CHAPITRE 111. — PROBrÈMKS DIVERS SUR LES LIGISKS DROITES

307. (PI. 1 5, fif/. 3.) Étant donnée une perspective VF qui fuit au point quelconque F de la ligne d'horizon , et dont T' est la trace sur te tableau , i* trouver sur cette droite, à partir du tableau, une distance T'A' égale à i mètre; 2° à partir d'un point donné A', trouver une longueur A'B' de 3 mètres; 3° trouver ta vraie distance de deux points donnés A' et B' ; t\° diviser la portion donnée A' B' en n parties égales.

Après avoir rabattu le point de vue en 0', et avoir mené le rayon de fuite (VF de la droite proposée, on rabattra ce dernier suivant FO"; puis on prendra T'R'= i m , et l'on tracera R'O" qui fournira la distance demandée T'A'. En effet, nous savons (n° 298) que la droite originale de T'F serait projetée sur le géométral suivant une ligne TB parallèle à O 7 F; or si Ton prend TA=i", et qu'on décrive un arc de cercle avec ce rayon , la corde AR se trouvera parallèle (n° 269) au rayon visuel O'O"; cette corde, qui a sa trace en R', aura donc son point de fuite en 0", et sa perspective sera la ligne R'O", laquelle détermine ainsi une portion T'A', qui est bien la perspective de la longueur TA= i".

Cela revient à dire que la figure A'T'R' est la perspective d'un triangle isocèle ATR, dont un des côtés TR conserve en perspective sa grandeur originale, attendu qu'il est dans le tableau ; donc T ' A' et T' R' sont deux lignes perspectivement égales.

308. Si A' est un point donné , et qu'on veuille trouver une longueur A' B'. perspectivement égale à 3 mètres, on joindra le point de vue rabattu en 0" avec le point A' par la droite 0"A'R'; et après avoir pris la distance géométrale R'S' de 3 mètres, on mènera S'O" qui déterminera le, point cherché B'. En effet, si AB représente la portion inconnue de la droite originale TAB que l'on sait devoir être parallèle à (VF, et que Ton rabatte cette ligne TAB sur le tableau autour de sa trace (T, T'), les points A et B vont décrire des arcs de cercle dont les cordes AR et BS se trouveront parallèles au rayon visuel O'O" (n # 269); donc 0" sera le point de fuite de ces cordes. La première AR aura ainsi pour perspective 0" A', et elle viendra percer le tableau en R' sur l'horizontale T'H ; la seconde corde BS qui doit aboutir à une distance de 3 mètres percera donc le tableau au point S' tel que R' S' = 3 m ; et alors sa perspective étant S'O", cette dernière ira déterminer sur T' F' la portion A' B' qui sera bien la perspective d'une longueur originale AB de 3 mètres.

309. Réciproquement , si l'on demandait la vraie distance de deux points A' et B' assignés sur la perspective, on les joindrait avec le point 0" par les droites 0"A'R', 0"B'S', lesquelles fourniraient R'S' pour la grandeur géométrale de A'B'; car cette dernière est la perspective d'une ligne AB qui se rabattrait suivant RS, ou plutôt suivant R' S'.

310. Enfin, s'il faut diviser une portion donnée A'B' en trois parties perspectivement égales, on joindra les extrémités A' et B' avec un point quelconque / de la ligne d'horizon, et en divisant l'intervalle ab en trois parties égales, les droites fe,fg, partageront A'B' de la manière demandée, ainsi que nous l'avons prouvé au n* 306.

311. (PL i5, fig. 40 Trouver sur la perspective T'F des parties successives B' G' f

110 LIVRE H. PBBSPECTIVB LINÉAIRE.

CE',... perspectivement égales à l'intervalle donné A'B'. On pourrait évidemment résoudre cette question par des constructions semblables à celles du n° 308, en partant sur la ligne de terre T'H de la fig. 3 des intervalles égaux à R 7 S 7 ; mais voici un autre procédé plus avantageux , surtout lorsqu'on a besoin d'élever des verticales par ces points de division , comme dans une façade de bâtiment où il faut placer des fenêtres, des portes, des pilastres , etc.

