CHAPITRE VIII. — DES ESCALIERS

tandis que l'extrados <sera formé par rhélicoïde à plan directeur que décrira l'horizontale FQ 7 , lequel s'est présenté dans la vis à filet carré (G. D. y n° 628).

Quant aux joints (T assise qui diviseront en voussoirs partiels le cours de voussoirs -engendré par le pentagoneîL'M'P'Q'R', nous les formerons avec des plans qui soient normaux à l'hélice qui décrira le point D' milieu de l'arc de douelle L' M'; nous •n'employons pas «ici l'hélice décrite par le centre du rectangle circonscrit à ce pentagone, comme nous l'avons fait dans l'épure du limon (PL 62), attendu qu'il est plus important d'éviter les angles aigus pour les arêtes de douelle passant par les -points!/ et M', q ue pour les arêtes d'extrados.

867. Prenons; donc sur l'hélice moyenne (D'd'D", D<5DJ deux .points (</, d'), (tf,, d"), qui peuvent être arbitraires, mais que nous supposerons à égales distances du rayon 03 perpendiculaire au plan vertical , attendu que ce dernier plan pourra toujours être choisi de manière à remplir cette condition , et que d'ailleurs tous les voussoirs d*une même assise seront identiques,, à cela près de leur longueur qui pourra varier. Nous construirons d'abord la tangente de l'hélice moyenne pour le point (d, </'), en prenant une. sous-tangente dt égale à trois divisions du cercle Drf, et en formant un triangle rectangle d'o't'dont la hauteur soit égale à 3 H; puis, par des moyens semblables , on tracera les tangentes (39, ^ S*) et (d 2 1 2 , d n t") de la même hélice.

Cela posé, par le point (d, d r ) concevons un plan perpendiculaire à la tangente (dt, d' t'), et cherchons ses intersections avec les cinq faces du voussoir; mais, pour y parvenir plus facilement, faisons mouvoir ce plan sécant de manière qu'il demeure toujours normal à l'hélice moyenne (D'a'D", D3D,), et transportons-le ainsi au point (3, d')* Dans cette dernière position , il se trouvera perpendiculaire au plan vertical, et il s'y projettera suivant une droite u'v' menée à angle droit sur 3 '6'; dès lors si l'on marque les points X',^',^', *',... où cette trace u'v f rencontre les diverses sinusoïdes L'X'L", D'3'D", M ; //M ff ,..., ainsi que d'autres qui seraient décrites par les milieux des côtés M 'F, P'Q',...; puis, si Ton projette tous ces points X'^jJ', y!> t: 7 ,... sur les cercles correspondants de la/jr. 1, on obtiendra le polygone curviligne XdfA7ixp pour la projection horizontale de la section faite par le plan normal tiV. Or, d'après 1a nature du mouvement hélicoïdal qui a été imprimé au polygone L'M'FQ'R', on doit bien voir que les sections faites dans le solide ainsi engendré par divers plans normaux à la même hélice sont toutes identiques , ainsi que leurs projections sur le plan horizontal ; donc, en transportant les points X , 3, p, tt,... sur les mêmes circonférences dans les positions I, d, m, />,... situées par rapport au rayon Od comme Tétaient les points primitife car (rapport au rayon Oi, on obtiendra la 'projection 'horizontale témpqr de la seotion normale iaite par le point (d, d f ); étla projection verticale l'rfm'p' c[ r* sW déduira en projetait les pointe 1Z, d, m,p,«. sur les sinusoïdes correspondantes <deila-jffy. 3. Semblablement , on transportera :1e polygone ïipnxp^&mjpjqjr,, eUonendé-

3 52 ' LIVRB* IV. — COUPE DBS PIERRES.

duira l'autre projection l ff d"fn"p"q"r'\ ce qui fera connaître la section normale faite par le point (d 2 , d") dans l'assise en question ; et par là le voussoir compris entre les points (d, d") et (rf, , d") se trouvera complètement défini. Nous Pavons représenté sur la fig. 3 comme isolé du reste de la voûte , afin de faire mieux saisir les détails de ses diverses faces.

