CHAPITRE VI. — N8 DESCENTES. M

contreraient les horizontales menées par *, r; puis, par des opérations inverses de celles du n° 791, on déduirait des points p et q y les points F et Qf qui fixeraient la direction des côtés des joints L/F et M'Q' sur le plan de tête. Cependant alors il y aurait cet autre inconvénient que les côté» des joints sur la face de tête seraient visible* ment écartés de la direction normale relativement au cintre de face.

Lorsque la longueur E'G" de la descente sera trop grande pour former chaque assise d'une seule pierre, onr établira des joints d'assises alternés, au moyen de plusieurs sections faites parallèlement au plan Y"EF, c'est-à-dire perpendiculaires aux génératrices; et les voussoirs partiels se tailleront encore plus aisément.

796. Toutefois, si cette longueur E'G' était un peu considérable, comme quand la descente recouvre un escalier qui comprend une douzaine de marches ou dav«** terge, H serait imprudent de laisser toute cette masse de pierres reposer sur deux pltems inclinés , tels que les rampes qui sont projetées sur les rectangles ÀCGE et BDHF; car l'action de la pesanteur décomposée suivant la direction E'G'', tendrait à faire glisser les voussoirs , et elle produirait sur le berceau G"X /; des efforts qui fatigueraient beaucoup cette voûte et qui pourraient même la renverser. Pour obvier à cet inconvénient, on emploie divers moyens dont un exemple est indiqué dans te fig. 7 (fui représente une coupe faite par un plan vertical mené suivant la généra* triée la plus élevée. Ici les voussoirs de la première assise, comme A' B' CIVE' F', 86 prolongent dans l'intérieur des pieds-droite où ils reposent sur des lits horizontaux; et leur douelle qui n'aurait dû avoir que la largeur CD, se prolonge suivant EFen présentant une entaille où le'voussoir V, de la seconde assise trouve un appui pour ne pas glisser : ce voussoir V 2 offre de même une entaille où vient s'accrocher V 3 de la troisième assise , et ainsi de suite. Cependant il y* a quelques voussoirs qui sont simples , et nous les avons indiqués par leurs diagonales sur la jfy. 8 qui représente le rabattement de l'intrados cylindrique sur le plan horizontal. C'est ce genre dft voussoirs qu'il fout employer pour toute la longueur de la clef, afin qu'étant plus indépendants des autres, ils puissent s'enfoncer autant que l'exige le vide laissé par ceux-ci , et bien remplir l'office de véritables coins.

Après tout , comme dans les dispositions précédentes (fig. 3 et 6) les jointe et la douelle môme de la descente vont rencontrer assez obliquement le plan de tête et le berceau , il serait bien préférable de commencer et de terminer la descente par uo petit cylindre horizontal , comme on le voit indiqué dans la fig. 9 qui s'explique assez d'elle-même. Celte disposition présenterait à la fois plus d'élégance et de soiU dite, attendu que le petit cylindre inférieur formerait un point d'appui pour empêcher le glissement des voussoirs de la descente ; et la rencontre de ce cylindre avee le grand berceau ramènerait au cas de la lunette considérée au n* 738.

Descente biaise , rachetant un berceau en maçonnerie.

797. (PL 56.) Soit encore ALMB le cintre de face situé dans le plan vertical de

316 L1VBE IV. — COUPE DBS PIBRBBS.

notre épure; soient aussi EG, AC, BD, FH, les projections horizontales des côtés des deux rampes ; et parce que ces projections ne sont pas perpendiculaires à la trace EF du plan de tête , la descente est dite biaise. Représentons par GH la première génératrice du grand berceau que cette descente doit racheter, et dont la naissance est sur le plan horizontal de notre épure ; puis, observons que le diamètre AB aurait dû être élevé au-dessus dé la ligne de terre EF d'une quantité E e égale à la hauteur de la pente ; mais comme les projections vraiment utiles vont être faites sur le plan de la fig. 3 , il est d'usage de supprimer l'indication de cette différence de niveau sur le plan de tête. Enfin , adoptons pour joints les plans menés par les rayons OL, OM,... et par les génératrices correspondantes, quoiqu'ils ne soient pas normaux à l'intrados. (Voyez n° 795.)