Après avoir élevé en A' et B' deux verticales de longueur arbitraire, mais terminées à une droite A" -F qui fuit au même point F que la droite donnée, on joindra ce point F avec le milieu M de A 7 A" par une ligne MF qui coupera aussi B'B" en son milieu, et Ton tracera la diagonale A" M' qui ira déterminer le point C. De même, on élèvera une troisième verticale C 7 C", et l'on tirera B' 7 *!" cflii ira déterminer le point E' ; puis la verticale E'E", et la diagonale CM'" qui fournira le point G', et ainsi de suite. Parla, on obtiendra des intervalles B'C, C 7 E 7 ,E 7 G 7 ,... tous perspectivement égaux à A'B 7 ; car la figure A'A"C"C est évidemment la perspective d'un rectangle dont A 77 C 7 est la diagonale, et dont M' est le centre , puisque ce point est à la rencontre de la diagonale avec la droite MF menée parallèlement aux bases par le milieu M de la hauteur; donc la verticale B"M'B' qui passe par ce centre, divise la base du rectangle en deux parties égales, et conséquemment les intervalles A'B 7 et B'C 7 sont bien les perspectives de deux parties géométrales de même longueur.

312. Au contraire, si Ton voulait trouver le milieu perspectif de l'intervalle donné A'B 7 , on tirerait la diagonale A"B'qui couperait MF au centre du rectangle A' A 77 B' 7 B' ; et alors la verticale menée par ce centre diviserait A'B 7 en deux parties perspectivement égales.

313. Observons, d'ailleurs^ que toutes ces constructions pourraient aussi s'effectuer sur des parallèles à la base XY, telles que A 7 a, B 7 6,..., comme le montre suffisamment la fig. l\.

Des droites parallèles au tableau.

A 314. (PI- i5, fig. 5.) Étant donnée une verticale A'B' située dans un plan de front connu , i° trouver son pied sur le géomélral; a* trouver la vraie grandeur de la portion A 7 B' ; 3° trouver une longueur A 7 M 7 égale perspectivement à i mètre; 4* diviser A 7 B 7 en trois parties égales.

Si le plan de front assigné est à i mètre en arrière du tableau , on cherchera sur PY (n p 303) une profondeur YQ de. i mètre perspectif, en prenant YL= i* et tirant LD 7 . Ensuite , la droite QR menée parallèle à XY T sera la perspective de la trace du plan de front sur le géomélral; et conséquemment sa rencontre R avec À'B 7 ' sera le pied de la droite proposée.

315. Pour avoir la vraie grandeur de la portion A' B 7 , il suffit de joindre ses extrémités et le pied R avec un point quelconque F de la ligne d'horizon , par les droites

GUAP1TBB 111. — PROBLÈMES DIVBftS SUR LES LIGNES DROITES. Ml

FR, FA', FB'; et ces deux dernières iront intercepter, sur la verticale élevée dans le tableau par le point r, un intervalle ab qui sera la vraie grandeur de A'B'. En effet, les lignes Fa et F6 représentent deux horizontales parallèles; ainsi la figure A'B' te est un rectangle dont le côté ab, situé dans le tableau même, indique la vraie longueur de celui qui a pour perspective A'B'.

316. De même, si Ton a besoin de trouver sur A'B' une longueur perspective de 1 mètre, on prendra sur la verticale rb une portion am = i m en grandeur absolue, et la droite m¥ déterminera la partie cherchée A' M' : car À' M' et ont sont les perspectives de deux droites parallèles et égales, puisqu'elles sont comprises entre les parallèles Fa et Fm .

317. Enfin, pour diviser A'B' en trois parties perspectivement égales, il suffira de diviser la ligne A'B' elle-même en trois parties dont les grandeurs absolues soient égales , attendu qu'une droite parallèle au tableau conserve (n° 276), entre toutes les parties de sa perspective , les mêmes rapports qui existaient entre ses parties originales.