868. (PL 64, fig. 3.) Maintenant, enveloppons ce voussoir par un parai lélipipède tronqué, formé de la manière suivante : i° deux plans verticaux gh if fe j9 menés perpendiculairement au rayon 0<î; 2° deax plans perpendiculaires aux précédents» et dont les traces verticales g' g", h'h\ sont des droites parallèles inclinées de manière à embrasser la projection du voussoir sous le moindre espace possible; 3° les deux plans normaux à l'hélice moyenne, que nous avons conduits ci-dessus par les points (d, cf), {d 19 d"); et ces derniers plans couperont les autres suivant des parallélogrammes

(ef 9 h,e>f'g'h'), («,/, </A, «TîA'O,

qui se construiront comme il suit. On imaginera par le point (d, d!) et dans le premier plan normal , une droite horizontale qui sera évidemment projetée sur Oadb et a! d'b' ; or cette horizontale va rencontrer les plans verticaux jf^ , gg 2 , aux points (a, a'), (b, b f )\ donc, si Ton mène par les points al et b 1 des droites éf et g'h! perpendiculaires à la tangente c/Y, et que Ton projette les quatre angles e', /', g f , h\ ainsi déterminés, sur le plan horizontal, on obtiendra le parallélogramme efgfu L'autre parallélogramme e 2 f 2 g 2 h 2 se construira semblablement au moyen de l'horizontale (0 a, d, b„ a" d" b").

869. {Fig. 40 H faut, à présent, trouver la vraie grandeur de ces bases du parallélipipède tronqué, ainsi que la véritable forme des joints qui sont projetés sur Idmpqr et i 2 d 2 m a p 2 q( 2 r 2 . A cet effet, transportons encore ces deux joints dans le plan normal t*V, par un mouvement hélicoïdal autour de l'axe du noyau cylindrique, ce qui les fera coïncider avec la section XfyxTrxp; en même temps le parallélogramme efgh deviendra eyyr t qui se construit en plaçant ses divers sommets sur les mêmes circonférences que ceux du premier, et aux mêmes distances respectives des rayons Od et 03; semblablement le parallélogramme e 2 f i g 2 h i deviendra M>ya V ^ûla fou* projetons sur la trace «V du plan normal moyen, les divers points

X, 3, f*, 7T,..., 9, y, *!,.>••> 9 2 , y a > »!»••• en X 7 , 3', fi', tt',..., 9% y't ^'••••> <?' a > Y 2 > fl ,!•••>

puis, rabattons ce plan normal autour de la droite (u'v' f 39), après l'avoir transportée parallèlement à elle-même à une distance arbitraire, comme t*,v, (fig- 4«)» Alors , en abaissant sur cette dernière ligne, des perpendiculaires issues des divers points X', 3', n ',..., il faudra y placer les points X s , 3 S , f* 3 ,..- à des distances de u z v 3 qui soient les mêmes que celles qui séparent les points X, 3, {*,... de la

CPAPITRB VIII. — DES B8CALISBS. 853

droite <M ; et Ton obtiendra ainsi le panneau X 3 d i ^ tu, % 3 p , qui servira pour les deux joints extrêmes du voussoir, car ils sont identiques.

Quant aux parallélogrammes qui forment les bases du parallélipipède tronqué, on emploiera encore les perpendiculaires menées par les points c?', y\ */,... f ?'*> y'* v avec I e8 distances de <?, y, yï,..., 9 , , y „... à la ligne 39 ; et l'on obtiendra ainsi les parallélogrammes <p 3 y,yî 1 e, et q> 4 y 4 >î 4 e, , dont quatre des côtés devront se couper deux à deux sur la droite tfj,; car cette dernière ligne représente l'horizontale (03, à 7 ), sur laquelle les parallélogrammes apyyj et e, ç a y t yj 2 venaient aussi se rencontrer, comme cela résulte évidemment de la construction employée au commencement de ce numéro.

870. Il sera nécessaire , pour tailler le voussoir en question , de donner d'abord au solide capable la forme que présenterait un limon qui serait engendré par le rectangle (yX'Y'Z 7 tournant autour de l'axe vertical par un .mouvement hélicoïdal ; il faut donc encore tracer sur les panneaux de la fig. 4 les intersections de ces plans normaux avec les quatre faces de ce limon , lesquelles sont deux cylindres verticaux et deux hélicoïdes à plan directeur. Or, quand le plan normal est ramené dans la position ttV, il coupe les deux cylindres suivant des ellipses projetées sur les arcs de cercle y% et x % ; quant aux hélicoïdes , il les coupe suivant des courbes x\y, ynz, qui s'obtiendront en cherchant les rencontres de la trace tiV avec les hélices décrites par les points X', Y', Z',..„ Dès lors, si Ton projette les points de ces diverses courbes sur la droite tiV, et si l'on passe de là au rabattement sur la fig. 4» p&r les mêmes moyens que dans le numéro précédent, on obtiendra le quadrilatère curviligne a 8 t/,z,x 3 dont deux côtés y,* 3 et #,£, sont des arcs d'ellipse.

