déterminera les deux axes &>a et &>6 de l'ellipse suivant laquelle se projette la section faite par le plan 0'6'. Alors, en construisant cette ellipse 69 (bu seulement l'arc voisin de la droite tX, , ce qui s'effectue trèsaisément par la méthode de la somme des demi-axes) , cette courbe 60 ira couper la normale irÇ au point demandé que Ton projettera ensuite sur OV en 0'.

Si l'on construit semblablement les normales de l'ellipsoïde d'intrados pour les points (e, e% (X, X')> (*»«')» (p> pO»*-- et qu'on cherche de même leurs points d'intersection (3, J'), ty, <{/), (0, 0'), (*, */)»••• avec l'extrados, Pensemble de toutes ces normales formera le joint normal qui correspond à l'arête de douelle (Ge, GY). Ce joint sera évidemment une surface gauche, et il se terminera à la courbe à double courbure (tyîirç, $' <(/ 0' r! y) suivant laquelle il coupe Pextrados.

711. Le sommet (y, •/) de cette courbe ne peut pas s'obtenir comme les autres points, parce que la normale en (G, G') est située dans le plan vertical OÀ perpendiculaire à la ligne de terre; mais en rabattant ce plan autour de l'horizontale (OÀ, (Y) , le point (G, G') se transportera en G ff sur l'ellipse méridienne AD, et si l'on mène à cette courbe la normale G" y", ce sera le rabattement de la normale primitive. D'ailleurs, le même plan vertical OÀ coupait Fextrados suivant une ellipse dont le centre était en (O, o') et qui avait pour axes Oa et oV; or, quand cette ellipse aura tourné comme ci-dessus, son centre sera venu en o", et ses axes seront parallèles et égaux à Oa etOrf; donc, si l'on trace cette ellipse ainsi rabattue, ou seulement l'arc qui sera voisin de G"?"? ootte droite se trouvera coupée par l'arc d'ellipse au point demandé /. Il restera ensuite à relever cette nonoaie. G"/ autour de l'axe (OÀ, 0% ce qui ramènera le point -/' en y sur le plan horizontal ; et sur le plan vertical , la projection y s'obtiendra en prenant la hauteur Oy égale à y/.

712. (Fig. 7 et 5.) Pour Fautre arête de douelle (Hep, H'cf') on construira le joint normal comme celui du n° 7tS ; et ces deux joints de lit seront coupés par les plans verticaux p|i, y0, suivant des lignes droites > ee qui rendra encore plus facile le tracé des panneaux de tête du voussoir actuel, analogue* à ceux de la fig* 4- Quant à la taille de ce voussoir, après avoir préparé, comme dans la/fy. 5, une pierre qui ait la forme d'un prisme droit dont la base égalerait ^9v f on y appliquera les deux panneaux de tête, et l'on y traoera les arcs d'ellipse L F, M'N', comme au n* 708. Toutefois, La courbe plane l'p' sera remplacée ici par une ligne à double courbure (tp6, <j/0') qu'il faudra construire par points sur la face

CÛAP1TAB IV. VOUVM SPOéfrlQUES ET BN SPH&R0ÏDB. 271

convexe du prisme , on bien ette se tfacera au moyen d'un panneau qui représenterait le développement du cylindre vertical <j/0; ensuite, l'autre arête d'extrados m'n f deviendrait encore une ligne à double courbure; mais on la remplacera par l'intersection de la face horizontale et supérieure du prisme, avec le joint gauche qu'il sera bien facile de prolonger, sur la fig. 8 , jusqu'à ce plan horizontal : ses joints, quoique gauches, se tailleront encore avec une simple règle appuyée dur des points de repère» Nous nous bornons ici à ces indications succinctes , parce quelles suffiront bien pour les lecteurs familiarisés avec la Géométrie descriptive; d'ailleurs, nous leur présentons cette méthode comme un sujet d'exercice plutôt qjie comme une méthode pratique., attendu que les constructeurs ordinaires la trouveraient probablement trop laborieuse et répugneraient à l'employer, malgré l'avantage qu'elle procure d'éviter les angles aigus dans les coupes, et par suite de donner plus de résistance aux voussoirs.

Voûte en ellipsoïde à trois axes inégaux.