318. (PL i5, fig. 6.) Étant donnée une perspective A'B' qui est dam un plan de front connu, trouver i° te pied de cette droite sur te géométral; 3° ta vraie grandeur de la portion A'B'; 3° une longueur A' M 7 égale perspectivement à un mètre; 4* diviser A' B' en trois parties égales perspectivement.

D'abord , si le plan de front où est siluée la droite proposée se trouve à i mètre, par exemple, en arrière du tableau , on cherchera, comme au n° 303, une profondeur XQ de i mètre perspectif, en prenant XL = i°\ et tirant LD. Ensuite , la droite QR menée parallèlement à la base XY du tableau , sera évidemment la perspective de la trace du plan de front sur le géométral ; et le pied de la droite proposée se ttouvera conséquemment au point R où A'B' rencontre QR.

319. Pour obtenir la vraie grandeur de A'B', concevons la droite originale rabattue sur la trace QR de son plan de front, autour de son pied R. On sait (n° 275) que, dans ce déplacement, toutes les parties de cette droite conserveront la même grandeur en perspective; ainsi A'B' deviendra db\ Maintenant, pour avoir la grandeur absolue de cette dernière , je joins ses extrémités avec un point quelconque F de la ligne d'horizon; et les droites Va!, F 6', qui représentent deux parallèles, viendront intercepter sur la base du tableau XY, un intervalle ab qui sera la vraie longueur de a'ft', et aussi de A'B'. Il restera donc à évaluer en mètres, ou en parties du module adopté , la longueur absolue de ab.

320. Si Ton veut trouver sur A'B' une longueur A'M' perspectivement égale à i mètre , il suit évidemment de ce qui précède, qu'après avoir rabattu le point A' en a', il faudra tirer Fa', prendre am= x m 9 puis tracer m F qui fournira la longueur dégradée a' m' représentant i mètre dans le plan de front assigné ; il restera ensuite à reporter a 1 m 1 en A'M'.

Remarque. Au lieu de ce rabattement Ra'ft', que nous avons voulu indiquer

112 L1VRB H. — PERSPECTIVE LINÉAIRE.

comme un moyen qui devient nécessaire quelquefois, il eût été plus court ici de joindre un point quelconque F' delà droite d'horizon avec R, A', B' ; et par le point ou F'R aurait rencontré XY, on eût mené parallèlement a A'B' une droite sur laquelle on aurait opéré directement, ainsi que nous Pavons fait, dans la fig. 5, pour la droite rb.

321. Enfin, pour diviser A / B / en trois parties perspectivement égales, il suffit de partager A'B 7 elle-même en parties dont les grandeurs absolues soient égales; car nous savons (n° 276) que la perspective d'une droite parallèle au tableau conserve, entre toutes ses parties, les mêmes rapports qui existaient entre les parties de la droite originale.

/■ Des droites de direction quelconque.

322. (PL i5, Jfy. 9.) Étant donné le plan fuyantR'J*, mener dans ce plan , et par le point R' , une droite qui soit inclinée sur C horizon (tune quantité angulaire o>.

Cet énoncé veut dire (n° 279) que R'P est la perspective de la trace horizontale du plan vertical qui contient la droite cherchée ; ou bien, la perspective de la projection horizontale de cette droite. Or, puisque R 7 P passe ici par le point principal , ce plan fuyant est perpendiculaire au tableau (n° 262) ; d'où je conclus que le rayon visuel mené parallèlement à la droite cherchée , aboutira sur la verticale PZ , et formera ainsi avec PZ et le rayon principal (n° 260) un triangle rectangle dont l'angle à la base égalera o>. Mais si je rabats ce triangle sur le tableau , autour de PZ, l'œil viendra évidemment se placer au point de distance D; donc, en tirant DF 7 de manière que l'angle PDF 7 égale a>, DF' sera le rabattement du rayon visuel > et F 7 le point de fuite de la droite inconnue; car ce point reste immobile quand on relève le triangle DPF 7 dans le plan principal (n°278) où il était d'abord. Par conséquent, la droite demandée aura pour perspective R 7 F 7 , et elle percera le tableau en T 7 sur la verticale élevée par le point T.

