CHAPITRE III. — PItOÛLBMES DIVERS SUR LUS LIGNES DROITES

conduit suivant A'B' et le point de vue; mais lorsqu'on donne en outre un second plan qui renferme encore la ligne cherchée , ainsi que l'exprime renoncé du n° 297, alors celle ligne n'est plus susceptible que d'une seule position , que l'on pourra toujours assigner en cherchant l'intersection de ces deux plans. En général , la perspective d'un objet n'équivaut qu'à une de ses projections, et ne suffit pas pour le définir; mais si Ton avait deux perspectives du même corps, relatives à deux points de vue différents f et faites sur le même tableau ou sur des tableaux distincts , le corps serait l'intersection des pyramides qui auraient pour bases ces perspectives, et pour sommets les deux poinls de vue assignés; de sorte que sa position et sa forme seraient déterminées, quoique d'une manière moins commode que par le système de deux projections orthogonales, lesquelles se prélent beaucoup plus facilement à la mesure des dimensions absolues.

300. Pour mener du point M' donné sur le tableau , une parallèle perspective à A'B', il suffit de joindre M' avec le point de fuite F; car les deux lignes M 7 F et A' F représenteront les perspectives de deux droites originales qui seront bien parallèles entre elle», puisqu'elles auront le même point de fuite F.

301. Si du point A' on veut mener une perpendiculaire perspective à A'B', on tirera 0'/ perpendiculaire géométrale sur (VF, et l'on joindra le point de fuite /"avec A 7 . En effet, si l'on conçoit que le triangle FO'/soil relevé dans le plan d'horizon, -autour de sa base F/, les côtés O'F et 0'/ comprendront bien un angle droit dans

l'espace; et puisque les droites A' F et A'/ représentent (n° 300) deux parallèles à ces côtés, il en résulte que l'angle FA'/ est perspectivement droit.

Si l'on voulait que cet angle perspectif eût une grandeur quelconque o>, il faudrait mener O'/de manière à former avec O'F un angle géométral égal à <ù.

302. (Fig. i.) Diviser en deux parties égales f angle perspectif donné FÂ'/, formé par deux horizontales. Les points de fuite des deux côtés de cet angle devant être sur la ligne d'horizon en F et f> il suffira de les joindre avec le point de vue rabattu en <y pour obtenir un second angle FO'/qui , relevé dans le plan d'horizon, aurait ses côtés parallèles à ceux de l'angle original ; donc , en tirant la droite 0^ de manière à diviser l'angle FO'/ en deux parties géomélralement égales, la ligne A' f qui représentera une parallèle à <y<p, donnera aussi deux angles FA' 9 et 9 A'/ qui seront perspectivement égaux.

^ 303. (PI. i5 9 fig. 2.) Étant donnée une perspective T'P qui fuit au point principal, et dont la trace est T', i° trouver sur cette droite une profondeur T'A' de 1 mètre; a° à partir (fun point donné A', trouver une longueur A'B' de 3 mètres; 3° trouver la vraie distance de deux points donnés A' et B' ; 4° diviser la portion donnée A/ B' en 3 parties (fui soient perspectivement égales.

Puisque Fa perspective donnée a pour point de faite le point principal P, elle représente une droite originale TB perpendiculaire au tableau „ mais située à la hauteur de la ligne de terre T'H. Si donc on prend sur cette dernière une longueur T'R'

égale à un mètre, ou plutôt à un module (*), et que Ton joigne R' avec le point de distance D, cette ligne R'D déterminera la profondeur demandée T'A'. En effet, la droite R'D sera la perspective d'une ligne à 45% telle que RÀ sur le géométral ; or celte dernière irait couper TB à une distance TÀ = TR= i"; donc T'A' est bien la perspective d'une portion TA qui a une longueur de i mètre, et l'on dit alors que T'A' est perspecti veinent égale à i mètre*

304. A' étant un point donné, si Ton veut trouver une distance A'B' qui soit perspecti vement égale à 3 mètres, on tirera DA'R', on prendra R'S' géométralement égale à 3 mètres ou à 3 modules, puis on mènera S'D qui déterminera la longueur cherchée A'B'. En effet , R'D et S'D sont les perspectives de deux droites parallèles, inclinées à 45° sur le tableau , et projetées sur le géométral suivant RA et SB; donc on a

TA = TR, TB = TS, d'où AB = RS=3";

par conséquent A'B', qui est la perspective de la portion AB, est perspecti vement égale à 3 mètres : ou autrement dit, A'B' et R'S' sont deux lignes perspecti vement égales ; et comme la seconde est dans le tableau même et a une longueur absolue de 3 mètres, la première est dite aussi de 3 mètres en perspective.

305. Réciproquement , étant donnée une portion déterminée A'B' en perspective, pour trouver sa grandeur, on tirera les lignes DA'R, DB' S', et l'intervalle R'S', intercepté sur la ligne de terre qui passe par la trace T' de la droite donnée, indiquera la vraie grandeur de A'B'. Cela résulte de ce que A'B' et R'S' sont (n* 304) les perspectives de deux droites égales AB et RS, dont la dernière conserve sa grandeur originale , attendu qu'elle est dans le tableau même.

306. Pour diviser la portion donnée A' B' en trois parties perspectivement égales, il suffit de joindre les extrémités A' et B' avec un point quelconque/ de la ligne d'horizon, par les droites /À' a, /B'6, puis de diviser l'intervalle afr en trois parties égales géométralement; alors les lignes de jonction fa, fe 9 fg } fb, diviseront A'B' de la manière demandée. En effet, ces lignes sont les perspectives de droites parallèles entre elles , également écartées les unes des autres, puisqu'elles interceptent sur le tableau des intervalles oe, eg, gb, égaux entre eux; donc ces parallèles diviseraient bien AB en trois parties égales, et ces parties ont évidemment pour perspectives À / E , ,E / G',G'B / .

(*) Comme une perspective n'est pas toujours exécutée de grandeur naturelle , nous appelons module la longueur destinée à représenter la grandeur absolue de i mètre, pour les lignes situées dans le tableau même. Toutefois, il faut bien observer que cette première réduction, qui est arbitraire, mais invariable pour un môme tableau, n'empêchera pas que les autres droites égales] à i mètre , et qui ne seront pas dans le tableau , ne subissent une dégradation plus ou moins considérable à raison de leur position, dégradation qu'il faudra déterminer par les règles exposées dans ce chapitre.