Gela posé , choisissons un plan vertical EGX qui soit parallèle aux génératrices du cylindre oblique ; et après y avoir marqué la hauteur EE' de la descente , tirons l'horizontale E'F' sur laquelle nous projetterons les points A, B , F, en A', B', F 7 ; et dès lors les droites E G , A'G', B'D', F' H', seront les projections des côtés des deux rampes. Pour trouver la génératrice qui part du point quelconque L , on projettera le point I en T, et après avoir élevé l'ordonnée I'L' égale à IL, on tirera la droite L'L" parallèle à E'G; on opérera de même pour la génératrice partant de M, laquelle sera projetée suivant M 'M"; de sorte que l'ellipse À'L'S'M'B' sera la projection latérale de la courbe de tête ÀLMB. Quant aux arêtes d'extrados qui partent des points N et P, leurs projections N'N", P'P", s'obtiendront d'une manière semblable; et les côtés dés joints N'L', M'P', devront concourir an point 0' qui est la projection latérale du centre 0.

798. Il faut maintenant trouver les points où le grand berceau sera rencontré par les parallèles indéfinies L'L", N'N",." A cet effet, traçons l'axe XY de ce berceau, et par un point Y de cette ligne, menons deux plans verticaux YV,YH, l'un perpendiculaire à GH, l'autre parallèle à la rampe AC ; le premier coupera le berceau «suivant un cercle qui , rabattu autour de son rayon YV, deviendra UV; le second plan donnera pour section une ellipse qui, rabattue autour de YH, prendra la position H 6' W, laquelle peut se construire de la manière suivante. Après avoir tracé une droite quelconque a€ parallèle à GH , on observe que les deux points du berceau qui sont projetés en a et 6 doivent être la même hauteur ; si donc on élève la perpendiculaire W égale à l'ordonnée a*' du cercle , le point 6' appartiendra à l'ellipse demandée H 6' W.

Alors, si l'on découpe en bois ou en carton une cerce qui ait la forme YH6' W, ou seulement une partie suffisante 6 H 6', et que l'on conçoive cette cerce placée dans le plan vertical LI X, de manière que le sommet H se trouve en X , on verra bien que la rencontre de cette cerce. avec l'arête de douelle partie du point L, fournirait le point où cette dernière droite percerait le berceau. Donc, en projetant ce système sur le plan latéral de la fig. 3, le procédé graphique se réduira à coucher la cerce

CHAP1TBE VI. — DBS DESCENTES. 317

sur ce plan de telle sorte que son sommet H coïncide avec X' et son axe HY avec X'X ; puis, en suivant le contour de cette cerce, on tracera la courbe X'L" qui, par sa rencontre avec la droite indéfinie V L", fournira le point demandé L". On peut même, sans tracer la courbe X'L", se contenter d'appliquer la cerce dans la situation indiquée ci-dessus, et marquer immédiatement le point L" où elle coupera la droite indéfinie L' L". Semblablement , après avoir projeté le point p en p', on placera la cerce suivant y! M", et elle déterminera l'extrémité M" de l'arête de douelle M'JVI"; de sorte que la courbe C'L"S"M"D / sera la projection de l'intersection des deux cylindres (*).

Les côtés des joints , comme L"N", M"P", se détermineront en construisant plusieurs de leurs pointe par le même procédé que ci-dessus ; mais la courbe H'Q 7 sera précisément identique avec la cerce H 6' W, et les côtés de l'extrados, comme P" Q", seront des droites horizontales. Au surplus , afin de faire mieux distinguer le vous- 80 ir qui a pour tête BMPQF, nous avons garni de hachures le contour de sa projection 6ur la fig. 3.