871. Il faut enfin construire les panneaux delà fig. 5, qui représente les intersections des faces supérieure et inférieure <j g" et/i'/t" du solide capable (fig. 3) avec les deux joints normaux et avec les cylindres verticaux du limon , lesquels ont pour bases les cercles Ap A, et M/*M a . On élèvera donc des verticales par les divers points

et on les prolongera jusqu'à leurs rencontres avec la droite g' g" autour de laquelle on rabattra la face supérieure , après l'avoir toutefois transportée en g t g % , pour plus de clarté dans l'épure ; puis en tirant les perpendiculaires

a cc i9 a a # , o o i9 o o 6 ,.«»

égales aux distances des points a, a,, 6, 6,,... à la droite^,, on se procurera les

moyens suffisants pour tracer les courbes a 6 <x t et 6 S 6, qui sont elliptiques. Le même

procédé servira à trouver les sommets des parallélogrammes f % g % g 9 f % et e l h b h î e i

qui représentent en vraie grandeur les faces du solide capable projetées sur g 1 g"

et h! h" ; mais il est sous-entendu ici que la seconde a été transportée verticalement

jusqu'à venir se placer dans le plan de la première. {Voyez n° 852.) y édit. 45

Sf& liti* iv. — coupe dbs prou*.

894. (Pt. 6h,fig. 6.) Taille du twwwcr. Après avoir dressé le parallélipipède tronqué Jf g* h' e"f 'g" h" delà fig .6, avec tes dimensions fournies par ks^?. 3et5,, en appliquera sur les faces supérieure et inférieure les panneaux de la fig. 5, et sur les bases, ceux de la fig. 4 ; dès lors on exécutera aisément, comme pour le limon en n° 854, les deux cylindres concave et convexe qui passent par les directrices « s to 6 et 6 5 6 6 ; puis , en portant sur les génératrices les distance» « & « , et « , * t mesurées sur la /y. 3, on pourra tracer les arêtes du limon s V et y 7 y", ainsi que les oeutfaes analogues sur le cylindre convexe , ce qui permettra de tailler les faces gauches de ce limon , comme au n* 854, et le solide capable aura pris la forme indiquée fig . 7 par des lignes pointillées.

(Pig. 7.) Maintenant, sur les bases de ce solide on tracera les deux pentagones IWp'çV et ï f w/ i y <j V d'après le panneau >, pt 3 ir 3 x 3 p. d 6 la fig. 4; pois, sortes faces cylindriques , et 3.11 moyen d'une règle flexible appuyée sur te plat , on traeera 1» deux hélices wlwl 1 et r 7 r"; .enfin, sur les deux faces gauches en tracera aussi les hélices p'p" et V f, en se servant de chaque génératrice rectitigne <* 3 6, sur laquelle on portera une longueur a, ( 3 égale à l'intervalle «ç de ta fig. 1 . Alors en pourra tailler le joint gauche mlftjfm" en promenant rareté d'une Tègie sur les deux hélices irli*" et py , avec le soin de la faire passer en mène temps par deux points de repère tels que Ç, et 4> s ; puis, on opérera d'une manière toute semblable pour le joint inférieur i'rV'i". Enfin, quant à la doueUe ïnlm u V f 1 on l'exécutera an moyen d'une cerce découpée suivant l'arc X 3 \ /* 3 de ta fig. 4, que i'on fera glisser sur les deux hélices /' i" et m 1 m\ en ayant soin de maintenir le plan de cette eeree dans une direction toujours normale à l'hélice qui serait moyenne evtre ces deux-là. Il est vrai que cette hélice moyenne ne petit pas être tracée tant que la face de la douelte n'est pas elle-même exécutée ; de sorte que cette règle que l'on prescrit ordinairement, est vicieuse au fond, et ne peut être corrigée que par le coup cPœrl d'un ouvrier bien exercé. C'est pourquoi il serait plus exact d'employer une cerce découpée suivant l'arc M'D'L/ de la fig*i 9 et de la promener sur les hélices directrices /'<", m! m", en ta maintenant toujours dans un plan méridien mobile, position qui serait suffisamment indiquée par des points de repère marqués sur ces hélices et fournis parles rayons 0«6, 03, Oa,6,... de lajfy. 1. On pourrait même ajouter à cette cerce une branche rectiligne (comme dans le biveau de la/fy. 9, PI. 35), et en faisant coïncider cette branche avec chacune des génératrices <|/ 3 Ç 3 du joint gauche supérieur (fig. 7), la position de la cerce se trouverait rigoureusement déterminée ; mais cette dernière précaution est rarement nécessaire pour un ouvrier intelligent.

873. (Fig- 2,) Remanfxe* Dans cette voûte i tous tes roussoirs de la naissance correspondant aux arcs de doueUe A 7 y et B'N' f devront faire partie des assises du mur cylindrique ou du noyau. Ainsi , le long de ce noyau , il existera un filet saillant {fig. 9), analogue à celui d'une vis , et engendré par le mouvement hélicoïdal