323. Étant donnée la perspective A'B' (Tune droite située dans le plan fuyant TP, i° trouver les traces de cette droite et son point de fuite; 2 trouver une longueur A 7 M 7 perspectivement égale à 1 mètre ; 3° diviser la portion donnée A 7 B 7 en n parties égales.

D'abord , la droite originale ne pouvant rencontrer le plan géométral que sur la ligne TP, sa trace horizontale sera perspectivement en R', et sa trace verticale en T 7 sur la verticale TT 7 , puisque c'est là l'intersection du tableau avec le plan fuyant TP où est située la droite originale* Quant au point de fuite , il serait donné par un rayon visuel parallèle à A ; B 7 ; or ce rayon aboutirait sur la même verticale que le rayon visuel qui serait mené parallèlement à la trace TP, et qui vient évidemment percer le tableau au point P ; donc c'est sur la verticale PZ que sera le point de fuite demandé , et comme il doit se trouver aussi sur A 7 B 7 prolongée , il sera à la rencontre F 7 de ces deux lignes.

CIIAPITKB III. — PAOBI,KM6S DIVKBS SUK tBS LIGNES DROITES. H3

- 321b. Maintenait pour trouver, à partir du point donné A', une longueur À' M'. qui soit perspectivement égale à i mètre, je conçois la droite originale de A'B', rabattue autour du point R' sur sa projection R 7 P; dans ce mouvement, les points A ; et M 7 (dont le dernier est inconnu) vont décrire deux arcs de cercle dont les cordes seront parallèles, et il s'agit de trouver le point de fuite de ces cordes. Or, si je conçois deux rayons visuels, l'an parallèle à A'B', Paulre à R 7 P, ces rayons, qui iraient percer le tableau évidemment en F 7 et P, deviendront DF 7 et DP quand je les rabattrai autour de PZ ; et alors F' L sera le rabattement d'une corde qui t dans l'espace , se trouverait bien parallèle aux cordes précédentes ; donc , en tirant DF" parallèle à F 7 L, le point F" sera le point de fuite cherché. D'après cela , A' F" représente la corde de Tare décrit par le point A 7 , et cette droite me fait connaître le rabattement A" du point A 7 ; puis , si je cherche une longueur A" M" qui soit égale à i mètre perspectif (en tirant DA"G, GH= i a , et puis DH , comme au n° 30ft) , je n'aurai plus qu'à relever le point M 77 par un arc de cercle dont la corde, qui sera représentée évidemment par F 77 M 77 , ira déterminer le point cherché M 7 . En effet, les perspectives A 7 M 7 et A 77 M 77 représentent deux longueurs égales, puisque l'une est. le rabattement de l'autre.

325. Enfin , pour diviser un intervalle donné A 7 B 7 en n parties respectivement égales , on pourrait , comme ci-dessus , rabattre cette droite sur R 7 P, et ramener ainsi le problème à celui du n° 306 ; mais il suffira de projeter A 7 B 7 suivant 06, par deux verticales, et d'appliquer à la projection ab la méthode de ce n° 306; car les verticales menées par ces derniers points de division* partageront A 7 B 7 de la manière demandée. En effet, il est reconnu qu'une droite et sa projection horizontale sont toujours divisées en parties proportionnelles par des verticales quelconques ; et d'ailleurs on sait (n* 256) que ces dernières lignes doivent rester verticales en perspective.

326. (PL 1 5 , fig. 10.) Étant donné un plan fuyant dont la trace horizontale a une perspective R 7 F qui n'aboutit pas en P, mener dans ce plan, et par le point R 7 , une droite qui sait inclinée sur F horizon de la quantité angulaire a>.