799. Section droite. Par un point quelconque, menons un plan sécant F'KR (fig. 3) qui soit perpendiculaire aux génératrices du cylindre oblique. Le point où ce plan coupera la génératrice (L'L", IX), sera évidemment projeté en /' et situé dans le plan vertical IX dont il ne sortira pas quand on fera tourner le plan F'KR autour de KR, pour le rabattre sur le plan horizontal ; d'ailleurs la plus courte distance de ce point de section à la charnière est visiblement égale à K/', et elle aboutirait au point y de cette charnière. Donc, si l'on prend y/=K/', et semblablement 3m = Km / ,..., la courbe almb sera le rabattement de la section orthogonale faite dans l'intrados de la descente. On trouvera de même les points n et p des joints, et enfin bmp(/f sera, la vraie grandeur de la section orthogonale faite dans toute l'épaisseur du voussoir que nous avons cité plus haut comme exemple.

800. Panneaux de développement. Sur une droite indéfinie (fig. 5) prenons les distances a!l\ /'m 7 , m f b f , égales aux arcs a/, /m, mb 9 de) la Jîgr. 2; puis, élevons les perpendiculaires a 7 A' et a'C/ /'L' et i'L", m'M' et m'M", b'B' et b'D', respectivement égales aux deux portions de chaque génératrice, désignées par les mêmes notations sur la fig. 3 j et ainsi l'on pourra tracer les courbes A'L'M'B', C'L"M"D', qui sont les transformées des deux arcs dftfttoe de la descente, et qui déterminent en même temps les panneaux de douelle , le» que M' B'D' M". Pour former les panneaux de

(*) Si l'on veut trouver sur la fig. 3 la droite S' S" qui doit être une tangente commune aux deux courbes de tète de la descente , il faudra chercher le contour apparent de ce cylindre oblique, en lui menant un plan tangent qui soit perpendiculaire au plan vertical Z'EF. Pour cela, on tirera l'horizontale Gg perpendiculaire sur EX, et par les deux droites G g et GE' ou conduira un plan dont la trace verticale sera *g\ puis, en menant au cintre de face une tangente SO parallèle à egr, le point de contact S sera le point de départ de la génératrice demandée, et dès lors on trouvera sa projection latérale S' S " par la même méthode qui a servi (n° 797) pour les pointa L , M

318 MVKK IV. — COUPE DBS PIERRES.

joint, o» prendra la largeur m'p* égale a mp sur la fig. a, et on élèvera les deux perpendiculaires p'F et p'P" égales aux lignes de môme dénomination sur l&/îy. 3 ; le celé M'F de ce joint sera une droite, et quant au côté curviligne M"?*, on se procurera un point intermédiaire, en appliquant les mêmes procédés au milieu du côté MF de la fig. i. Il sera facile d'ailleurs de retrouver sur la fig. 5 les points 0', 0", où concouraient ces côtés des joints sur la Jfy. 3.

8M. Taille des voussoirs. Si nouB prenons comme exemple celui qui a pour face de tête BMPQF, et que Ton veuille employer la Méthode par équarrissement, comme offrant plus de précision, il faudra d'abord tailler un prisme droit qui ait pour base le panneau bmpqfâe la section orthogonale , et pour longueur la distance des deux parallèles à KF' menées par les points F et H'. Ensuite, sur les faces de ce corps qui correspondront k fan», mp, */, on appliquera les panneaux de douelle et de joint que fournit ta fig. 5, ce qui permettra de tracer le contour des deux têtes du voussoir. Alors la face de tête extérieure qui est plane se taillera sans difficulté; et quant à la tête sur le berceau , on emploiera une règle qui devra glisser sur son contour, en passant par des points de repère qui sont faciles à trouver sur l'épure et à transporter sur la pierre.

Si , pour économiser la main-d'œuvre , on veut employer la Méthode par biveaux, on devra opérer comme nous Favons expliqué au second paragraphe du n B 796 , pour la descente droite. D'ailleurs , toutes les remarques des n #ê 795 et 796 s'appliqueront au problème actuel.