713. (PL 440 Considérons enfin le cas général où la voûte a pour intrados un demi-ellipsoïde à trois axes inégaux, et soit ÀBDE l'ellipse de naissance qui renferme l'axe maximum OÀ=a et l'axe moyen OB = 6, tandis que l'axe minimum (0, 0' C) est vertical et égal à c, ce qui rend la voûte surbaissée : la fig. 2 représente une coupe verticale faite suivant OB, et la fig. 3 une coupe verticale faite suivant OA. Quant à l'extrados, nous le formerons comme au n° 703, par un ellipsoïde semblable au premier, mais ayant son centre au-dessous de 0' sur la verticale 0. Ici, pour satisfaire complètement à la condition que tous les joints soient normaux entre eux et à Cintrados (n° 584) , nous adopterous pour les deux séries d'arêtes de douelle, les lignes de courbure de l'ellipsoïde dont nous avons expliqué les propriétés aux n 0- 736,..., 743 de notre Géométrie descriptive. On sait qu'après avoir marqué les foyers F, F 2 ,F 3 , des trois ellipses principales, il faut tracer l'ellipse et l'hyperbole auxiliaires, <xS et ay, dont les axes communs sont les droites

^•vS 1 06= *\/?

la première se construit en prenant les longueurs 0/=0F, 0/ 3 =0"F 3 , puis en tirant la droite A/ 3 et sa parallèle /« : la seconde en prenant 0/ 2 =0'F 2 r pais en traçant la ligne B/ 2 et sa parallèle F 6. Alors, si l'on prend un point quelconque A sur l'hyperbole *g, et que l'on trace les coordonnées AH et A 2 de ce point, elles fourniront les deux demi-axes OH et 2 de l'ellipse H 2 qui représente la projection d'une ligne de la première courbure : de même, un point quelconque q de r ellipse <%S fournira, par ses coordonnées, les deux, demi-axes OQ et Os de l'hyperbole QM qui reçoit la projection d'une ligne de la seconde courbure.

272 MYRB IV. — CODPB DBS F1BRRBS.

Quant à \*fig. 2 , il faudra aussi tracer d'abord l'ellipse et l'hyperbole auxiliaires, «'S' et «V, dont les axes communs sont les droites

qui se construiront aisément, ainsi que l'indique notre épure; et alors un point quelconque t' de l'ellipse «'6' fournira, par ses coordonnées, les deux axes O'H' et OV de l'hyperbole H'a' suivant laquelle se projette ici une ligne de la première courbure ; tandis que chaque ligne de la seconde courbe se projettera , sur ce plan , suivant une ellipse Ç$W dont les axes seront fournis par les coordonnées d'un point m' pris à volonté sur l'hyperbole auxiliaire a/. On sait d'ailleurs que les points (a, a ) et («, a) sont les deux ombilics (G. D., n* 739) autour desquels l'ellipsoïde présente une courbure uniforme dans tous les sens, comme celle d'une

sphère.

71ft. Mais 9 pour la question de stéréotomie , il ne faut pas tracer arbitrairement ces deux séries de lignes de courbure. On devra d'abord diviser la demi-ellipse verticale B'C'E' en un nombre impair de parties égales; et après avoir projeté chaque point de division, tel que a', au point 2 sur le plan horizontal, on mènera les coordonnées 2 h et AH de l'hyperbole auxiliaire, ce qui déterminera les axes de l'ellipse 2 H suivant laquelle se projette l'arête de douelle qui correspond à l'assise considérée. Ensuite, pour avoir la projection verticale de cette même arête de douelle, il faudra projeter le sommet H en H" sur l'ellipse principale de lafig. 3; et ce dernier point H' 7 étant ramené en H' sur \&fig. 2 , permettra de tracer les deux coordonnées H 7 1' et 1' u! de l'ellipse auxiliaire, lesquelles seront les demi-axes de l'hyperbole demandée H' 2'.

Maintenant , on divisera le quart AB de l'ellipse horizontale en parties égales BL, LM, xWN,... ; puis, en projetant le point M en M', on mènera par ce dernier les deux coordonnées M' m' et m'Q' de l'hyperbole auxiliaire, qui fourniront les axes de l'ellipse M' Q'. Ensuite , après avoir ramené le sommet Q r en Q" sur l'ellipse principale de la fig. 3, on projettera ce dernier point Q" en Q, et l'on tracera les deux coordonnées Qq et qs de l'ellipse auxiliaire, lesquelles seront les axes de l'hyperbole cherchée QM.

Les lignes de seconde courbure, telles que (QM, Q'M'), serviront à former les joints montants, et il faudra les interrompre alternativement d'une assise à l'autre; tandis que les lignes de première courbure, telles que (2H, 2' H'), qui forment les arêtes de douelle et correspondent aux joints de lit, devront être continuées dans toute leur étendue. C'est d'ailleurs ce que montre l'épure , dans les trois autres quarts de l'ellipsoïde qui n'ont pas servi à effectuer les opérations graphiques.

715. Nous n'avons point parlé jii6qu'ici de la projection des lignes de courbure sur le plan de la fig. 3 , attendu que cette projection n'est pas nécessaire pour le