DES LIGNES COURBES

372. (PL 18, fig. 3.) Pour appliquer la méthode des points de foite à la perspective d'une courbe quelconque LMNQ, il faut imaginer, par un point L de cette ligne, deux droites quelconques, par exemple deux horizontales choisies dans la direction la plus commode ; et en déterminant les perspectives de ces droites auxiliaires par un des procédés indiqués au chapitre précédent , il est clair que le point commun à ces deux perspectives sera la perspective L' du point L considéré sur la courbe originale ; puis , si l'on répète cette construction pour d'autres points M, N, Q, . . . assez rapprochés les uns des autres, on obtiendra sur le tableau des points isolés M', N', Q',... qui, étant réunis par un trait continu, fourniront la perspective L'M'N'Q/ de la courbe proposée.

Il sera avantageux de choisir pour droites auxiliaires quelques-unes des tangentes à LMNQ, comme MT, parce que ia perspective M'T' d'une pareille droite fournira non -seulement le point M', mais encore la tangente de la courbe cherchée L'M'N'Q', ce qoi servira à la tracer avec plus d'exactitude. Cette assertion va être justifiée par le théorème suivant :

373. ha perspective M'T' de la tangente MT à une courbe quelconque LMNQ je trouve tangente à la perspective L'M'N'Q/ de la courbe originale. En effet, la perspective L'M'N'Q' étant l'intersection du tableau VXY avec le côneOLMNQ formé par les rayons visuels qui aboutissent à la courbe originale, cette ligne L'M'N'Q/

CHAPITBB IV. — DBS LIGNES COLBBES. J2Ç

aura pour tangente (G. D. , u° 213) l'intersection du plan VXY avec le plan tangent à ce cône le long de l'arête OM'M : or, comme ce plan tapgent est évidemment le plan OMT des rayons visuels qui aboutissent à la tangente MT , son intersection avec le tableau ne sera autre chose que la perspective M'T' de HT; donc cette perspective M'T' devra être tangente à la courbe L'M'Q/.

Perspective (fuit cercle horizontal.

37 U- (Pt- i8, Jig. t.) Adoptons, pour premier exemple, un cercle horizontal, dont nous prendrons le plan pour le géométral de notre épure , e du tableau vertical , ou son intersection avec le géométral. Transi parallèlement en X'Y', et, après l'avoir rabattu autour de cette A le géométral, marquons-y le point principal P et les deux points D* ; ensuite , circonscrivons et inscrivons an cercle proposé dei GH1K, dont les côtés soient parallèles et perpendiculaires au tableau. Cela posé, les perspectives des cinq droites AF,GK,MQ, HI, BE, s'obtiendront en joignant leur point de fuite P avec leurs traces sur X'Y' (n* 267, note); ce qui donnera les lignes Pa, Pj, PZ', PA, Pfr, dont la rencontre avec T'D', qui représente évidemment la diagonale TE , fournira les cinq points A', G', C, I', E', parmi lesquels deax représentent déjà sur le tableau les points G et I du cercle proposé. Ensuite, sans recourir à l'autre diagonale R'D, il suffira de tirer par les cinq points obtenus des parallèles à X'Y', lesquelles fourniront les nouveaux points M', H', L' et N', E', Q 7 , ce qui fait en tout huit points de la perspective demandée et quatre tangente»; car , d'après le théorème du n* 373 , la courbe sur le tableau doit toucher les droites A'B\ B'E', ET et F' A'; de sorte que ces données suffiront ordinairement pour tracer la courbe avec toute l'exactitude désirable. Néanmoins , si l'on voulait trouver d'autres points, on sent bien que la même marche s'y appliquerait en traçant, par le point choisi sur le cercle, proposé , deux droites dont une serait perpendiculaire au tableau, et l'autre inclinée à /p\

375. La perspective G'M'H'N'... est une ellipse, puisque c'est la section faite par le plan du tableau dans le cône des rayons visuels qui a pour base le cercle GMHN; et il en sera toujours de même pour no cercle placé dans une position quelconque, excepté quand ce cercle sera coupé par le tableau, parce qu'alors ce dernier plan pourrait bien ne pas rencontrer toutes les génératrices d'une même nappe , et fournirait ainsi une parabole ou une hyperbole pour la perspective dn cercle proposé. Mais cette position ne se rencontre jamais dans les dessins ordinaires , puisque l'objet original est supposé tout entier derrière le tableau.

376. Le point C', perspective du centre C, n'est pas le centre de l'ellipse G'M'H'N'..., puisque la cordeL'C'N' répond à deux tangentes PL' et PN' qui ne sont point parallèles; mais la droite M 'Q' est un axe de cette courbe , parce que

2* édit. J7

150 LIYBE n. — PERSPECTIVE T.mÉAIRE.

les tangentes à ses extrémités sont parallèles, et de plus perpendiculaires snrM'Çf; de sorte que le centre de l'ellipse sera au milieu «' de ce diamètre.

1s second axe «'0/6' est donc connu de direction ; et pour avoir sa grandeur, il suffira de mener les deux tangentes 0«, Oê, parla projection du point de vue sur le géométral, pois d'élever en y et i deux verticales /«' et 3'6' qui détermineront les sommets «' et 6' : on sent bien d'ailleurs que la projection s'obtient en prenant ZO=PD. Celte construction est fondée euree que les tangeutes 0« etOfi représentent deux plans verticaux qui sont tangents au cône des rayons visuels ; d'où il suit que ces plans couperont le tableau suivant deux verticales y V, 3'6', qui tangentes à l'ellipse ; et ces tangentes étant ainsi parallèles à l'axe M'O*, ïr par les extrémités du second axe. D'ailleurs, ou pourrait fixer tes :■ ë' par la combinaison de ces verticales avec une antre droite menée

e OU S.

instructions du n* 374 s'appliquent d'une manière identique au cas où le cercle horizontal est vu obliquement , comme le représente la fig. 2 ; fontefois la droite M' Q' n'est plus alors un axe de l'ellipse , mais seulement un diamètre dont le milieu donnera encore le centre de cette courbe.

378. (PL i8,fig. a.) A cette occasion, nous ferons observer qu'on peut aisément trouver la perspective d'un cercle , sans tracer aucunement le géométral de cette courbe. Il suffit de se donner, sur X' Y', la position de la droite ab égale au diamètre de ce cercle ; d'en marquer le milieu Z', ainsi que le septième ag ou bh , puis enfin de prendre aï' égal à la distance MZ que l'on voudra mettre entre le cercle et le tableau. Ces données fourniront les cinq droites Va, Vg, PZ', PA, P6 , et la diagonale T'IV, lesquelles suffisent, comme on l'a vu, pour tracer l'ellipse perspective du cercle, au moyen des carrés iuscrit et circonscrit.

Ces règles pratiques sont fondées sur ce quN)n a évidemment T'a = T<* — A« = MZ; ensuite, oj=Lê = CL— Ce.

Or, cette dernière droite étant le cosinus d'un angle de 45° dans un cercle dont j'appelle R la rayon , on sait gue

du moins avec une approxiinatiae enftisaote pour le genre d'opérations qui nous occupent; d'où il résulte

aç — R — iR = -JR = io* (*).

Ci On trouve par le calcul, en représentant le diamètre par D, ag = o,iûBD, jafr = o,i43D.

Ainsi ag est un peu plus grand que lu septième de ab.