Descente biaise , rachetant un berceau : a 9 solution.

802. (PL 57.) Conservons les mêmes données qu'au n° 797, et prenons encore un plan auxiliaire ZFH qui soit vertical et parallèle aux côtés de la rampe ; mais au lieu d'employer des projections orthogonales , servons-nous de lignes projetantes qui soient toutes parallèles à la génératrice 6H du berceau que doit racheter la descente. Dès lors ce berceau sera entièrement projeté suivant ta section obKqm H 6' W, laquelle se déduira de la section droite Va'U par le même procédé qu'au n* 798; d'ailleurs, tout le plan de tête se projettera aussi latéralement suivant la droite unique FZ qui se rabat, avec le plan auxiliqjre, sur FZ' perpendiculaire à FH; puis, si l'on porte de F en F la hauteur de la rampe que Ton a supprimée sur ht fig.ô, la droite F' H sera la projection latérale des coussinets»et de tout ce qui est dans le plan de naissance de la descente*

Cela posé , si nous projetons les points L et M, N et P,.. . en M 7 , P' (fig. 8), et que nous tirions parallèlement à FH les droites M' M", P'P",..., ce seront là les projections des arêtes de douelle et d'extrados , lesquelles iront percer le berceau précisément aux points M", P%..., où elles rencontrent la courbe H 6' W; de sorte qu'ici, pour trouver la courbe de tête , nous serons dispensés de construire et de promener

CHÀPIME V«H. DBS TROMPES. 819

une oerce mobile, «comme il avait fallu, le feire dans lajfy. 3. Il est vrai que pov obtenir la section droite, nous allons avoir quelques opérations un peu moins simples; mais, en définitive t La/iy. 8 7 comparée à la fig. 3, présentera toujours une réduction très-considérable.

863. Menons le plan F'RK, perpendiculaire aux génératrices de la descente , et remarquons bien que, malgré qu'il s'agisse ici de projections obliques., la trace F R de ce plan devra encore être perpendiculaire sur F'H, parce que cette droite est parallèle au point de projection Z'FH. Observons ensuite: i° que ce plan sécant F'RK va couper la génératrice partant de M, en un point situé dans le plan vertical T^, et qu'il n'en sortira pas lorsqu'on rabattra le pian F'RK autour de RK; a° que la plus courte distance de ce point de section à la charnière RK est une droite qui aboutira au point d, et qui sera perpendiculaire sur la génératrice même* Or cet angle droit ayant ses côtés parallèles au plan Z'FH, restera encore de 90 en as projetant obliquement sur ce plan; donc si l'on abaisse du point &' la perpendiculaire X m' sur M'M", cette ligne à' m! sera là vraie grandeur de la plus courte distanoe dont nous parlions; et conséquemment , si l'on prend dm—Xm', .puis yl=y' /',..«.» la courbe almb sera le rabattement de la section droite du cylindre oblique.

804 . Maintenant, après avoir rectifié les arcs de cette courbe suivant les portions de droite a!l\ /'m', m' V (fig. 10), on élèvera des perpendiculaires que Ton prolongera au-dessus et au-dessous, de quantités égales aux parties a' F' et a 7 H, /'M' et fM", m'M'et m'M", b'Y' et 6'H, mesurées toutes sur la fig. 8. On agira de même pour les panneaux de joint , dont les largeurs devront être prises égales k ae 9 In, mp 9 bf\ et toutes ces opérations devront conduire à des résultats qui soient identiques avec ceux de la fig. 5. Quant à la taille des voussoirs, elle s'exécutera entièrement comme nous l'avons dit au n # 801; seulement, la longueur exacte du solide capable ne pourra plus être mesurée sur la fig* 8 , mais elle sera donnée sur la fig. ie par la distance des parallèles menées des deux points les plus saillants P' et H'.