Concevons deux rayons visuels, l'un parallèle à l'horizontale R' F, et qui aboutira nécessairement en F sur le tableau ; l'autre parallèle à la droite cherchée , et qui devra aboutir sur la verticale FF', au point inconnu F 7 , qui sera le point de fuite dont nous avons besoin. Ces deux rayons comprennent un angle égal à <», et celui qui aboutit en F est évidemment l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés PF et la distance PD de l'œil au tableau. Si donc , après avoir construit ce triangle FPO 7 , on ramène l'hypoténuse FO sur la ligne d'horizon en FO" ; puis, si l'on tire la droite 0"F 7 inclinée de la quantité ai, cette droite sera le rabattement du rayon visuel qui était parallèle à la droite originale , et le point de fuite de cette dernière sera en F 7 , puisque ce point demeure immobile sur la verticale FF 7 , quand on ramène l'angle F 7 O' 7 F dans le plan de fuite (n* 282) parallèle au plan fuyant R 7 F.

r édit. 15

H h tivu 11. — pemmctivh uifiAias.

II résulte de là que R'F' est la perspective de la droite demandée, et elle percera le tableau en T 1 sur la verticale élevée par le peint T.

**7. Statut ém*ét la perspective MB! <ttme imite située dm* le pkm fiymi TF, trouver r les traces ée cette droite et son peint de fuite; a" une lm§*em A' M' petspectieement égale à i mètre; 3* dhiser ta portion damée K'W en n parues égaiee. •

La trace horizontale devant être nécessairement sur TF, sera à la rencontre R' de cette ligne avec À'B' ; et la trace sur le tableau se trouvera eu T, puisque la verticale TT' est rintersection du tableau avec le plan fuyant TF qui contient la droite proposée. Qvant an point de faite, il sera donné par un rayon visuel parallèle à À' B'; or ce rayon devra aboutir sur la même verticale que le rayon visuel qui aérait mené parallèlement à TF, et comme ce dernier va évidemment percer le tableau en F, (/est sur la verticale FF' que se trouvera le point de faite demandé ; donc enfin , il est placé à la rencontre F' de cette verticale avec la perspective donnée A' K.

428. À présent , pour trouver, à partir du point donné A' , une longueur A' M' qui soit perspectivement égale à i mètre , j'imagine que la droite originale de À'B' soit rabattue, autour du point R', sur sa projection If F. Dans ce mouvement, le point donné À' et le point inconnu M' décriront deux arcs de cercle dont les cordes seront parallèles ; et il s'agit d'abord de trouver le point de fuite de ces contes. Or, si je conçois deux rayons visuels, l'un parallèle à A'B 7 , l'autre à R'F» ces deux rayons iront percer le tableau évidemment aux points F' et F; ils formeront donc avec la verticale FF' un triangle rectangle qui r rabattu autour de cette dernière droite, deviendra FO* F ', lequel se construira en prenant la base FO" égale à l'hypoténuse m d'nn autre triangle qui aurait pour côtés FP et PO* égal à la distance PD de l'oeil au tableau. D'après cela, si l'on trace Tare de cercle F' L et sa corde, cette dernière ramenée avec les rayons visuels O" F et 0" F' dans leur position primitive , se trouverait évidemment parallèle aux cordes des arcs décrits par les pointa A' et M', dans lé rabattement dont nous avons parlé au commencement de cet article; donc en tirant 0" F" parallèle à F'L, le point F" sera le point de fuite commun à toutes ces cordes.

Cela posé, A' F* sera la perspective de la eorde de l'arc décrit par le peint A', et éHe déterminera le rabattement A" de ce point y puis , si je cherche une longueur A* M" qui soit égale & i mètre perspectif (en tirant , comme au n° 368, les lignes 0*À"G, GH = i-, et 0"B), je n'aurai plus qu'à relever le point M" par un arc de cercle, dont la corde aura pour perspective la ligne F "M"* laquelle ira déterminer le point demandé M'. En effet , A* M" et A M' sont les perspectives de deux droite» égale*, puisque l'une est le rabattement de l'antre.

*2». En8o, pour diviser un intervalle donné A' B' en » partie* perspectivement égales, on pourrait rabattre, comme ci-de6sus, cette droite sur sa projection R' F f et ramener ainsi le problème à celui du »• MO. Mais il sera plus court de projeter A'B 1 suivant cift, par deux verticales, et d'appliquer à la droite aè la méthode de